Okres (geometria algebraiczna)

Aby zapoznać się z częściej używanym znaczeniem słowa „okres” w matematyce, zobacz Funkcja okresowa .

W geometrii algebraicznej okres jest liczbą , którą można wyrazić jako całkę funkcji algebraicznej w dziedzinie algebraicznej . Sumy i iloczyny okresów pozostają okresami, więc okresy tworzą pierścień .

Maxim Kontsevich i Don Zagier dokonali przeglądu okresów i przedstawili kilka domysłów na ich temat. Okresy pojawiają się również przy obliczaniu całek wynikających z diagramów Feynmana i intensywnie pracowano nad zrozumieniem powiązań.

Definicja

Liczba rzeczywista jest kropką, jeśli ma postać

${\ Displaystyle \ int _ {P (x, y, z, \ ldots) \ geq 0 } Q(x,y,z,\ldots )\mathrm {d} x\mathrm {d} y\mathrm {d} z\ldots }$

gdzie jest $wielomianem$ i funkcją $.$ z $_$ _ _ _ _ _ _ Liczba zespolona jest kropką, jeśli jej części rzeczywiste i urojone są kropkami.

Alternatywna definicja $były$$,$ aby i funkcjami ; wygląda to bardziej ogólnie, ale jest równoważne. Współczynniki funkcji wymiernych i wielomianów można również uogólnić na liczby algebraiczne, ponieważ niewymierne liczby algebraiczne można wyrazić za pomocą obszarów odpowiednich dziedzin.

W drugim kierunku można ograniczyć funkcję stałą lub $Displaystyle -1}$${\$${$ zastępując całkę całką z $displaystyle \ pm 1}$ nad regionem zdefiniowanym przez wielomian w dodatkowych zmiennych. Innymi $słowy , okres ($ ) to objętość regionu w przez nierówność wielomianową .

Przykłady

Oprócz liczb algebraicznych następujące liczby są znane jako kropki:

• Logarytm naturalny dowolnej dodatniej liczby algebraicznej a , która wynosi ${\ Displaystyle \ int _ {1} ^ {a} {\ Frac {1} {x}} \ \ mathrm {d} x}$
• π ${\ Displaystyle = \ int _ {0} ^ {1} {\ Frac {4} {x ^ {2} + 1}} \ \ operatorname {d} x}$
• Całki eliptyczne z racjonalnymi argumentami
• Wszystkie stałe zeta ( funkcja zeta Riemanna liczby całkowitej ) i wielokrotne wartości zeta
• Wartości specjalne funkcji hipergeometrycznych przy argumentach algebraicznych
• Γ ( p / q ) ^q dla liczb naturalnych p i q .

Przykładem liczby rzeczywistej, która nie jest kropką, jest stała Chaitina Ω . Każda inna liczba nieobliczalna również daje przykład liczby rzeczywistej, która nie jest kropką. Obecnie nie ma naturalnych przykładów liczb obliczalnych , dla których udowodniono , że nie są kropkami, jednak możliwe jest skonstruowanie sztucznych przykładów. Prawdopodobni kandydaci na liczby, które nie są okresami, obejmują e , 1/ π i stałą Eulera – Mascheroniego γ .

Właściwości i motywacja

Okresy mają na celu wypełnienie luki między liczbami algebraicznymi a liczbami przestępnymi . Klasa liczb algebraicznych jest zbyt wąska, aby objąć wiele wspólnych stałych matematycznych , podczas gdy zbiór liczb przestępnych nie jest policzalny , a jego elementy nie są na ogół obliczalne .

Zbiór wszystkich okresów jest policzalny, a wszystkie okresy są obliczalne, aw szczególności definiowalne .

przypuszczenia

Wiele stałych, o których wiadomo, że są okresami, jest również danych przez całki funkcji przestępnych . Kontsevich i Zagier zauważają, że „wydaje się, że nie ma uniwersalnej reguły wyjaśniającej, dlaczego pewne nieskończone sumy lub całki funkcji przestępnych są okresami”.

Kontsevich i Zagier przypuszczali, że jeśli okres jest określony przez dwie różne całki, to każdą całkę można przekształcić w drugą, używając jedynie liniowości całek (zarówno w całce, jak iw dziedzinie), zmian zmiennych i Newtona – Leibniza formuła

${\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f '(x) \, dx = f (b) -f (a )}$

(lub, bardziej ogólnie, wzór Stokesa ).

Przydatną właściwością liczb algebraicznych jest to, że równość między dwoma wyrażeniami algebraicznymi można określić algorytmicznie. Hipoteza Kontsevicha i Zagiera sugerowałaby, że równość okresów jest również rozstrzygalna: nierówność obliczalnych liczb rzeczywistych jest rekurencyjnie przeliczalna ; i odwrotnie , jeśli dwie całki są zgodne, to algorytm mógłby to potwierdzić, próbując wszystkich możliwych sposobów przekształcenia jednej z nich w drugą.

Przypuszcza się, że liczba Eulera e i stała Eulera – Mascheroniego γ nie są okresami.

Uogólnienia

Okresy można rozszerzyć do $wykładniczej$ wykładniczych , pozwalając, aby całka była iloczynem funkcji algebraicznej i funkcji algebraicznej. To rozszerzenie obejmuje wszystkie potęgi algebraiczne e , funkcję gamma argumentów wymiernych i wartości funkcji Bessela .

Kontsevich i Zagier sugerują, że istnieją „wskazówki”, że okresy można naturalnie uogólnić jeszcze bardziej, aby uwzględnić stałą Eulera γ. Z tym włączeniem „wszystkie klasyczne stałe są okresami we właściwym znaczeniu”.

Zobacz też

• Odmiana jakobińska
• Połączenie Gaussa-Manina
• Mieszane motywy (matematyka)
• formalizm tannakowski

•    Koncewicz, Maksym ; Zagier, Don (2001). „Okresy” (PDF) . W języku angielskim, Björn; Schmid, Wilfried (red.). Matematyka bez ograniczeń — 2001 i później . Berlin, Nowy Jork: Springer . s. 771–808. ISBN 9783540669135 . MR 1852188 .

• Marcolli, Matylda (2010). „Całki i motywy Feynmana”. Europejski Kongres Matematyczny . Eur. Matematyka soc. Zurych. s. 293–332. ar Xiv : 0907.0321 .

przypisy

Dalsza lektura

•    Belkale, Prakasz; Brosnan, Patrick (2003), „Okresy i lokalne funkcje zeta Igusa”, International Mathematics Research Notices , 2003 (49): 2655–2670, doi : 10.1155 / S107379280313142X , ISSN 1073-7928 , MR 2012522
•    Waldschmidt, Michel (2006), „Transcendencja okresów: stan techniki” (PDF) , Pure and Applied Mathematics Quarterly , 2 (2): 435–463, doi : 10.4310/PAMQ.2006.v2.n2.a3 , ISSN 1558-8599 , MR 2251476

Linki zewnętrzne

• PlanetMath: Kropka