Chow grupa stosu

W geometrii algebraicznej grupa Chow stosu jest uogólnieniem grupy Chow odmiany lub schematu na stosy . Dla stosu $G$ grupa Chow jest taka grupa Chow Y _ _

Kluczową różnicą w stosunku do teorii grup Chow odmiany jest to, że cykl może przenosić nietrywialne automorfizmy, w związku z czym operacje teorii przecięć muszą to uwzględniać. Na przykład stopień cyklu 0 na stosie nie musi być liczbą całkowitą, ale jest liczbą wymierną (ze względu na nietrywialne stabilizatory).

Definicje

Angelo Vistoli ( 1989 ) rozwija podstawową teorię (głównie nad Q ) dla grupy Chow (oddzielonego) stosu Deligne – Mumford . Tam grupa Chow jest zdefiniowana dokładnie tak, jak w przypadku klasycznym: jest to swobodna grupa abelowa generowana przez całkowe zamknięte podstosy modulo racjonalnej równoważności.

Jeśli stos X można zapisać jako $dla$ ilorazowy jakiejś quasi-rzutowej odmiany Y grupy algebraicznej G , grupa X jest zdefiniowana jako G - równoważna grupa Chow Y . Podejście to zostało wprowadzone i rozwinięte przez Dana Edidina i Williama A. Grahama oraz Burta Totaro . Później Andrew Kresch (1999) rozszerzył teorię na stos, dopuszczając stratyfikację przez stosy ilorazowe.

Aby zapoznać się z wyższymi grupami Chow (prekursorami homologii motywicznych ) stosów algebraicznych, zobacz Roy Joshua's Intersection Theory on Stacks: I and II . [1]

Przykłady

Obliczenia zależą od definicji. Tak więc tutaj postępujemy niejako aksjomatycznie. W szczególności zakładamy: dany stos algebraiczny X lokalnie typu skończonego nad polem bazowym k ,

( niezmienność homotopii ), jeśli E jest wiązką wektorów rangi n na X , to ${\ Displaystyle A_ {p} (E) = A_ {pn} (X)}$ .
dla każdego integralnego podstosu Z wymiaru < p , ${\ Displaystyle A_ {p} (XZ) = A_ {p} (X)}$ , następstwo sekwencji lokalizacji.

Te właściwości są ważne, jeśli X to Deligne-Mumford i oczekuje się, że będą obowiązywać dla każdej innej rozsądnej teorii.

Przyjmujemy X jako stos klasyfikacyjny $.$ głównych wiązek G dla gładkiej liniowej grupy algebraicznej G Z definicji jest to stos ilorazowy $gdzie$ * jest postrzegane stos powiązany z * k Przybliżamy to w następujący sposób. Biorąc ${\ Displaystyle Z = VU}$ uwagę liczbę całkowitą p , $podzbiór$ reprezentację taką, że istnieje niezmienny otwarty U z V , na którym a ma codimension ${\ Displaystyle > - \ operatorname {dim} Gp}$ . Niech ${\ Displaystyle * \ razy _ {G} V}$ $ilorazem$ akcji ( ${\ Displaystyle (x, v) \ cdot g = (xg, g ^ {- 1} v)}$ . $, że$ jest swobodna $.$ jest wiązką Według właściwości 1 zastosowanej do tej wiązki wektorów,

{\ Displaystyle A_ {p} (BG) = A_ {p + \ dim V} (* \ razy _ {G} V).}

Następnie, ponieważ ${\ Displaystyle * \ razy _ {G} U = U/G}$ przez właściwość 2,

{\ Displaystyle A_ {p + \ słaby V} (* \ razy _ {G} V) ​​= A_ {p + \ słaby V}(U/G)}

ponieważ ${\ Displaystyle \ słaby [Z / G] = \ słaby Z- \ słaby G <\ słaby V + p}$ .

$_$ konkretny $.$ przez _ Wtedy $= ZA$ działa swobodnie na $} ^ {n} - \ {0 \}}$ . Zgodnie z powyższym obliczeniem dla każdej pary liczb całkowitych n , p takie, że ${\ Displaystyle n + p \ geq 0}$ ,

{\ Displaystyle A_ {p} (B \ mathbb {G} _ {m}) = A_ {p + n} (\ mathbb {P} ^ {n-1}).}

W szczególności dla każdej liczby całkowitej p ≥ 0 ${\ Displaystyle A_ {p} (B \ mathbb {G} _ {m}) = 0}$ . Ogólnie $_$ _ _ , ${\ Displaystyle h ^ {k}}$ k -czas samoprzecięcia i ${\ Displaystyle h ^ {k} = 0}$ dla ujemnego k i tak

{\ Displaystyle A_ {p} (B \ mathbb {G} _ {m}) = \ mathbb {Q} h ^ {-1-p}}

$różne$ prawa strona jest niezależna od modeli użytych odpowiadają rzutom między przestrzeniami ) , klasa ${\ Displaystyle h ^ {0} = [\ mathbb {P} ^ {n}]}$ , dowolna n , może być traktowana jako podstawowa klasa ${\ Displaystyle B \ mathbb {G} _ {m}$ .

Podobnie mamy

{\ Displaystyle A ^ {*} (B \ mathbb {G} _ {m}) = \ mathbb {Q} [c]}

gdzie ${\ Displaystyle c = c_ {1} (h)}$ jest pierwszą klasą Cherna h (a c i h są identyfikowane, gdy identyfikowane są grupy Chow i pierścienie Chow przestrzeni rzutowych). Ponieważ $\ Displaystyle h ^ {k} = c \ cdot h ^ {k-1}}$ , mamy to $m}}}$ ${\ Displaystyle A_ {*} (B \mathbb {G} _$ ${\ Displaystyle$ to darmowy moduł generowany przez $\ mathbb {Q} [c] }$ .

Wirtualna klasa podstawowa

Pojęcie wywodzi się z teorii Kuranishi w geometrii symplektycznej .

W § 2. Behrend (2009) , biorąc pod uwagę stos DM X i C _X wewnętrzny stożek normalny do X , K. Behrend definiuje wirtualną podstawową klasę X jako

{\ Displaystyle [X] ^ {\ tekst {wir}} = s_ {0} ^ {!} [C_ {X}]}

₀₀ gdzie s jest zerowym przekrojem stożka określonym przez teorię przeszkody doskonałej, a s ^! jest wyrafinowanym homomorfizmem Gysina zdefiniowanym tak, jak w „teorii przecięcia” Fultona. Ten sam artykuł pokazuje, że stopień tej klasy, moralnie całkowanie po niej, jest równy ważonej charakterystyce Eulera funkcji Behrenda X .

Nowsze (około 2017 r.) podejścia do tego typu konstrukcji w kontekście pochodnej geometrii algebraicznej .

Zobacz też

Notatki

Behrend, Kai (2009), „Niezmienniki typu Donaldsona-Thomasa poprzez mikrolokalną geometrię”, Annals of Mathematics , 2nd Ser., 170 (3): 1307–1338, arXiv : math / 0507523 , doi : 10.4007 / annals.2009.170.1307 , MR 2600874
Ciocan-Fontanine, Ionuţ; Kapranow, Michaił (2009). „Wirtualne klasy podstawowe za pośrednictwem rozmaitości dg”. Geometria i topologia . 13 (3): 1779–1804. arXiv : matematyka/0703214 . doi : 10.2140/gt.2009.13.1779 . MR 2496057 . S2CID 1211344 .
Fantechi, Barbara, Wirtualne wycofania na stosach algebraicznych (PDF)
Kresch, Andrew (1999), „Grupy cykli dla stosów Artina”, Inventiones Mathematicae , 138 (3): 495–536, arXiv : math / 9810166 , Bibcode : 1999InMat.138..495K , doi : 10.1007/s002220050351 , S2CID 1 19617049
Totaro, Burt (1999), „Pierścień Chow przestrzeni klasyfikującej, algebraiczna teoria K”, Proc. Sympozjum Czysta matematyka , tom. 67, Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, s. 249–281, MR 1743244 , Zbl 0967.14005
Vistoli, Angelo (1989), „Teoria przecięć na stosach algebraicznych i ich przestrzeniach modułowych”, Inventiones Mathematicae , 97 (3): 613–670, Bibcode : 1989 InMat..97..613V , doi : 10.1007/BF01388892 , MR 1005008 , S2CID 122295050
Nabijou, Navid (2015), Virtual Fundamental Classes in Gromov Witten Theory (PDF) , zarchiwizowane z oryginału (PDF) w dniu 16.05.2017 , pobrane 20.07.2017
Shen, Junliang (2014), Budowa wirtualnej klasy podstawowej i aplikacji (PDF)

Linki zewnętrzne