Twierdzenie Becka o monadyczności

W teorii kategorii , gałęzi matematyki , twierdzenie Becka o monadyczności podaje kryterium charakteryzujące funktory monadyczne , wprowadzone przez Jonathana Mocka Becka ( 2003 ) około 1964 r. Często występuje w formie podwójnej dla komonad . Czasami nazywa się to twierdzeniem Becka o potrójności ze względu na starszy termin potrójny dla monady.

Twierdzenie Becka o monadyczności stwierdza, że funktor

{\ Displaystyle U: C \ do D}

jest monadyczna wtedy i tylko wtedy, gdy

U ma lewy spójnik ;
U odzwierciedla izomorfizmy (jeśli U ( f ) jest izomorfizmem, to także f ); I
C ma koequalizery par równoległych podzielonych na U (te równoległe pary morfizmów w C , które U wysyła do par mających rozdzielony koequalizer w D ), a U zachowuje te koequalizery.

Istnieje kilka odmian twierdzenia Becka: jeśli U ma lewe sprzężenie, to dowolny z poniższych warunków zapewnia, że U jest monadyczne:

U odzwierciedla izomorfizmy , a C ma koequalizery par zwrotnych (te ze wspólną prawą odwrotnością), a U zachowuje te koequalizery. (Daje to surowe twierdzenie o monadyczności).
Każdy diagram w C , który jest wysyłany przez U do podzielonej sekwencji koequalizera w D , sam jest sekwencją koequalizera w C. Innymi słowy, U tworzy (zachowuje i odzwierciedla) sekwencje koequalizera podzielone na U.

Inna odmiana twierdzenia Becka charakteryzuje funktory ściśle monadyczne: takie, dla których funktor porównania jest raczej izomorfizmem niż tylko równoważnością kategorii . W tej wersji definicje tego, co to znaczy tworzyć koequalizery, zostały nieco zmienione: koequalizer musi być unikalny, a nie tylko unikalny aż do izomorfizmu.

Twierdzenie Becka jest szczególnie ważne w związku z teorią pochodzenia , która odgrywa rolę w teorii snopów i stosów , a także w podejściu Aleksandra Grothendiecka do geometrii algebraicznej . Większość przypadków wiernie płaskiego pochodzenia struktur algebraicznych (np. w FGA iw SGA1 ) to przypadki szczególne twierdzenia Becka. Twierdzenie daje dokładny kategoryczny opis procesu „zejścia” na tym poziomie. Jean Bénabou i Jacques Roubaud wykazali, że podejście Grothendiecka oparte na kategoriach światłowodowych i danych pochodzenia jest równoważne (w pewnych warunkach) z podejściem komonadowym. W późniejszej pracy Pierre Deligne zastosował twierdzenie Becka do teorii kategorii Tannakian , znacznie upraszczając podstawowe osiągnięcia.

Przykłady

Funktor zapominalski z przestrzeni topologicznych do zbiorów nie jest monadyczny, ponieważ nie odzwierciedla izomorfizmów: ciągłe bijekcje między (niezwartymi lub innymi niż Hausdorff) przestrzeniami topologicznymi nie muszą być homeomorfizmami.
Negrepontis (1971 , §1) pokazuje, że funktor z przemiennych C*-algebr do zbiorów wysyłających taką algebrę A do kuli jednostkowej , tj. zbiór ${\ displaystyle \ {a \in A,\|a\|\leq 1\}}$ , jest monadyczne. Negrepontis dedukuje również dwoistość Gelfanda , tj. można z tego wywnioskować równoważność kategorii między przeciwną kategorią zwartych przestrzeni Hausdorffa a przemiennymi C*-algebrami.
Funktor potęgowy od Set ^op do Set jest monadyczny, gdzie Set jest kategorią zbiorów. Mówiąc bardziej ogólnie, twierdzenie Becka można wykorzystać do wykazania, że funktor potęgowy od Top ^do T jest monadyczny dla dowolnego toposu T, co z kolei służy do wykazania, że topos T ma skończone współgranice.
Funktor zapominalski od półgrup do zbiorów jest monadyczny. Ten funktor nie zachowuje dowolnych koequalizerów, co pokazuje, że pewne ograniczenia koequalizerów w twierdzeniu Becka są konieczne, jeśli chce się mieć warunki, które są konieczne i wystarczające.
Jeśli B jest wiernie płaskim pierścieniem przemiennym nad pierścieniem przemiennym A , to funktor T z modułów A do modułów B przenoszący M do B ⊗ _AM jest komonadą. Wynika to z podwójnego twierdzenia Becksa, ponieważ warunek, że B jest płaski, implikuje, że T zachowuje granice, podczas gdy warunek, że B jest wiernie płaski, implikuje, że T odzwierciedla izomorfizmy. Coalgebra nad T okazuje się zasadniczo B -modułem z danymi zejścia, więc fakt, że T jest komonadą jest równoznaczny z głównym twierdzeniem o wiernie płaskim zejściu, mówiącym, że B -moduły ze spadkiem są równoważne A -modułom.

Linki zewnętrzne

Balmer, Paul (2012), „Zejście w kategoriach triangulowanych”, Mathematische Annalen , 353 (1): 109–125, doi : 10.1007 / s00208-011-0674-z , MR 2910783 , S2CID 121964355
Barr, M.; Wells, C. (2013) [1985], Trójki, toposy i teorie , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, tom. 278, Springer, ISBN 9781489900234 pdf
Beck, Jonathan Mock (2003) [1967], „Triples, algebras and cohomology” (PDF) , Przedruki z teorii i zastosowań kategorii , praca doktorska Uniwersytetu Columbia, 2 : 1–59, MR 1987896
Bénabou, Jean ; Roubaud, Jacques (12.01.1970), "Monades et descente", CR Acad. nauka Paryż , 270 (A): 96–98
Leinster, Tom (2013), „Codensity and the ultrafilter monada”, Theory and Applications of Categories , 28 : 332–370, arXiv : 1209,3606 , Bibcode : 2012arXiv1209.3606L
Negrepontis, Joan W. (1971), „Dwoistość w analizie z punktu widzenia trójek”, Journal of Algebra , 19 (2): 228–253, doi : 10.1016/0021-8693 (71) 90105-0 , ISSN 0021-8693 , MR 0280571
Pavlović, Duško (1991), „Interpolacja kategoryczna: zejście i stan Becka-Chevalleya bez bezpośrednich obrazów”, w: Carboni, A.; Pedicchio, MC; Rosolini, G. (red.), Teoria kategorii , Notatki z wykładów z matematyki, tom. 1488, Springer, s. 306–325, doi : 10.1007/BFb0084229 , ISBN 978-3-540-54706-8
Deligne, Pierre (1990), Catégories Tannakiennes, Grothendieck Festschrift, tom. II , Postępy w matematyce, tom. 87, Birkäuser, s. 111–195
Grothendieck, A. (1962), "Fondements de la géométrie algébrique", [Extraits du Séminaire Bourbaki, 1957-1962] , Paryż: Secrétariat Math., MR 0146040
Grothendieck, A.; Raynaud, M. (1971), Revêtements étales et groupe fondamental (SGA I) , Lecture Notes in Mathematics, tom. 224, Springer, arXiv : math.AG/0206203 , doi : 10.1007/BFb0058656 , ISBN 978-3-540-36910-3
Borceux, Francis (1994), Podstawowa teoria kategorii , Podręcznik algebry kategorialnej, tom. 1, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-44178-0 (3 tomy).
Fantechi, Barbara; Göttsche, Lothar; Illusie, Luc; Kleiman, Steven L.; Nitsure, Nitin; Vistoli, Angelo (2005), Fundamental Algebraic Geometry: Grothendieck's FGA Explained , Mathematical Surveys and Monografie, tom. 123, Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, ISBN 978-0-8218-4245-4 , MR 2222646
Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, wyd. (2004), Podstawy kategoryczne. Tematy specjalne w porządku, topologia, algebra i teoria snopów , Encyklopedia matematyki i jej zastosowań, tom. 97, Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 0-521-83414-7 , Zbl 1034.18001