Teoria kohomologii Weila

W geometrii algebraicznej kohomologia Weila lub teoria kohomologii Weila jest kohomologią spełniającą pewne aksjomaty dotyczące wzajemnego oddziaływania cykli algebraicznych i grup kohomologii. Nazwa jest na cześć André Weila . Każda teoria kohomologii Weila uwzględnia jednoznacznie kategorię motywów Chow , ale sama kategoria motywów Chow nie jest teorią kohomologii Weila, ponieważ nie jest kategorią abelową .

Definicja

Ustal pole podstawowe k o dowolnej charakterystyce i „pole współczynników” K o charakterystyce zerowej. Teoria kohomologii Weila jest funktorem kontrawariantnym

${\ Displaystyle H ^ {*}: \ {{\ tekst {gładkie rzutowe odmiany nad}} k \} \ longrightarrow \ {{\ text {stopniowane }}K{\text{-algebry}}\}}$

spełniając poniższe aksjomaty. Dla każdej gładkiej rzutowej rozmaitości algebraicznej X wymiaru n nad k , to stopniowana K -algebra

${\ Displaystyle H ^ {*} (X) = \ bigoplus \ nolimits _ {i} H ^ {i} (X)}$

jest zobowiązany do spełnienia następujących warunków:

• ${\ Displaystyle H ^ {i} (X)}$ jest skończoną wymiarową przestrzenią K - wektorową dla każdej liczby całkowitej i .

• ${\ Displaystyle H ^ {i} (X) = 0}$ dla każdego ja <0 lub ja > 2 n .

• ${\ Displaystyle H ^ {2n} (X)}$ jest izomorficzny z K (tak zwana mapa orientacji).

• Dualność Poincarégo istnieje idealne połączenie

${\ Displaystyle H ^ {i} (X) \ razy H ^ {2n-i} (X) \ do H ^ {2n} (X) \ cong K.} Istnieje$

• kanoniczny izomorfizm Künnetha

${\ Displaystyle H ^ {*} (X) \ otimes H ^ {*} (Y) \ do H ^ {*} (X \ razy Y).} Dla każdej liczby całkowitej r istnieje$

• mapa cyklu zdefiniowana w grupie ${\ Displaystyle Z ^ {r} (X)}$ cykli algebraicznych współwymiaru r na X ,

${\ Displaystyle \ gamma _ {X}: Z ^ {r} (X) \ do H ^ {2r} (X)}$

spełniając pewne warunki zgodności w odniesieniu do funkcjonalności H i izomorfizmu Künnetha. Jeśli X jest punktem, mapa cyklu musi być inkluzją Z ⊂ K .

• Słaby aksjomat Lefschetza : Dla dowolnego gładkiego przekroju hiperpłaszczyzny j : W ⊂ X (tj. W = X ∩ H , H jakaś hiperpłaszczyzna w otaczającej przestrzeni rzutowej), mapy

${\ Displaystyle j ^ {*}: H ^ {i} (X) \ do H ^ {i} (W)}$

są izomorfizmami dla ${\ Displaystyle i \ leqslant n-2}$ i zastrzyki dla ${\ Displaystyle i \ leqslant n-1.}$

• Twardy aksjomat Lefschetza : Niech W będzie przekrojem hiperpłaszczyzny i ${\ Displaystyle w = \ gamma _ {X} (W) \ w H ^ {2} (X)}$ będzie jego obrazem pod mapą klas cykli. Operator Lefschetza jest zdefiniowany jako

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} L: H ^ {i} (X) \ do H ^{i+2}(X)\\x\mapsto x\cdot w,\end{przypadki}}}$

gdzie kropka oznacza iloczyn w algebrze ${\ Displaystyle H ^ {*} (X).}$ Następnie

${\ Displaystyle L ^ {i}: H ^ {ni} (X) \ do H^{n+i}(X)}$

jest izomorfizmem dla i = 1, ..., n .

Przykłady

Istnieją cztery tak zwane klasyczne teorie kohomologii Weila:

• kohomologia osobliwa (= Betti) , uznająca rozmaitości po C za przestrzenie topologiczne przy użyciu ich topologii analitycznej (patrz GAGA ),

• kohomologia de Rham nad polem bazowym o charakterystycznym zera: nad C zdefiniowanym przez formy różniczkowe (patrz kohomologia algebraiczna de Rham ),

• i ogólnie za pomocą kompleksu Kählera

• $różniczki$ kohomologia dla rozmaitości w polach o charakterystyce różnej od ${\ Displaystyle \ ell}$ ,

• kohomologia krystaliczna .

Dowody aksjomatów dla kohomologii Bettiego i de Rhama są stosunkowo łatwe i klasyczne. Na przykład dla $-adic$ większość powyższych właściwości to głębokie twierdzenia.

Zanikanie grup kohomologii Bettiego przekraczających dwukrotność wymiaru wynika z faktu, że (złożona) rozmaitość o złożonym wymiarze n ma wymiar rzeczywisty 2 n , więc te wyższe grupy kohomologii znikają (na przykład porównując je z (ko)homologią uproszczoną ) .

Mapa cyklu de Rham ma również przyziemne wyjaśnienie: biorąc pod rozmaitość Y o złożonym kowymiarze r w pełnej rozmaitości X o złożonym wymiarze n , rzeczywisty wymiar Y wynosi 2 n −2 r , więc można zintegrować dowolne różniczka (2 n −2 r ) wzdłuż Y tworzy liczbę zespoloną. To indukuje funkcjonał liniowy ${\ Displaystyle \ textstyle \ int _ {Y} \ dwukropek \; H _ {\ tekst {dR}} ^ {2n-2r} (X) \ do \ mathbf {C}}$ . Przez dualność Poincarégo podanie takiego funkcjonału jest równoznaczne z podaniem elementu ${\ Displaystyle H _ {\ tekst {dR}} ^ {2r} (X)}$ ; tym elementem jest obraz Y pod mapą cyklu.

•    Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1994), Zasady geometrii algebraicznej , Wiley Classics Library, New York: Wiley, doi : 10.1002/9781118032527 , ISBN 978-0-471-05059-9 , MR 1288523 (zawiera dowody wszystkich aksjomatów dla Bettiego i kohomologii de-Rhama)
•   Milne, James S. (1980), Étale cohomology , Princeton, NJ: Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08238-7 (idem dla l- adycznej kohomologii)
•   Kleiman, SL (1968), „Cykle algebraiczne i przypuszczenia Weila”, Dix exposés sur la cohomologie des schémas , Amsterdam: North-Holland, s. 359–386, MR 0292838