Afiniczny Grassmannian

Aby zapoznać się z różnorodnością wszystkich k -wymiarowych podprzestrzeni afinicznych skończenie wymiarowej przestrzeni wektorowej (gładka odmiana skończonych wymiarów nad k ), zobacz afiniczny Grassmannian (rozmaitość) .

W matematyce afiniczny Grassmannian grupy algebraicznej G w polu k jest schematem ind — współgranicą schematów skończonych wymiarów — który można traktować jako odmianę flagi dla grupy pętli G ( k (( t )) ) i który opisuje teorię reprezentacji podwójnej grupy Langlandsa ^LG poprzez tak zwaną geometryczną korespondencję Satake'a .

Definicja Gr za pomocą funktora punktów

Niech k będzie polem i oznaczmy przez $-Alg}}}$ \ Displaystyle k {\ tekst $-algebr$ i k i kategorię zbiorów odpowiednio. Poprzez lemat Yoneda , schemat X na polu k jest określony przez jego funktor punktów , którym jest funktor ${\ Displaystyle X: k {\ tekst {-Alg}} \ do \ mathrm {Zbiór} }$ , który przenosi A do zbioru X ( A ) A -punktów X . Mówimy wtedy, że ten funktor jest reprezentowalny przez schemat X . Afiniczny Grassmannian jest funktorem od k -algebr do zbiorów, który sam nie jest reprezentowalny, ale który ma filtrację przez reprezentowalne funktory. Jako taki, chociaż nie jest schematem, można go traktować jako połączenie schematów, a to wystarczy, aby z zyskiem zastosować metody geometryczne do jego badania.

Niech G będzie grupą algebraiczną nad k . Afiniczny Grassmannian Gr _G jest funktorem, który łączy z k -algebrą A zbiór klas izomorfizmu par ( E , φ ), gdzie E jest główną jednorodną przestrzenią dla G nad Spec A [[ t ]], a φ jest izomorfizm, zdefiniowany na podstawie Spec A (( t )), E z trywialną wiązką G G × Spec A (( t )). Za pomocą twierdzenia Beauville’a – Laszlo można również określić te dane, ustalając krzywą algebraiczną X na k , punkt k x na X i przyjmując E za wiązkę G na X _A i φ trywializację na ( X - x ) _ZA . Gdy G jest grupą redukcyjną , Gr _G jest w rzeczywistości ind-rzutową, tj. indukcyjną granicą schematów rzutowych.

Definicja jako przestrzeń coset

Oznaczmy przez ${\ Displaystyle {\ mathcal {K}} = k ((t))}$ pole formalnego szeregu Laurenta nad k i przez ${ \ displaystyle {\ mathcal {O}} = k [[t]]}$ pierścień formalnych szeregów potęgowych nad k . Wybierając trywializację $identyfikowany z$ na , zbiór -punktów Gr _G coset ${\ Displaystyle G ({\ mathcal {K}}) / G ({\ mathcal {O}})}$ .

•   Alexander Schmitt (11 sierpnia 2010). Kolektory flag afinicznych i pakiety główne . Skoczek. s. 3–6. ISBN 978-3-0346-0287-7 . Źródło 1 listopada 2012 r .