Twierdzenie Beauville'a-Laszlo

W matematyce twierdzenie Beauville-Laszlo jest wynikiem algebry przemiennej i geometrii algebraicznej , która pozwala „skleić” dwa krążki w nieskończenie małym sąsiedztwie punktu na krzywej algebraicznej . Udowodnili to Arnaud Beauville i Yves Laszlo ( 1995 ).

Twierdzenie

⁰ Chociaż ma to implikacje w geometrii algebraicznej, twierdzenie to jest wynikiem lokalnym i jest podane w najbardziej prymitywnej postaci dla pierścieni przemiennych . Jeśli A jest pierścieniem, a f jest niezerowym elementem A, to możemy utworzyć dwa pochodne pierścienie _: lokalizację w f , Af i dopełnienie w Af ,  ; obie są A - algebrami . W dalszej części zakładamy, że f jest niezerowym dzielnikiem. Geometrycznie A jest postrzegane jako schemat X = Spec A i f jako dzielnik ( f ) na Spec A ; wtedy A _f jest jego uzupełnieniem D _f = Spec A _f , główny zbiór otwarty określony przez f , podczas gdy  jest „nieskończenie małym sąsiedztwem” D = Spec  z ( f ). Punkt przecięcia D _f i Spec  jest „przebitym nieskończenie małym sąsiedztwem” D około ( f ), równym Spec  ⊗ _A A _f = Spec  _f .

Załóżmy teraz, że mamy A - moduł M ; z geometrycznego punktu widzenia M jest snopkiem na Spec A i możemy go ograniczyć zarówno do głównego zbioru otwartego D _f, jak i do nieskończenie małego sąsiedztwa Spec  , dając A _f -moduł F i  -moduł G . algebraicznie,

${\ Displaystyle F = M \ otimes _ {A} A_ {f} = M_ {f} \ qquad G = M \ otimes _ {A} {\ kapelusz {A}}.}$

⁰ Pomimo $A$ pokusy zapisania , co oznacza uzupełnienie M w idealnym Af , chyba że A jest a M jest generowany skończenie, nie są one w rzeczywistości równe.Zjawisko to jest głównym powodem, dla którego twierdzenie nosi nazwy Beauville i Laszlo; w przypadku noetherowskim, skończenie generowanym, jest to, jak zauważają autorzy, szczególny przypadek wiernie płaskiej twierdzenia Grothendiecka zejście .) F i G mogą być dalej ograniczone do przebitego sąsiedztwa D , a ponieważ oba ograniczenia ostatecznie wywodzą się z M , są izomorficzne: mamy izomorfizm

${\ Displaystyle \ phi \ dwukropek G_ {f} {\ xrightarrow {\ sim}} F \ otimes _ {A_ {f}} {\ kapelusz {A}} _ {f} = F \ otimes _ {A} {\ kapelusz {A}}.}$

⁰ Rozważmy teraz sytuację odwrotną: mamy pierścień A i element f oraz dwa moduły: A _f -moduł F i  -moduł G , wraz z izomorfizmem φ jak powyżej. Geometrycznie otrzymujemy schemat X i zarówno zbiór otwarty D _f, jak i „małe” sąsiedztwo D jego domkniętego dopełnienia ( f ); na D _f i D mamy dane dwa krążki, które zgadzają się na przecięciu D = D _f ∩ D . Gdyby D było zbiorem otwartym w topologii Zariskiego, moglibyśmy skleić krążki; treść twierdzenia Beauville'a-Laszlo jest taka, że ​​przy jednym technicznym założeniu f , to samo dotyczy również nieskończenie małego sąsiedztwa D.

Twierdzenie : Biorąc pod uwagę A , f , F , G i φ jak wyżej, jeśli G nie ma f -skrętu, to istnieje moduł A M i izomorfizmy

${\ Displaystyle \ alfa \ dwukropek M_ {f} {\ xrightarrow {\ sim}} F \ qquad \ beta \ dwukropek M \ otimes _ {A} {\ kapelusz {A}} {\ xrightarrow {\ sim}} G}$

zgodny z izomorfizmem φ : φ jest równy złożeniu

${\ Displaystyle G_ {f} = G \ otimes _ {A} A_ {f} {\ xrightarrow {\ beta ^ {-1} \ otimes 1}} M \ otimes _ {A} {\ kapelusz {A}} \ otimes _{A}A_{f}=M_{f}\otimes _{A}{\hat {A}}{\xrightarrow {\alpha \otimes 1}}F\otimes _{A}{\hat {A }}.}$

Stan techniczny, w którym G nie ma f -skrętności, autorzy nazywają „ f -regularnością”. W rzeczywistości można podać mocniejszą wersję tego twierdzenia. Niech M ( A ) będzie kategorią A -modułów (których morfizmy są homomorfizmami A -modułowymi) i niech M _f ( A ) będzie pełną podkategorią f -modułów regularnych. W notacji tej otrzymujemy przemienny diagram kategorii (uwaga M _f ( A _f ) = M ( A _f )):

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {ccc} \ mathbf {M} _ {f} (A) &\longrightarrow &\mathbf {M} _{f}({\hat {A}})\\\downarrow &&\downarrow \\\mathbf {M} (A_{f})&\longrightarrow &\mathbf {M } ({\kapelusz {A}}_{f})\end{tablica}}}$

w którym strzałki to mapy zmian zasad; na przykład górna pozioma strzałka działa na obiekty przez M → M ⊗ _A Â .

Twierdzenie : Powyższy diagram jest diagramem kartezjańskim kategorii.

Wersja globalna

W języku geometrycznym twierdzenie Beauville-Laszlo pozwala skleić snopy na jednowymiarowym schemacie afinicznym w nieskończenie małym sąsiedztwie punktu. Ponieważ snopy mają „charakter lokalny” i ponieważ każdy schemat jest lokalnie pokrewny, twierdzenie dopuszcza globalne stwierdzenie tego samego rodzaju. Wersja tego stwierdzenia, którą autorzy uznali za godną uwagi, dotyczy wiązek wektorowych :

Twierdzenie : Niech X będzie krzywą algebraiczną nad ciałem k , x a k - wymiernym punktem gładkim na X z nieskończenie małym sąsiedztwem D = Spec k [[ t ]], Ra k -algebra, a r dodatnią liczbą całkowitą . Wtedy kategoria Vect _r ( X _R ) wiązek wektorów rang- r na krzywej X _R = X × _{Spec k} Spec R pasuje do diagramu kartezjańskiego:

$Displaystyle {\ zacząć {tablica}{ccc}\mathbf {Vect} _{r}(X_{R})&\longrightarrow &\mathbf {Vect} _{r}(D_{R})\\\strzałka w dół &&\strzałka w dół \\\ mathbf {Vect} _{r}((X\setminus x)_{R})&\longrightarrow &\mathbf {Vect} _{r}(D_{R}^{0})\end{array}}}$

Pociąga to za sobą wniosek podany w artykule:

Wniosek : Przy takim samym układzie oznaczmy przez Triv ( X _R ) zbiór trójek ( E , τ , σ ), gdzie E jest wiązką wektorów na X _R , τ jest trywializacją E nad ( X \ x ) _R ( tj. izomorfizm z wiązką trywialną O ( _{X - x ) R )} , a σ trywializacja nad DR _. Następnie mapy na powyższym diagramie dostarczają bijekcji między Triv ( X _R ) i GL _r ( R ( ( t ))) (gdzie R ( ( t )) jest formalnym pierścieniem szeregu Laurenta ).

⁰ Wniosek wynika z twierdzenia, że ​​trójka jest powiązana z unikalną macierzą, która widziana jako „funkcja przejściowa” po D _R między trywialnymi wiązkami nad ( X \ x ) _R i nad D _R , pozwala na sklejenie ich w celu utworzenia E , przy czym naturalne trywializacje sklejonej wiązki są następnie utożsamiane z σ i τ . Znaczenie tego wniosku polega na tym, że pokazuje on, że afiniczny Grassmannian można utworzyć albo z danych wiązek na nieskończenie małym dysku, albo z wiązek na całej krzywej algebraicznej.

•   Beauville, Arnaud ; Laszlo, Yves (1995), „Un lemme de descente” (PDF) , Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I , 320 (3): 335–340, ISSN 0764-4442 , dostęp 2008-04-08