Wiernie płaski zjazd

Wiernie płaskie zejście to technika wywodząca się z geometrii algebraicznej , pozwalająca na wyciąganie wniosków na temat obiektów na tarczy morfizmu wiernie płaskiego . Takie morfizmy, które są płaskie i suriekcyjne, są powszechne, jeden przykład pochodzi z otwartej okładki.

W praktyce, z afinicznego punktu widzenia, technika ta pozwala udowodnić pewne twierdzenie o pierścieniu lub schemacie po wiernie płaskiej zmianie podstawy.

Wiernie płaskie zejście „waniliowe” jest generalnie fałszywe; zamiast tego wiernie płaskie zejście jest ważne w pewnych warunkach skończoności (np. quasi-zwarta lub lokalnie skończona prezentacja).

Wiernie płaski spadek jest szczególnym przypadkiem twierdzenia Becka o monadyczności .

Podstawowa forma

Niech $pierścienia$ wiernie płaskiego . Biorąc pod uwagę -moduł $\displaystyle$ $M}$ , otrzymujemy -moduł $\displaystyle N=M\otimes _{A}B$ ${$ i ${\ Displaystyle A \ do B}$ jest wiernie płaska, mamy inkluzję ${\ Displaystyle M \ hookrightarrow M \ otimes _ {A} B}$ . $_$ izomorfizm _ $_ b ⊗ 2$ ${\ otimes 2} ,x\otimes y\mapsto y\otimes x}$ b i to spełnia warunek kocyklu:

{\ Displaystyle \ varphi ^ {1} = \ varphi ^ {0} \ circ \ varphi ^ {2}}

gdzie ${\ Displaystyle \ varphi ^ {i}: N \ otimes B ^ {\ otimes 2} {\ overset {\ sim} {\ do}} N \ czasami B^{\oraz 2}}$ są podane jako:

{\ Displaystyle \ varphi ^ {0} (n \ czasami b \ czasami c) = \ rho ^ {1} (b) \ varphi (n \ czasami c)}

{\ Displaystyle \ varphi ^ {1} (n \ czasami b \ otimes c) = \ rho ^ {2} (b) \ varphi (n \ czasami c)}

{\ Displaystyle \ varphi ^ {2} (n \ czasami b \ czasami c )=\varphi (n\czasami b)\czasami c}

z ${\ Displaystyle \ rho ^ {i} (x) (y_ {0} \ otimes \ cdots \otimes y_{r})=y_{0}\cdots y_{i-1}\otimes x\otimes y_{i}\cdots y_{r}}$ . φ ${\ Displaystyle \ varphi ^ {i}: N \ otimes B ^ {\ otimes 2} {\ overset {\ sim} {\ do}$ są określane tylko przez ${\ displaystyle \ varphi}$ i nie obejmują ${\ Displaystyle M.}$

Teraz najbardziej podstawowa forma wiernie płaskiego zejścia mówi, że powyższą konstrukcję można odwrócić; tj. biorąc pod uwagę -moduł $i$ ${\ Displaystyle N}$ za ${\ Displaystyle B ^ {\ otimes 2}}$ izomorfizm ${\ Displaystyle \ varphi: N \ czasami B {\ overset {\ sim} {\ do}} N \ czasami B}$ takie, że ${\ Displaystyle \ varphi ^ {1} = \ varphi ^ {0} \ circ \varphi ^{2}}$ , niezmienny moduł podrzędny:

{\ Displaystyle M = \ {n \ w N | \ varphi (n \ razy 1) = n \ razy 1 \} \ podzbiór N}

jest taka, że ${\ Displaystyle M \ otimes B = N}$ .

Zejście Zaryńskiego

Zejście Zaryńskiego odnosi się po prostu do faktu, że quasi-spójny snop można uzyskać przez sklejenie ich na (Zariski-)otwartej okładce. Jest to szczególny przypadek wiernie płaskiego zejścia, ale jest często używany w celu zredukowania problemu zejścia do przypadku afinicznego.

W szczegółach $.$ quasi na X Następnie zejście Zarińskiego stwierdza, że dane quasi-spójne snopy $= \bigcup U_{i}}$ otwartych podzbiorach $\$ $Displaystyle U_ {i} \ podzbiór X}$ z i izomorfizmy ${\ Displaystyle \ varphi _ {ij}: F_ {i} | _ {U_ {i} \ czapka U_ {j}} {\ overset {\ sim} {\ do}} F_ {j} | _ {U_ {i} \ cap U_ {j}}}$ takie, że (1) ${\ Displaystyle \ varphi _ {ii} = \ operatorname {id}}$ i (2) ${\ Displaystyle \ varphi _ {ik} = \ varphi _ {jk} \ circ \ varphi _ {ij}}$ na $\ cap U_ {k}}$ ${\ Displaystyle U_ {i} \ czapka U_ { j$ $F$ , wtedy istnieje unikalny quasi-spójny snop ${\ Displaystyle F | _ {U_ {i}} \ simeq F_ {i}}$ X taki , że w zgodny sposób (tj. ${\ Displaystyle F | _ {U_ {j}} \ simeq F_ {j}}$ ogranicza się do ${\ Displaystyle F | _ {U_ {i} \ cap U_{j}}\simeq F_{i}|_{U_{i}\cap U_{j}}{\overset {\varphi _{ij}}{\underset {\sim}}}}} F_{j}|_{U_{i}\cap U_{j}}} )$ .

$stosem$ do topologii Zariskiego jest ; tj $wyposażona$ kategoria funktor kategoria (względnych) schematów $,$ teoria pochodzenia. Tutaj niech $)$ kategorię składającą się z par $\ Displaystyle (U, F)}$ się z (Zariski) U i na nim quasi-spójny snop i $)$ funktor $mapsto U}$ .

Zejście dla quasi-spójnych snopów

Istnieje zwięzłe stwierdzenie dla głównego wyniku w tym obszarze: (prestack quasi-spójnych snopów na schemacie S oznacza, że dla dowolnego S -schematu X każdy punkt X prestacku jest quasi-spójnym snopkiem na X .)

Twierdzenie — Prestack quasi-spójnych snopów na podstawowym schemacie S jest stosem w odniesieniu do topologii fpqc .

Dowód wykorzystuje zejście Zariskiego i zejście wiernie płaskie w przypadku afinicznym.

Tutaj „quasi-kompaktowy” nie może zostać wyeliminowany; patrz https://mathoverflow.net/questions/127362/counter-example-to-faithfully-flat-descent/

Zobacz też

Notatki

SGA 1 , Exposé VIII – to główne odniesienie (ale zależy to od wyniku Girauda (1964), który zastąpił (w znacznie bardziej ogólnej formie) niepublikowane Exposé VII z SGA1).
Giraud, Jean (1964), Méthode de la descent , Mém. soc. Matematyka Francja, tom. 2, doi : 10.24033/msmf.2 , MR 0190142
Hartshorne, Robin (1977), Geometria algebraiczna , Absolwent Teksty z matematyki , tom. 52, Nowy Jork: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9 , MR 0463157
Ulica, Ross (20 marca 2003). „Kategoryczne i kombinatoryczne aspekty teorii pochodzenia”. arXiv : matematyka/0303175 . (szczegółowe omówienie 2-kategorii)
Angelo Vistoli, Uwagi o topologiach Grothendiecka, kategoriach włókien i teorii pochodzenia (aktualizacja 2 września 2008)
Waterhouse, William (1979), Wprowadzenie do schematów grup afinicznych , Graduate Texts in Mathematics, tom. 66, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-6217-6 , ISBN 978-0-387-90421-4 , MR 0547117