Doskonała teoria przeszkód

W geometrii algebraicznej, biorąc pod uwagę stos Deligne-Mumford X , doskonała teoria przeszkody dla X składa się z:

mi ${\ Displaystyle E = [E ^ {- 1} \ do E ^ {0}$ ] $D({\text{Qcoh}}(X)_{et})$ w kategorii pochodnej quasi-spójnych snopów étale na X , i
φ $textbf {L}} _ {X}}$ \ jest ${\ Displaystyle {\ textbf {L}} _ {X}}$ cotangensowy kompleks X , który indukuje izomorfizm na i epimorfizm na $displaystyle$ $^ {-1}$ h .

Pojęcie zostało wprowadzone przez Kai Behrenda i Barbarę Fantechi ( 1997 ) w celu zastosowania do teorii przecięć stosów modułów; w szczególności do zdefiniowania wirtualnej klasy podstawowej .

Przykłady

Schematy

Rozważ $pasujące$ osadzenie _

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {macierz} X & {\ xrightarrow {j}} i V \\ g \ strzałka w dół & & \ strzałka w dół f \\ Y & {\ xrightarrow {i}} i W \end{macierz}}}

gdzie ${\ displaystyle V, W}$ są gładkie. Potem kompleks

{\ Displaystyle E ^ {\ punktor} = [g ^ {*} N_ {Y/W} ^ {\ vee} \ do j ^ {* } \ Omega _ {V}]}

(w stopniach

{\ Displaystyle -1,0}

)

tworzy idealną teorię przeszkody dla X . Mapa pochodzi z kompozycji

{\ Displaystyle g ^ {*} N_ {Y/W} ^ {\ vee} \ do g ^ { *}i^{*}\Omega _{W}=j^{*}f^{*}\Omega _{W}\do j^{*}\Omega _{V}}

${ \ Displaystyle g ^ {*} \ mathbf {L} _ {Y} ^ {\ punktor} \ do \ mathbf {L} _ {X} ^ {\ punktor}} i$ $, ponieważ kompleks$ wyposażony w mapę z map j $\ styl wyświetlania j^{*}\mathbf {L} _{V}^{\punktor}\do \mathbf {L} _{X}^{\punktor}}$ . Zauważ, że powiązana wirtualna klasa podstawowa to ${\ Displaystyle [X, E ^ {\ punktor}] = i ^ {!} [V]}$

Przykład 1

Rozważ gładką rozmaitość rzutową ${\ Displaystyle Y \ podzbiór \ mathbb {P} ^ {n}}$ . Jeśli ustawimy $re$ to doskonała teoria przeszkody w jest [ $D ^ {[-1,0]} (X)$

{\ Displaystyle [N_ {X / \ mathbb {P} ^ {n}} ^ {\ vee} \ do \ Omega _ {\ mathbb {P} ^ {n} }]}

a powiązana wirtualna klasa podstawowa to

{\ Displaystyle [X, E ^ {\ punktor}] = i ^ {!} [\ mathbb {P} ^ {n}]}

W szczególności, jeśli jest gładkim lokalnym całkowitym przecięciem, to teorią doskonałej przeszkody jest zespół cotangensa (który jest tym samym, co zespół cotangensa ściętego $)$

Stosy Deligne-Mumford

Poprzednia konstrukcja działa również ze stosami Deligne-Mumford.

Symetryczna teoria przeszkód

Z definicji symetryczna teoria przeszkody jest idealną teorią przeszkody wraz z niezdegenerowaną symetryczną postacią dwuliniową.

Przykład: Niech f będzie regularną funkcją na gładkiej odmianie (lub stosie). Wtedy zbiór punktów krytycznych f niesie kanoniczną teorię symetrycznej przeszkody.

Przykład: Niech M będzie złożoną rozmaitością symplektyczną. Następnie (teoretyczne schematy) przecięcie podrozmaitości Lagrange'a M niesie kanoniczną symetryczną teorię przeszkody.

Notatki

Behrend, Kai (2005). „Niezmienniki Donaldsona-Thomasa poprzez geometrię mikrolokalną”. arXiv : matematyka/0507523v2 .
Behrend, Kai ; Fantechi, Barbara (1997-03-01). „Wewnętrzny stożek normalny”. Inventiones Mathematicae . 128 (1): 45–88. arXiv : alg-geom/9601010 . Bibcode : 1997InMat.128...45B . doi : 10.1007/s002220050136 . ISSN 0020-9910 .
Oesinghaus, Jakob (20.07.2015). „Zrozumienie stożka przeszkody symetrycznej teorii przeszkody” . Przepełnienie matematyki . Źródło 2017-07-19 .

Zobacz też