Twierdzenie o korespondencji

W teorii grup twierdzenie o korespondencji (także twierdzenie o kratach oraz różnie i niejednoznacznie twierdzenie o izomorfizmie trzecim i czwartym ) stwierdza, że ​​​​jeśli jest normalną podgrupą grupy , to istnieje ${ \ displaystyle$$}$ bijekcja $displaystyle$ zbioru wszystkich $,$ zawierających $zbiór$ wszystkich podgrup grupy ilorazowej sol $N$ \ } . Struktura podgrup $zwiniętymi$ podgrup zawierających ${\ displaystyle$ , z $N}$ N $\ displaystyle N}$ element tożsamości .

Konkretnie, jeśli

G grupą,

${A \ mid N \ subseteq A <G \}}$ , zbiór wszystkich podgrup A z G , które zawierają N i

normalną podgrupą $sol$ sol \ \ Displaystyle {

${\ Displaystyle {\ mathcal {N}} = \ {S \ mid S<G/N\}}$ , zbiór wszystkich podgrup G / N ,

wtedy istnieje mapa bijektywna taka, że ${\ Displaystyle \ phi: {\ mathcal {G}} \ do {\ mathcal {N}}}$

${\ Displaystyle \ phi (A) = A/N}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle A \ w {\ mathcal {G}}.}$

Jeden dalej ma to, że jeśli A i B są wtedy w ${\ displaystyle {\ mathcal {G}}}$

• ${\ Displaystyle A \ subseteq B}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle A/N \ subseteq B/N}$ ;
• jeśli ${\ Displaystyle A \ subseteq B}$ to ${\ Displaystyle | B: A|=| B/N: A/N|}$ , gdzie $\ Displaystyle | B: A |}$ { to indeks A w B (liczba cosetów bA z A w B );
• ${\ Displaystyle \ langle A, B \ rangle / N = \ lewo \ langle A/N, B/N \ prawo \ rangle,}$ gdzie $A, B \ rangle}$ \ ${\ Displaystyle A \ kubek B;}$ jest podgrupą $generowaną$ przez
• ${\ Displaystyle (A \ czapka B) / N = A / N \ czapka B/N}$ i
• ${\ Displaystyle A}$$}$ normalną podgrupą wtedy i tylko wtedy, gdy $jest$ podgrupą ${\$ .

Ta lista jest daleka od wyczerpującej. W rzeczywistości większość właściwości podgrup jest zachowywana w ich obrazach pod wpływem bijekcji na podgrupy grupy ilorazowej.

$\ Displaystyle N}$ bardziej ogólnie, istnieje monotonne połączenie Galois między siatką podgrup $($ niekoniecznie zawierających ${\ displaystyle G} ) ($$f ^ {*}, f_ {*})}$ ) i krata podgrup ${\ Displaystyle G/N}$ : dolny spójnik podgrupy ${\ Displaystyle H}$ z ${\ Displaystyle G}$ jest określony przez ${\ Displaystyle f ^ {*} (H) = HN / N}$ i górny łącznik podgrupy $/N}$${\ Displaystyle G/N}$ sol jest podane przez ${\ Displaystyle f_ {*} (K/N) = K}$ . Powiązany operator domknięcia w podgrupach $to$ H. ${H}} = HN}$ ; powiązany operator $tożsamością$ w podgrupach Dowód twierdzenia o korespondencji można znaleźć tutaj .

Podobne wyniki dotyczą pierścieni , modułów , przestrzeni wektorowych i algebr .

Zobacz też

• Siatka modułowa