K-teoria Milnora

W matematyce Milnor K-teoria jest $)$ niezmiennikiem $dla$ pola ) Johna Milnora ( 1970 próba studiować wyższą algebraiczną teorię K w szczególnym przypadku pól . Spodziewano się, że pomoże to naświetlić strukturę algebraicznej teorii K i dać pewien wgląd w jego związki z innymi częściami matematyki, takimi jak kohomologia Galois i pierścień form kwadratowych Grothendiecka -Witta . Zanim zdefiniowano teorię K Milnora, istniały definicje ad hoc dla ${\ displaystyle K_ {1}}$ i ${\ displaystyle K_ {2}}$ . Na szczęście można wykazać, że K-teoria Milnora jest częścią algebraicznej K-teorii , która w ogólności jest najłatwiejsza do obliczenia.

Definicja

Motywacja

Po zdefiniowaniu grupy Grothendiecka pierścienia przemiennego oczekiwano, że powinien istnieć nieskończony zbiór niezmienników $}$$Displaystyle$$i}$ nazywamy wyższymi grupami K-teorii , ponieważ istnieje krótki ciąg dokładny

${\ Displaystyle K (R, ja) \ do K (R) \ do K (R / ja) \ do 0}$

który powinien mieć kontynuację długim ciągiem dokładnym . Zauważ , że grupa po lewej to względna teoria K. Doprowadziło to do wielu badań i jako pierwsze przypuszczenie, jak ta teoria mogłaby wyglądać, Milnor podał definicję pól. Jego definicja opiera się na dwóch obliczeniach tego, jak „powinna” wyglądać wyższa teoria K w $\$ i $displaystyle 2}$ . Wtedy, jeśli w późniejszym uogólnieniu algebraicznej K-teorii podano, jeśli generatory ${\ Displaystyle K_ {*} (R)}$ żył w stopniu ${\ Displaystyle 1}$ i relacjach w stopniu ${\ Displaystyle 2}$ , a następnie konstrukcjach w stopniach i $}$$Displaystyle$ dałoby strukturę reszty pierścienia K-teorii . Przy takim założeniu Milnor podał swoją definicję „ad hoc”. Okazuje się, że algebraiczna teoria K ${\ Displaystyle K_ {*} (R)}$ ogólnie ma bardziej złożoną strukturę, ale w przypadku pól grupy teorii K Milnora są zawarte w ogólnych algebraicznych grupach teorii K $tensowaniu z$ , tj. ${\ Displaystyle K_ {n} ^ {M} (F) \ otimes \ mathbb {Q} \ subseteq K_ {n} (F) \ otimes \ mathbb {Q}}$ . Okazuje się, że mapa naturalna ${\ Displaystyle \ lambda: K_ {4} ^ {M} (F) \ do K_ {4} (F)}$ nie jest iniekcyjne dla pola globalnego ${\ displaystyle F }$ ^{str. 96} .

Definicja

$,$ grupę Grothendiecka można łatwo obliczyć jedynymi skończenie modułami skończone wymiarowe przestrzenie grup K Milnora zależy od izomorfizmu kanonicznego

${\ Displaystyle l \ dwukropek K_ {1} (F) \ do F ^ {*}}$

(grupa jednostek ) i obserwując obliczenie K ₂ pola przez Hideya Matsumoto , co dało prostą prezentację ${\ displaystyle F}$

${\ Displaystyle K_ {2} (F) = {\ Frac {F ^ {*} \ czasami F^{*}}{\{l(a)\czasami l(1-a):a\neq 0,1\}}}}$

dla dwustronnego ideału generowanego przez elementy , zwane relacjami Steinberga . ${\ Displaystyle l (a) \ otimes l (a-1)}$ . Milnor przyjął hipotezę, że były to jedyne relacje, dlatego podał następującą definicję „ad hoc” teorii K Milnora jako

${\ Displaystyle K_ {n} ^ {M} (F) = {\ Frac {K_ {1} (F) \ otimes \ cdots \ otimes K_ {1} (F)} {\ {l (a_ {1}) \otimes \cdots \otimes l(a_{n}):a_{i}+a_{i+1}=1\}}}.}$

Bezpośrednia suma tych $izomorficzna$ tensorową nad całkowitymi grupy multiplikatywnej ideał dwustronny generowany przez:

${\ Displaystyle \ lewo \ {l (a) \ czasami l (1-a): 0,1 \ neq a \ w fa \ Prawidłowy\}}$

Więc

${\ Displaystyle \ bigoplus _ {n = 0} ^{\infty}K_{n}^{M}(F)\cong {\frac {T^{*}(K_{1}^{M}(F))}{\{l(a)\czasami l(1-a):a\neq 0,1\}}}}$

pokazanie jego definicji jest bezpośrednim przedłużeniem relacji Steinberga.

Nieruchomości

Struktura pierścienia

$_$ moduł stopniowanym pierścieniem _ ^_ _ Jeśli piszemy

${\ Displaystyle (l (a_ {1}) \ czasami \ cdots \ czasami l ( a_{n}))\cdot (l(b_{1})\otimes \cdots \otimes l(b_{m}))}$

Jak

${\ Displaystyle l (a_ {1}) \ czasami \ cdots \ czasami l (a_ {n}) \otimes l(b_{1})\otimes \cdots \otimes l(b_{m})}$

${\ Displaystyle \ xi \ w K_ {i} ^ {M} (F)}$ ∈ $Displaystyle \ eta \ w K_ {j} ^ {M}(F)}$ ∈ mamy

${\ Displaystyle \ xi \ cdot \ eta = (-1) ^ {i \ cdot j} \ eta \ cdot \ xi.}$

Z dowodu tej własności wynikają pewne dodatkowe własności, jak np

$${\ Displaystyle l (a) ^ {2} = l (a) l (-1)}$$

dla ${\ Displaystyle l (a) \ w K_ {1} (F)}$ od ${\ Displaystyle l (a) l (-a )=0}$ . Ponadto , jeśli niezerowych elementów pól jest równych $}$${\ Displaystyle a_ {1} + \ cdots + a_ {n$

$${\ Displaystyle l (a_ {1}) \ cdots l (a_ {n}) = 0}$$

Istnieje bezpośrednie zastosowanie arytmetyczne: $fa )$ kwadratów i tylko wtedy, gdy każdy dodatni wymiar $\ Displaystyle K_ {n} ^ {M} (F )}$ jest nilpotentem, co jest potężnym stwierdzeniem o strukturze grup K Milnora . W szczególności dla pól ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} (i)}$ , $wszystkie$ _ $_$ _ jego grupy K Milnora są nilpotentne. W odwrotnym przypadku pole można osadzić w prawdziwym polu zamkniętym $, co daje$ uporządkowanie na polu.

Związek z wyższymi grupami Chow i wyższą teorią K Quillena

Jedną z podstawowych właściwości łączących teorię K Milnora z wyższą algebraiczną teorią K jest fakt, że istnieją naturalne izomorfizmy

$${\ Displaystyle K_ {n} ^ {M} (F) \ do {\ tekst {CH}} ^ {n} (F, n)}$$

wyższych grup chow Blocha , co indukuje morfizm stopniowanych pierścieni

$${\ Displaystyle K_ {*} ^ {M} (F) \ do {\ tekst {CH}} ^ {*} (F, *)}$$

Można to zweryfikować za pomocą wyraźnego morfizmu ^{str. 181}

$${\ Displaystyle \ phi: F ^ {*} \ do {\ tekst {CH}} ^ {1} (F, 1)}$$

Gdzie

$$phi (1-a) = 0 ~ {\ tekst { in}}~{\text{CH}}^{2}(F,2)~{\text{for}}~a,1-a\in F^{*}}$$

Ta mapa jest podana przez

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ {1 \} i \ mapsto 0 \ w {\ tekst {CH}}^{1}(F,1)\\\{a\}&\mapsto [a]\in {\text{CH}}^{1}(F,1)\end{wyrównane}} }$$

dla $\ Displaystyle [a]}$ klasa punktu ${\ Displaystyle [a: 1] \ in \ mathbb {P} _ {F } ^ {1} - \ {0,1, \ infty \}}$ z za $} - \ {1 \}}$ . Główną właściwością do sprawdzenia jest to, że ${\ Displaystyle [a] + [1/a] = 0}$ dla za $\ Displaystyle a \ in F ^ {*} - \ {1 \}}$ i ${\ Displaystyle [a] + [b] = [ab]}$ . Zauważ, że różni się to od $\ Displaystyle [a] \ cdot [b]},$ ponieważ jest to element w ${\ Displaystyle {\ tekst {CH}} ^ {2} (F, 2)}$ . $za {\ displaystyle b = 1/a}$ druga właściwość implikuje pierwszą dla . To sprawdzenie można przeprowadzić za pomocą wymiernej krzywej definiującej cykl w którego obraz pod mapą granic jest sumą do $}$$\ Displaystyle C ^ {1} (F, 2$${\ Displaystyle [a] + [b] - [ab]}$ dla ${\ Displaystyle ab \ neq 1}$ , pokazując, że różnią się one granicą. Podobnie, jeśli mapa granic wysyła ten cykl do ${$$\ Displaystyle [a] - [1/a]} za b = 1 {\ displaystyle$ , pokazując, że różnią się granicą. Drugą główną własnością do pokazania są relacje Steinberga. Dzięki temu oraz faktowi, że wyższe grupy Chow mają strukturę pierścieniową

$${\ Displaystyle {\ tekst {CH}} ^ {p} (F, q) \ czasami {\ tekst{CH}}^{r}(F,s)\do {\tekst{CH}}^{p+r}(F,q+s)}$$

otrzymujemy wyraźną mapę

$${\ Displaystyle K_ {*} ^ {M} (F) \ do {\ tekst {CH}} ^ {*} (F, *)}$$

Pokazanie mapy w odwrotnym kierunku jest izomorfizmem, wymaga więcej pracy, ale otrzymujemy izomorfizmy

$${\ Displaystyle K_ {n} ^ {M} (F) \ do {\ tekst {CH}} ^ {n} (F, n)}$$

Możemy następnie powiązać wyższe grupy Chow z wyższą algebraiczną teorią K, wykorzystując fakt, że istnieją izomorfizmy

$${\ Displaystyle K_ {n} (X) \ czasami \ mathbb {Q} \ cong \ bigoplus _ {p} {\ tekst {CH} }^{p}(X,n)\oraz \mathbb {Q} }$$

dając związek z wyższą algebraiczną teorią K Quillena. Zauważ, że mapy

${\ Displaystyle K_ {n} ^ {M} (F) \ do K_ {n} (F)}$

$.$ Milnora do grup K Daniela Quillena , co jest izomorfizmem dla, ogólnie dla większego n Dla elementów niezerowych w fa , symbol $\ldots ,a_{n}\}}$$} {\ Displaystyle \ {a_ {1}, za$$a_ {1}, \ ldots,$ w ${\ Displaystyle K_ {n} ^ {M} (F)}$ oznacza obraz w $Displaystyle a_ {1} \ otimes \ cdots \ otimes a_ {n}}$ \ algebrę tensorową. Każdy element teorii K Milnora można zapisać jako skończoną sumę symboli. Fakt, że ${\ Displaystyle \ {a, 1-a \} = 0}$ w ${\ Displaystyle K_ {2} ^ {M} (F)}$ dla $_$ _ _ _

Reprezentacja w kohomologii motywicznej

W kohomologii motywicznej , a konkretnie w teorii homotopii motywicznej $uogólnienie$ istnieje snop teorii K Milnora ze $grupie$ . Jeśli oznaczymy ${\ Displaystyle A_ {tr} (X) = \ mathbb {Z} _ {tr} (X) \ czasami A}$ wtedy zdefiniujemy snop ${\ Displaystyle K_ {n, A}}$ jako snoopowanie następującego snopka wstępnego ^{pg 4}

$${\ Displaystyle K_ {n, A} ^ {pre}: U \ mapsto A_{tr}(\mathbb {A} ^{n})(U)/A_{tr}(\mathbb {A} ^{n}-\{0\})(U)}$$

Zauważ, że sekcje tego snopka wstępnego są równoważnymi klasami cykli na $}$$}$ ze współczynnikami w , które są równowymiarowe i skończone nad ${\ Displaystyle U}$ (co wynika bezpośrednio z definicji ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {tr} (X)} )$ . Można pokazać, że istnieje ${\ Displaystyle \ mathbb {A} ^ {1}}$$)$ motywicznymi krążkami Eilenberga-Maclane'a od

Przykłady

Pola skończone

Dla skończonego pola jest cykliczną grupą $}$$= \ mathbb {F} _$ porządek ${\ Displaystyle q-1}$ (ponieważ jest izomorficzny z ), więc stopniowana przemienność daje ${\ Displaystyle \ mathbb {F} _ {q} ^ {*}}$

$${\ Displaystyle l (a) \ cdot l (b) = - l (b) \ cdot l (a)}$$

stąd

$${\ Displaystyle l (a) ^ {2} = - l (a) ^ {2}}$$

Ponieważ $jest$ grupą skończoną, oznacza to, że musi mieć porządek $}$ . Patrząc dalej, zawsze można wyrazić jako sumę kwadratowych niereszt, tj. elementów $}$$,$ że $F / F ^ {\ razy 2}}$ in nie są równe ${\ Displaystyle 0}$ , stąd ${\ Displaystyle a + b = 1}$${\ Displaystyle K_ {2} ^ {M} (F) = 0}$ . Ponieważ relacje Steinberga generują wszystkie relacje w pierścieniu teorii K Milnora, mamy ${\ Displaystyle K_ {n} ^ {M} (F) = 0}$ dla ${\ displaystyle n> 2}$ .

Liczby rzeczywiste

Dla pola liczb rzeczywistych grupy $teorii$ K Milnora można łatwo obliczyć W stopniu $przez$ jest generowana

$${\ Displaystyle K_ {n} ^ {M} (\ mathbb { R} )=\{(-1)^{n},l(a_{1})\cdots l(a_{n}):a_{1},\ldots,a_{n}>0\}}$$

gdzie ${\ Displaystyle (-1) ^ {n}}$ daje grupę rzędu $podgrupę$ generowaną przez ${\ Displaystyle l (a_{1})\cdots l(a_{n})}$ jest podzielna. Podgrupa wygenerowana przez ${\ Displaystyle (-1) ^ {n}}$ nie jest podzielna, ponieważ w przeciwnym razie można by ją wyrazić jako sumę kwadratów. Pierścień Milnora K-teorii jest ważny w badaniu motywicznej teorii homotopii, ponieważ daje generatory dla części motywicznej algebry Steenroda . Inne to windy od klasycznych operacji Steenroda do kohomologii motywicznej.

Inne obliczenia

${\ Displaystyle K_ {2} ^ {M} (\ mathbb {C})}$ to niepoliczalna , jednoznacznie podzielna grupa. Ponadto jest bezpośrednią $,$ cyklicznej 2 i grupy ; ${\ Displaystyle K_ {2} ^ {M} (\ mathbb {Q} _ {p})}$ jest bezpośrednią sumą multiplikatywnej grupy i niepoliczalnej, jednoznacznie podzielnej grupy; ${\ displaystyle \ mathbb {f} _ {p}}$${\ Displaystyle K_ {2} ^ {M} (\ mathbb {Q})}$ jest bezpośrednią sumą cyklicznej grupy rzędu 2 i cyklicznych grup rzędu ${\ Displaystyle p-1 }$ dla wszystkich nieparzystych liczb pierwszych ${\ displaystyle p}$ . dla ${\ Displaystyle n \ geq 3}$ , ${\ Displaystyle K_ {n} ^ {M} (\ mathbb {Q}) \ cong \ mathbb {Z} / 2}$ . Pełny dowód znajduje się w dodatku do oryginalnej pracy Milnora. $Niektóre obliczenia można zobaczyć$ , $indukowaną$ mapę do uzupełnień $więc$ istnieje

$${\ Displaystyle K_ {2} ^ {M} (F) \ do \ bigoplus _ {v} K_ {2 }^{M}(F_{v})/({\text{maks. dzielnik.podgr.}})}$$

którego jądro zostało skończenie wygenerowane. Ponadto kokernel jest izomorficzny z pierwiastkami $jedności$ .

Ponadto, dla ogólnego pola lokalnego ${\ Displaystyle K_ {n} ^ {M} (F)}$$rozszerzenie$ skończone $)$ K Milnora są podzielne.

K _* ^M (F(t))

Istnieje $obliczające$$_$ dla _ _ fa $_$$}$ i niezerowych ( ${\ Displaystyle (\ pi) \ w {\ tekst {Spec}} (F [t])}$ . Jest to określone przez dokładną sekwencję

$${\ Displaystyle 0 \ do K_ {n} ^ {M} (F) \ do K_ {n} ^ {M} (F (t)) \ xrightarrow {\ częściowe _ {\ pi}} \ bigoplus _ {(\ pi )\in {\text{Spec}}(F[t])}K_{n-1}F[t]/(\pi)\do 0}$$

gdzie $F [t] / (\ pi)}$${\ Displaystyle \ częściowe _ {\ pi}: K_ {n} ^ {M} (F (t) ) \ do K_ {n-1$${\ overline {F}} _ {v }}$ jest morfizmem skonstruowanym z redukcji do fa $displaystyle$ dla wyceny dyskretnej ${\ displaystyle v}$ . Wynika to z twierdzenia, że ​​istnieje tylko jeden homomorfizm

$${\ Displaystyle \ częściowe: K_ {n} ^ {M} (F) \ do K_ {n-1} ^ {M} ({\ nadkreślenie {F}})}$$

$,$ dla grupy jednostek, są elementami mają wartościowanie ${\ displaystyle 0}$ naturalny morfizm

$${\ Displaystyle U \ do {\ overline {F}} _ {v} ^ {*}}$$

gdzie mamy ${\ Displaystyle u \ mapsto {\ overline {u}}}$

$${\ Displaystyle \ częściowe (l (\ pi) l (u_ {2}) \cdots l(u_{n}))=l({\overline {u}}_{2})\cdots l({\overline {u}}_{n})}$$

gdzie ${\ Displaystyle \ pi}$ element pierwszy, co oznacza ${\ Displaystyle {\ tekst {Ord}} _ {v} (\ pi) = 1}$ i

$${\ Displaystyle \ częściowe (l (u_ {1}) \ cdots l (u_ {n})) = 0}$$

Ponieważ każdy niezerowy ideał pierwszy ${\ Displaystyle (\ pi) \ in {\ tekst {Spec}} (F [t])}$ daje wycenę ${\ Displaystyle v _ {\ pi}: F (t) \ do F [t] / (\ pi)}$ , otrzymujemy mapę ${\ Displaystyle \ częściowe _ {\ pi }}$ na grupach K Milnora.

Aplikacje

K-teoria Milnora odgrywa fundamentalną rolę w teorii pola wyższych klas , zastępując K. $\ Displaystyle K_ {1} ^ {M} (F) = F ^ {\ razy} \!}$ jednowymiarowa teoria pola klas .

Milnor K-teoria pasuje do szerszego kontekstu motywicznej kohomologii poprzez izomorfizm

${\ Displaystyle K_ {n} ^ {M} (F) \ cong H ^ {n} (F, \ mathbb {Z} (n)) }$

K-teorii Milnora pola z pewną grupą kohomologii motywicznej. W tym sensie pozornie ad hoc definicja teorii K Milnora staje się twierdzeniem: pewne motywiczne grupy kohomologii pola mogą być jawnie obliczone przez generatory i relacje .

Znacznie głębszy wynik, hipoteza Blocha-Kato (zwana także twierdzeniem o izomorfizmie reszt normowych), wiąże teorię K Milnora z kohomologią Galois lub kohomologią étale :

${\ Displaystyle K_ {n} ^ {M} (F) / r \ cong H _ {\ operatorname {et}} ^{n}(F,\mathbb {Z} /r(n)),}$

dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej r odwracalnej w ciele F . To przypuszczenie zostało udowodnione przez Vladimira Voevodsky'ego , przy współudziale Markusa Rosta i innych. Obejmuje to twierdzenie Aleksandra Merkurjewa i Andrieja Suslina , a także hipotezę Milnora jako przypadki szczególne (przypadki, gdy odpowiednio ${\ displaystyle n = 2}$ i ${\ displaystyle r = 2} ).$

Wreszcie istnieje związek między teorią K Milnora a formami kwadratowymi . Dla pola F o charakterystyce innej niż 2 zdefiniuj podstawowy ideał I w pierścieniu Witta form kwadratowych nad F jako jądro homomorfizmu ${\ Displaystyle W (F) \ do \ mathbb { Z} /2}$ dany wymiarem formy kwadratowej, modulo 2. Milnor zdefiniował homomorfizm:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} K_ {n} ^ {M} (F) / 2 \ do I ^ {n} / I ^ {n + 1} \\\ {a_ {1}, \ ldots ,a_{n}\}\mapsto \langle \langle a_{1},\ldots ,a_{n}\rangle \rangle =\langle 1,-a_{1}\rangle \otimes \cdots \otimes \langle 1,-a_{n}\rangle \end{przypadki}}}$

gdzie ${\ Displaystyle \ langle \ langle a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n} \ rangle \ rangle}$ klasę n -fold w formie Pfistera .

Dmitri Orlov, Alexander Vishik i Voevodsky udowodnili inne stwierdzenie zwane hipotezą Milnora, a mianowicie, że ten homomorfizm jest ${\ Displaystyle K_ {n} ^ {M} (F) /2\to I^{n}/I^{n+1}}$ jest izomorfizmem.

Zobacz też

• algebry Azumayi
• Teoria homotopii motywów

•    Elman, Ryszard ; Karpenko, Nikita; Merkurjev, Alexander (2008), Algebraiczna i geometryczna teoria form kwadratowych , American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4329-1 , MR 2427530
•     Gille, Philippe; Szamuely, Tamás (2006). Centralne algebry proste i kohomologia Galois . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Tom. 101. Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-86103-9 . MR 2266528 . Zbl 1137.12001 .
•    Mazza, Carlo; Wojewodski, Włodzimierz ; Weibel, Charles (2006), Wykłady z kohomologii motywów , Clay Mathematical Monographs, tom. 2, Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , ISBN 978-0-8218-3847-1 , MR 2242284
•      Milnor, John Willard (1970), z dodatkiem Johna Tate'a , „Algebraiczna teoria K i formy kwadratowe”, Inventiones Mathematicae , 9 (4): 318–344, Bibcode : 1970InMat...9..318M , doi : 10.1007/BF01425486 , ISSN 0020-9910 , MR 0260844 , S2CID 13549621 , Zbl 0199.55501
•    Orłow, Dymitr; Wiszik, Aleksander; Voevodsky, Vladimir (2007), „Dokładna sekwencja dla $aplikacji$ do form kwadratowych”, Annals of Mathematics , 165 : 1–13, arXiv : } math/0101023 , doi : 10.4007/annals.2007.165.1 , MR 2276765 , S2CID 9504456
•    „O kohomologii motywicznej z $”$ , Vladimir (2011), Annals of Mathematics , 174 (1 : 401–438, arXiv : 0805,4430 , doi : 10.4007/annals.2011.174.1.11 , MR 2811603 , S2CID 15583705

Linki zewnętrzne

• Niektóre aspekty funktora pól ${\ displaystyle K_ {2}}$
• O obliczeniach Tate'a ${\ Displaystyle K_ {2} (\ mathbb {Q})}$