Noetherowska przestrzeń topologiczna

W matematyce Noetherowska przestrzeń topologiczna , nazwana na cześć Emmy Noether , jest przestrzenią topologiczną , w której zamknięte podzbiory spełniają warunek łańcucha malejącego . Równoważnie moglibyśmy powiedzieć, że podzbiory otwarte spełniają warunek łańcucha rosnącego , ponieważ są dopełnieniami podzbiorów zamkniętych. Noetherowska właściwość przestrzeni topologicznej może być również postrzegana jako silny zwartości , a mianowicie, że każdy otwarty podzbiór takiej przestrzeni jest zwarty, i w rzeczywistości jest to równoważne pozornie silniejszemu stwierdzeniu, że każdy podzbiór jest zwarty.

Definicja

Przestrzeń topologiczna nazywana jest Noetherianem , jeśli spełnia warunek łańcucha malejącego dla podzbiorów zamkniętych : dla dowolnej sekwencji ${\ displaystyle X}$

${\ Displaystyle Y_ {1} \ supseteq Y_ {2} \ supseteq \ cdots}$

z $,$$podzbiorów$$,$ istnieje ${\ Displaystyle Y_ {m} = Y_ {m + 1} = \ cdots.}$ taka 1

Nieruchomości

• Przestrzeń topologiczna $jest$ noetherowska wtedy i tylko wtedy, gdy każda podprzestrzeń z zwarta (tj. jest dziedzicznie zwarta) i wtedy i tylko wtedy, gdy każdy otwarty podzbiór ${\ displaystyle X}$$X}$$displaystyle$ jest zwarty.
• Każda podprzestrzeń przestrzeni noetherowskiej jest noetherowska.
• Ciągły obraz przestrzeni noetherowskiej jest noetherowski.
• Skończona suma podprzestrzeni noetherowskich przestrzeni topologicznej jest noetherowska.
• Każda przestrzeń Noetherowska Hausdorffa jest skończona z topologią dyskretną .

Dowód: Każdy podzbiór X jest zwarty w przestrzeni Hausdorffa, a więc domknięty. Zatem X ma topologię dyskretną, a ponieważ jest zwarty, musi być skończony.

• Każda przestrzeń noetherowska X ma skończoną liczbę nieredukowalnych składników . Jeśli nieredukowalnymi składnikami są ${\ Displaystyle X_ {1}, ..., X_ {n}}$ , wtedy $\ Displaystyle X = X_ {1} \ kubek \ cdots \ kubek X_ {n} }$$nie$ składników jest zawarty w połączeniu innych składników.

Z geometrii algebraicznej

Wiele przykładów noetherowskich przestrzeni topologicznych pochodzi z geometrii algebraicznej , gdzie dla topologii Zariskiego zbiór nierozkładalny ma intuicyjną właściwość, że każdy zamknięty właściwy podzbiór ma mniejszy wymiar. Ponieważ wymiar może „skakać” tylko skończoną liczbę razy, a zbiory algebraiczne składają się ze skończonych związków zbiorów nierozkładalnych, zstępujące łańcuchy zbiorów zamkniętych Zariskiego muszą ostatecznie być stałe.

Bardziej algebraiczny sposób, aby to zobaczyć, polega na tym, że powiązane ideały definiujące zbiory algebraiczne muszą spełniać warunek łańcucha rosnącego . Wynika to z faktu, że pierścienie geometrii algebraicznej w klasycznym sensie są pierścieniami noetherowskimi . Ta klasa przykładów wyjaśnia zatem również nazwę.

Jeśli R jest przemiennym pierścieniem noetherowskim, to Spec( R ), widmo pierwsze R , jest noetherowską przestrzenią topologiczną. Mówiąc bardziej ogólnie, schemat noetherowski to noetherowska przestrzeń topologiczna. Nie zachodzi sytuacja odwrotna, ponieważ Spec( R ) jednowymiarowej dziedziny wartościowania R składa się dokładnie z dwóch punktów, a zatem jest noetherowski, ale istnieją przykłady takich pierścieni, które nie są noetherowskie.

Przykład

Za $\ mathbb {A} _ {k} ^ {n}}$$\$$)$ afiniczna nad polem pod topologią Zariskiego jest przykładem Noetherowska przestrzeń topologiczna. Z właściwości ideału podzbioru wiemy , że jeśli ZA $Displaystyle \ mathbb {A} _ {k} ^ {n}}$

${\ Displaystyle Y_ {1} \ supseteq Y_ {2} \ supseteq Y_ {3} \ supseteq \ cdots}$

jest zatem malejącym łańcuchem podzbiorów domkniętych Zariskiego

${\ Displaystyle I (Y_ {1}) \ subseteq I (Y_ {2}) \ subseteq I (Y_ {3}) \ subseteq \ kropki }$

jest wznoszącym się łańcuchem ideałów ${\ Displaystyle k [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}].}$ Ponieważ ${\ Displaystyle k [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]}$ jest pierścieniem noetherowskim, istnieje taka liczba całkowita, że ${\ displaystyle m}$

${\ Displaystyle ja (Y_ {m}) = ja (Y_ {m + 1}) = ja (Y_ {m + 2}) = \ cdots.}$

Ponieważ ${\ Displaystyle V (I (Y))}$ jest zamknięciem Y dla wszystkich Y , ${\ Displaystyle V (I (Y_ {i} ))=Y_{i}}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle i.}$ Stąd

${\ Displaystyle Y_ {m} = Y_ {m + 1} = Y_ {m + 2} = \ cdots}$ zgodnie z wymaganiami.

Notatki

•    Hartshorne, Robin (1977), Geometria algebraiczna , Absolwent Teksty z matematyki , tom. 52, Nowy Jork: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9 , MR 0463157

Ten artykuł zawiera materiał z przestrzeni topologicznej noetherowskiej w serwisie PlanetMath , który jest objęty licencją Creative Commons Attribution/Share-Alike License .