Oktonion dzielony

W matematyce rozdzielone oktoniony to 8-wymiarowa algebra nieasocjacyjna na liczbach rzeczywistych . W przeciwieństwie do standardowych oktonionów zawierają niezerowe elementy, które są nieodwracalne. Różnią się również sygnatury ich form kwadratowych : rozdzielone oktoniony mają sygnaturę rozszczepioną (4,4), podczas gdy oktoniony mają sygnaturę dodatnio-określoną (8,0).

Aż do izomorfizmu, octonions i split-octonions są jedynymi dwiema 8-wymiarowymi algebrami składu na liczbach rzeczywistych. Są to również jedyne dwie algebry oktonionowe na liczbach rzeczywistych. Algebry z rozszczepionymi oktonionami, analogiczne do rozszczepionych oktonionów, można zdefiniować na dowolnym polu .

Definicja

Konstrukcja Cayleya-Dicksona

Oktoniony i rozdzielone oktoniony można uzyskać z konstrukcji Cayleya-Dicksona , definiując mnożenie par kwaternionów . Wprowadzamy nową jednostkę urojoną ℓ i zapisujemy parę kwaternionów ( a , b ) w postaci a + ℓ b . Produkt jest zdefiniowany przez regułę:

$\ Displaystyle (a + \ ell b) (c + \ ell d) = (ac + \lambda {\bar {d}}b)+\ell (da+b{\bar {c}})}$

Gdzie

${\ Displaystyle \ lambda = \ ell ^ {2}.}$

Jeśli λ zostanie wybrane jako −1, otrzymamy oktoniony. Jeśli zamiast tego przyjmuje się, że wynosi on +1, otrzymujemy podzielone octoniony. Można również uzyskać podzielone oktoniony poprzez podwojenie podzielonych kwaternionów Cayleya-Dicksona . Tutaj każdy wybór λ (± 1) daje rozszczepione oktoniony.

Tabliczka mnożenia

Mnemonik dla produktów podzielonych oktonionów.

Podstawę ${\ Displaystyle \ {\ 1, \ ja, \ j, \ k, \ \ell ,\ \ell i,\ \ell j,\ \ell k\ \}}$ dzielonych oktonionów podaje zbiór k .

Każdy podzielony octonion można zapisać jako liniową kombinację elementów podstawowych, ${\ displaystyle x}$

${\ Displaystyle x = x_ {0} + x_ {1} \ ,i+x_{2}\,j+x_{3}\,k+x_{4}\,\ell +x_{5}\,\ell i+x_{6}\,\ell j+x_{ 7}\,\ell k,}$

z rzeczywistymi współczynnikami ${\ displaystyle x_ {a}}$ .

Dzięki liniowości mnożenie podzielonych oktonionów jest całkowicie określone przez następującą tabliczkę mnożenia :

		mnożnik
		${\ Displaystyle 1}$	${\ Displaystyle i}$	${\ displaystyle j}$	${\ displaystyle k}$	${\ Displaystyle \ ell}$	${\ Displaystyle \ ell i}$	${\ Displaystyle \ ell j}$	${\ Displaystyle \ ell k}$
mnożna	${\ Displaystyle 1}$	${\ Displaystyle 1}$	${\ Displaystyle i}$	${\ displaystyle j}$	${\ displaystyle k}$	${\ Displaystyle \ ell}$	${\ Displaystyle \ ell i}$	${\ Displaystyle \ ell j}$	${\ Displaystyle \ ell k}$
	${\ Displaystyle i}$	${\ Displaystyle i}$	${\ Displaystyle -1}$	${\ displaystyle k}$	${\ Displaystyle -j}$	${\ Displaystyle - \ ell i}$	${\ Displaystyle \ ell}$	${\ Displaystyle - \ ell k}$	${\ Displaystyle \ ell j}$
	${\ displaystyle j}$	${\ displaystyle j}$	${\ Displaystyle -k}$	${\ Displaystyle -1}$	${\ Displaystyle i}$	${\ Displaystyle - \ ell j}$	${\ Displaystyle \ ell k}$	${\ Displaystyle \ ell}$	${\ Displaystyle - \ ell i}$
	${\ displaystyle k}$	${\ displaystyle k}$	${\ displaystyle j}$	${\ Displaystyle -i}$	${\ Displaystyle -1}$	${\ Displaystyle - \ ell k}$	${\ Displaystyle - \ ell j}$	${\ Displaystyle \ ell i}$	${\ Displaystyle \ ell}$
	${\ Displaystyle \ ell}$	${\ Displaystyle \ ell}$	${\ Displaystyle \ ell i}$	${\ Displaystyle \ ell j}$	${\ Displaystyle \ ell k}$	${\ Displaystyle 1}$	${\ Displaystyle i}$	${\ displaystyle j}$	${\ displaystyle k}$
	${\ Displaystyle \ ell i}$	${\ Displaystyle \ ell i}$	${\ Displaystyle - \ ell}$	${\ Displaystyle - \ ell k}$	${\ Displaystyle \ ell j}$	${\ Displaystyle -i}$	${\ Displaystyle 1}$	${\ displaystyle k}$	${\ Displaystyle -j}$
	${\ Displaystyle \ ell j}$	${\ Displaystyle \ ell j}$	${\ Displaystyle \ ell k}$	${\ Displaystyle - \ ell}$	${\ Displaystyle - \ ell i}$	${\ Displaystyle -j}$	${\ Displaystyle -k}$	${\ Displaystyle 1}$	${\ Displaystyle i}$
	${\ Displaystyle \ ell k}$	${\ Displaystyle \ ell k}$	${\ Displaystyle - \ ell j}$	${\ Displaystyle \ ell i}$	${\ Displaystyle - \ ell}$	${\ Displaystyle -k}$	${\ displaystyle j}$	${\ Displaystyle -i}$	${\ Displaystyle 1}$

Wygodnym mnemonikiem jest diagram po prawej stronie, który przedstawia tabliczkę mnożenia dla podzielonych oktonionów. Ten pochodzi od macierzystego octonionu (jednego z 480 możliwych), który jest zdefiniowany przez:

${\ Displaystyle e_ {i} e_ {j} = - \ delta _ {ij} e_ {0} + \ varepsilon _ {ijk} e_ { k},\,}$

gdzie $}}$$ij$ to Kroneckera i symbol Levi-Civita o wartości $+1}$ kiedy ${\ Displaystyle ijk = 123 154 176 264 257 374 365}$ i:

$\ Displaystyle e_ {i} e_ {0} = e_ {0} e_ {i} = e_ {i}; \, \, \, \, e_ {0} e_ {0} = e_ { 0},}$

z elementem skalarnym i $ja$${\ Displaystyle i, j, k = 1... 7.}$

Czerwone strzałki wskazują możliwe odwrócenie kierunku narzucone przez zanegowanie prawego dolnego kwadrantu rodzica, tworząc podzielony oktonion z tą tabliczką mnożenia.

Koniugat, norma i odwrotność

Koniugat rozdzielonej oktonionu x jest dany przez

${\ Displaystyle {\ bar {x}} = x_ {0 }-x_{1}\,i-x_{2}\,j-x_{3}\,k-x_{4}\,\ell -x_{5}\,\ell i-x_{6}\ ,\ell j-x_{7}\,\ell k,}$

tak jak w przypadku oktonionów.

Postać kwadratowa na x jest dana przez

${\ Displaystyle N (x) = {\ bar {x}} x = (x_ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2})-(x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}).}$

Ta forma kwadratowa N ( x ) jest izotropową formą kwadratową , ponieważ istnieją niezerowe rozdzielone oktoniony x z N ( x ) = 0. Przy N , rozdzielone oktoniony tworzą przestrzeń pseudoeuklidesową o ośmiu wymiarach nad R , czasami napisane R ^4,4 dla oznaczenia sygnatury formy kwadratowej.

Jeśli N ( x ) ≠ 0, to x ma (dwustronną) multiplikatywną odwrotność x ⁻¹ określoną przez

${\ Displaystyle x ^ {-1} = N (x) ^ {-1} {\ bar {x}}.}$

Nieruchomości

Podzielone oktoniony, podobnie jak oktoniony, są nieprzemienne i nieskojarzone. Podobnie jak oktoniony, tworzą algebrę kompozycji, ponieważ forma kwadratowa N jest multiplikatywna. To jest,

${\ Displaystyle N (xy) = N (x) N (y).}$

Podzielone oktoniony spełniają tożsamości Moufanga iw ten sposób tworzą algebrę alternatywną . Dlatego, zgodnie z twierdzeniem Artina , podalgebra generowana przez dowolne dwa elementy jest asocjacyjna. Zbiór wszystkich odwracalnych elementów (tj. tych elementów, dla których N ( x ) ≠ 0) tworzy pętlę Moufanga .

Grupa automorfizmu rozszczepionych oktonionów jest 14-wymiarową grupą Liego, rozszczepioną G2 _postacią rzeczywistą wyjątkowej prostej grupy Liego .

Algebra wektorowo-macierzowa Zorna

Ponieważ rozdzielone oktoniony nie są asocjacyjne, nie mogą być reprezentowane przez zwykłe macierze (mnożenie macierzy jest zawsze asocjacyjne). Zorn znalazł sposób na przedstawienie ich jako „macierzy” zawierających zarówno skalary, jak i wektory, używając zmodyfikowanej wersji mnożenia macierzy. W szczególności zdefiniuj macierz wektorową jako macierz 2 × 2 postaci

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} a & \ mathbf {v} \\\ mathbf {w} & b \ koniec {bmatrix}},}$

gdzie a i b są liczbami rzeczywistymi, a v i w są wektorami w R ³ . Zdefiniuj mnożenie tych macierzy przez regułę

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} a & \ mathbf {v} \\\ mathbf {w} & b \ koniec {bmatrix}} {\ rozpocząć {bmatrix} a '& \ mathbf {v} ' \\\mathbf {w} '&b'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}aa'+\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} '&a\mathbf {v} '+b'\ mathbf {v} +\mathbf {w} \times \mathbf {w} '\\a'\mathbf {w} +b\mathbf {w} '-\mathbf {v} \times \mathbf {v} '&bb '+\mathbf {v} '\cdot \mathbf {w} \end{bmatrix}}}$

gdzie · i × są zwykłym iloczynem skalarnym i iloczynem krzyżowym 3-wektorów. Z dodawaniem i mnożeniem skalarnym zdefiniowanym jak zwykle, zbiór wszystkich takich macierzy tworzy nieskojarzoną jednolitą 8-wymiarową algebrę liczb rzeczywistych, zwaną algebrą wektorowo-macierzową Zorna .

Zdefiniuj „ wyznacznik ” macierzy wektorów za pomocą reguły

${\ Displaystyle \ det {\ rozpocząć {bmatrix} a & \ mathbf {v} \\\ mathbf {w} & b \ koniec {bmatrix}} = ab- \ mathbf {v} \cdot \mathbf {w} }$ .

Ten wyznacznik jest formą kwadratową w algebrze Zorna, która spełnia regułę kompozycji:

${\ Displaystyle \ det (AB) = \ det (A) \ det (B). \,}$

Algebra wektorowo-macierzowa Zorna jest w rzeczywistości izomorficzna z algebrą podzielonych oktonionów. $formularzu$ octonion w

${\ Displaystyle x = (a + \ mathbf {v}) + \ ell (b + \ mathbf {w})}$

gdzie $w$$liczbami$ rzeczywistymi, a v w są czystymi urojonymi czwartorzędami uważanymi za wektory R ³ . Izomorfizm z dzielonych oktonionów do algebry Zorna jest określony przez

${\ Displaystyle x \ mapsto \ phi (x) = {\ rozpocząć {bmatrix} a + b & \ mathbf {v} + \ mathbf {w} \\ - \ mathbf {v} + \ mathbf {w} & a-b \ koniec {bmacierz}}.}$

Ten izomorfizm zachowuje normę, ponieważ ${\ Displaystyle N (x) = \ det (\ phi (x))}$ .

Aplikacje

Split-octonions są używane w opisie prawa fizycznego. Na przykład:

• Równanie Diraca w fizyce (równanie ruchu cząstki o swobodnym spinie 1/2, takiej jak np. elektron lub proton) można wyrazić za pomocą natywnej arytmetyki rozdzielonych oktonionów.
• Supersymetryczna mechanika kwantowa ma rozszerzenie oktonionowe.
• Algebrę rozdzielonych oktonionów opartą na Zornie można wykorzystać do modelowania chromodynamiki kwantowej o symetrycznym cechowaniu lokalnym SU (3).
• Zadanie kulki toczącej się bez poślizgu po kuli o promieniu 3 razy większym ma rozszczepioną postać rzeczywistą wyjątkowej grupy G ₂ jako swoją grupę symetrii, dzięki temu, że problem ten można opisać za pomocą rozszczepionych oktonionów.

•   Harvey, F. Reese (1990). Spinory i kalibracje . San Diego: prasa akademicka. ISBN 0-12-329650-1 .
• Nash, Patrick L (1990) „O strukturze podzielonej algebry oktonionowej”, Il Nuovo Cimento B 105 (1): 31–41. doi : 10.1007/BF02723550
•   Springer, TA; FD Veldkamp (2000). Octony, algebry Jordana i grupy wyjątkowe . Springer-Verlag. ISBN 3-540-66337-1 .