Przestrzeń hiperpołączona

W matematycznej dziedzinie topologii przestrzeń hiperpołączona lub przestrzeń nieredukowalna to przestrzeń topologiczna X , której nie można zapisać jako sumę dwóch odpowiednich zbiorów zamkniętych (rozłącznych lub nierozłącznych). Nazwa przestrzeni nieredukowalnej jest preferowana w geometrii algebraicznej .

Dla przestrzeni topologicznej X następujące warunki są równoważne:

Żadne dwa niepuste zbiory otwarte nie są rozłączne .
X nie może być zapisany jako suma dwóch właściwych zbiorów domkniętych .
Każdy niepusty zbiór otwarty jest gęsty w X .
Wnętrze każdego właściwego zbioru domkniętego jest puste .
Każdy podzbiór jest gęsty lub nigdzie gęsty w X .
Żadne dwa punkty nie mogą być oddzielone rozłącznymi dzielnicami.

Przestrzeń, która spełnia którykolwiek z tych warunków, nazywana jest hiperpołączoną lub nieredukowalną . Ze względu na warunek, że sąsiedztwo różnych punktów jest w pewnym sensie przeciwieństwem własności Hausdorffa , niektórzy autorzy nazywają takie przestrzenie anty-Hausdorffem .

Zbiór nieredukowalny to podzbiór przestrzeni topologicznej, dla którego topologia podprzestrzeni jest nieredukowalna. Niektórzy autorzy nie uważają zbioru pustego za nieredukowalny (mimo że bezsensownie spełnia on powyższe warunki).

Przykłady

Dwa przykłady hiperpołączonych przestrzeni z topologii zbioru punktów to topologia współskończona na dowolnym zbiorze nieskończonym i topologia właściwego rzędu na ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ .

W geometrii algebraicznej przyjęcie widma pierścienia , którego zredukowany pierścień jest domeną integralną , jest nieredukowalną przestrzenią topologiczną - zastosowanie twierdzenia o sieci do nilradicalu , który jest w każdej liczbie pierwszej, aby pokazać widmo mapy ilorazu jest homeomorfizmem, to sprowadza się do nieredukowalności widma domeny integralnej. Na przykład schematy

${\ Displaystyle {\ tekst {Spec}} \ lewo ({\ Frac {\ mathbb {Z} [x, y, z]} { x^{4}+y^{3}+z^{2}}}\right)}$ , ${\ Displaystyle {\ tekst {Proj}} \ lewo ({\ Frac {\ mathbb {C} [x, y, z]} {(y ^ {2} zx (xz) (x-2z) )}}\Prawidłowy)}$

są nierozkładalne, ponieważ w obu przypadkach wielomiany definiujące ideał są wielomianami nierozkładalnymi (co oznacza, że nie mają nietrywialnego rozkładu na czynniki). Nie-przykład podaje normalny dzielnik przecinający

${\ Displaystyle {\ tekst {Spec}} \ lewo ({\ Frac {\ mathbb {C} [x, y, z]} {(xyz) }}\Prawidłowy)}$

ponieważ podstawowa przestrzeń jest połączeniem płaszczyzn afinicznych ${\ Displaystyle \ mathbb {A} _ {x, y} ^ {2}}$ , ${\ Displaystyle \ mathbb {A} _ {x, z} ^ {2}}$ i ${\ Displaystyle \ mathbb {A} _ {y, z} ^ {2}}$ . Schemat podaje inny przykład

${\ Displaystyle {\ tekst {Proj}} \ lewo ({\ Frac {\ mathbb {C} [x, y, z, w ]}{(xy,f_{4})}}\prawo)}$

gdzie jest nieredukowalnym jednorodnym wielomianem stopnia 4. ${\ displaystyle f_ {4}}$ Jest to połączenie dwóch krzywych rodzaju 3 (według wzoru rodzaj-stopnie )

${\ Displaystyle {\ text {Proj.}} \ lewo ({\ Frac {\ mathbb {C} [y, z, w]} {(f_ {4} (0, y, z, w)}} \ right) ,{\text{}}{\text{Proj.}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,z,w]}{(f_{4}(x,0,z,w)} }\Prawidłowy)}$

Hiperpołączenie a łączność

Każda hiperpołączona przestrzeń jest zarówno połączona , jak i lokalnie połączona (choć niekoniecznie połączona ścieżkami lub lokalnie połączona ścieżkami ).

Zauważ, że w definicji hiperpołączenia zbiory zamknięte nie muszą być rozłączne. Kontrastuje to z definicją powiązań, w której zbiory otwarte są rozłączne.

Na przykład przestrzeń liczb rzeczywistych o standardowej topologii jest połączona, ale nie hiperpołączona. Dzieje się tak, ponieważ nie można go zapisać jako sumy dwóch rozłącznych zbiorów otwartych, ale można go zapisać jako sumę dwóch (nierozłącznych) zbiorów domkniętych.

Nieruchomości

Niepuste otwarte podzbiory hiperpołączonej przestrzeni są „duże” w tym sensie, że każdy z nich jest gęsty w X i dowolna ich para się przecina. Zatem hiperpołączona przestrzeń nie może być Hausdorffem , chyba że zawiera tylko jeden punkt.
Każda hiperpołączona przestrzeń jest zarówno połączona , jak i lokalnie połączona (choć niekoniecznie połączona ścieżkami lub lokalnie połączona ścieżkami ).
Ponieważ zamknięciem każdego niepustego zbioru otwartego w hiperpołączonej przestrzeni jest cała przestrzeń, która jest zbiorem otwartym, każda hiperpołączona przestrzeń jest skrajnie rozłączona .
Ciągły obraz hiperpołączonej przestrzeni jest hiperpołączony. W szczególności każda funkcja ciągła z przestrzeni hiperpołączonej do przestrzeni Hausdorffa musi być stała. Wynika z tego, że każda hiperpołączona przestrzeń jest pseudozwarta .
Każda otwarta podprzestrzeń hiperpołączonej przestrzeni jest hiperpołączona.

Dowód: Niech będzie podzbiorem otwartym ${\ Displaystyle U \ podzbiór X} .$ Dowolne dwa rozłączne otwarte podzbiory same byłyby rozłącznymi otwartymi podzbiorami $\$ $displaystyle X}$ . Więc przynajmniej jeden z nich musi być pusty.

Mówiąc bardziej ogólnie, każdy gęsty podzbiór hiperpołączonej przestrzeni jest hiperpołączony.

Załóżmy, $że$ gęstym $podzbiorem$ i ${\ Displaystyle S = S_ {1} \ puchar S_ {2}}$ z ${\ Displaystyle S_ {1}}$ , ${\ Displaystyle S_ {2}}$ zamknięte w ${\ Displaystyle S}$ . Wtedy ${\ Displaystyle X = {\ overline {S}} = {\ overline {S_ {1}}} \ puchar {\ overline {S_ {2}}}}$ . ponieważ ${\ displaystyle X}$ jest hiperpołączony, jednym z dwóch zamknięć jest cała przestrzeń , powiedzmy ${\ overline {S_ {1}}} = X$ $Displaystyle$ . Oznacza to, że $S}$ gęsty w $a$ ponieważ jest zamknięty w , musi być równy ${$ $displaystyle$ . :

Zamknięta podprzestrzeń hiperpołączonej przestrzeni nie musi być hiperpołączona.

kontrprzykład: $\ Bbbk ^ {2}}$ $Displaystyle$ z algebraicznie zamkniętym polem ${\ Displaystyle V = Z (XY) = Z (X) \ kubek Z (Y) \ podzbiór \ Bbbk ^ {2}$ a więc nieskończonym) jest hiperpołączone w topologii Zariskiego , podczas gdy }

Zamknięcie _ dowolnego zbioru nieredukowalnego jest nieredukowalny.

Załóżmy $X$ że gdzie jest ${\ Displaystyle \ operatorname {Cl} _ {X}$ i napisz $)$ dla dwóch zamkniętych podzbiorów ${\ Displaystyle F, G \ subseteq \ nazwa operatora {Cl} _ {X} (S)}$ (a więc $)$ . ${\ Displaystyle F': = F \ cap S, \, G': = G \ cap S}$ są zamknięte w ${\ Displaystyle S}$ i ${\ Displaystyle S = F '\ kubek G'}$ , co implikuje ${\ Displaystyle S \ subseteq F}$ lub ${\ Displaystyle S \ subseteq G}$ , ale wtedy ${\ Displaystyle \ operatorname {Cl} _ {X} (S) = F}$ lub ${\ Displaystyle \operatorname {Cl} _{X}(S)=G}$ z definicji zamknięcia . :

Przestrzeń którą można zapisać $jako$ ${\ Displaystyle X = U_ {1} \ kubek U_ {2}}$ z ${\ Displaystyle U_ {1}, U_ {2} \ podzbiór X}$ otwarty i nieredukowalny tak, że $_$ .

Dowód: Po pierwsze, zauważamy, że jeśli jest niepustym zbiorem otwartym w $to$ ${\ displaystyle X},$ oba ${\ Displaystyle U_ {1}}$ i ${\ Displaystyle U_ {2}}$ ; rzeczywiście, załóżmy, że $:$ $Displaystyle V_ {1}: = U_ {1} \ cap V \ neq \ pusty zestaw}$ , to jest gęsty w ${\ Displaystyle U_ {1}}$ , więc $}$ ${\ Displaystyle \ istnieje x \ w \ nazwa operatora {Cl} _ {U_ {1}} (V_ {1}) \ czapka U_ {2} = U_ {1} \ czapka U_ {2} \ neq$ \ pusty ${\ Displaystyle V_ {1}}$ i jest punktem zamknięcia $,$ implikuje $Displaystyle V_ {1}\cap U_{2}\neq \emptyset }$ i tym bardziej ${\ Displaystyle V_ {2}: = V \ czapka U_ {2} \ neq \ pusty zestaw}$ . Teraz ${\ Displaystyle V = V \ czapka (U_ {1} \ kubek U_ {2}) = V_ {1} \ kubek V_ {2}}$ i przyjmując domknięcie ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Cl} _ {X} (V) \ supseteq {\ nazwa operatora {Cl}} _ {U_ {1}} (V_ {1} )\ kubek {\ nazwa operatora {Cl}} _ {U_ {2}} (V_ {2}) = U_ {1} \ kubek U_ {2} = X,}$ dlatego ${\ Displaystyle V}$ nie jest pusty otwarty i gęsty podzbiór ${\ displaystyle X}$ . Ponieważ jest to prawdą dla każdego niepustego otwartego podzbioru, $nieredukowalny$ .

Składniki nieredukowalne

Nieredukowalny składnik w przestrzeni topologicznej to maksymalny nieredukowalny podzbiór (tj. nieredukowalny zbiór, który nie jest zawarty w żadnym większym nieredukowalnym zbiorze). Nieredukowalne komponenty są zawsze zamknięte.

Każdy nieredukowalny podzbiór przestrzeni X jest zawarty w (niekoniecznie unikalnym) nieredukowalnym składniku X . W szczególności każdy punkt X jest zawarty w jakimś nieredukowalnym składniku X . W przeciwieństwie do połączonych elementów przestrzeni, elementy nieredukowalne nie muszą być rozłączne (tzn. nie muszą tworzyć podziału ) . Ogólnie rzecz biorąc, nieredukowalne komponenty będą się nakładać.

Nieredukowalnymi składnikami przestrzeni Hausdorffa są tylko zbiory singletonowe .

Ponieważ każda nieredukowalna przestrzeń jest spójna, nieredukowalne komponenty zawsze będą leżały w spójnych komponentach.

Każda noetherowska przestrzeń topologiczna ma skończenie wiele nieredukowalnych składników.

Zobacz też

Notatki

Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology ( przedruk Dover z 1978 r.), Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3 , MR 0507446
„Przestrzeń hiperpołączona” . Planeta Matematyka .