Skończona przestrzeń topologiczna

W matematyce skończona przestrzeń topologiczna to przestrzeń topologiczna , dla której bazowy zbiór punktów jest skończony . Oznacza to, że jest to przestrzeń topologiczna, która ma tylko skończenie wiele elementów.

Skończone przestrzenie topologiczne są często używane do dostarczania przykładów interesujących zjawisk lub kontrprzykładów dla wiarygodnie brzmiących przypuszczeń. William Thurston nazwał badanie topologii skończonych w tym sensie „dziwacznym tematem, który może dać dobry wgląd w różne pytania”.

Topologie na skończonym zbiorze

Niech ${\ displaystyle X}$ będzie skończonym zbiorem. Topologia na jest podzbiorem $($ $zbiorem$ mocy ) $,$ X \ $_$ _

${\ Displaystyle \ varnothing \ in \ tau}$ i ${\ Displaystyle X \ in \ tau}$ .
jeśli ${\ Displaystyle U, V \ in \ tau}$ , to ${\ Displaystyle U \ kubek V \ in \ tau}$ .
jeśli ${\ Displaystyle U, V \ in \ tau}$ , to ${\ Displaystyle U \ czapka V \ in \ tau}$ .

Innymi słowy, podzbiór jest $jak$ , jeśli zawiera zarówno $\ displaystyle \ tau}$ $,$ $tau$ { $displaystyle X}$ $\$ i jest zamknięty pod skończonymi przecięciami i dowolnymi związkami . Elementy ${\ displaystyle \ tau}$ nazywane są zbiorami otwartymi . Ponieważ zbiór potęgowy zbioru skończonego jest skończony, może istnieć tylko skończenie wiele zbiorów otwartych (i tylko skończenie wiele zbiorów domkniętych ).

$zbiorze można$ traktować jako podsieć , która obejmuje zarówno dolny element $Displaystyle$ górny element ${\ displaystyle X}$ .

Przykłady

0 lub 1 punkt

pustym zbiorze ∅ istnieje unikalna topologia . Jedynym otwartym zbiorem jest zbiór pusty. Rzeczywiście, jest to jedyny podzbiór ∅.

Podobnie istnieje unikalna topologia na zbiorze singletonowym { a }. Tutaj zbiory otwarte to ∅ i { a }. Ta topologia jest zarówno dyskretna , jak i trywialna , chociaż pod pewnymi względami lepiej jest myśleć o niej jako o przestrzeni dyskretnej, ponieważ ma ona więcej właściwości niż rodzina skończonych przestrzeni dyskretnych.

Dla dowolnej przestrzeni topologicznej X istnieje unikalna funkcja ciągła od ∅ do X , czyli funkcja pusta . Istnieje również unikalna funkcja ciągła od X do przestrzeni singletonowej { a }, a mianowicie funkcja stała do a . W języku teorii kategorii pusta przestrzeń służy jako obiekt początkowy w kategorii przestrzeni topologicznych, podczas gdy przestrzeń singletonowa służy jako obiekt końcowy .

2 punkty

Niech X = { a , b } będzie zbiorem 2 elementów. Istnieją cztery różne topologie na X :

{∅, { a , b }} ( trywialna topologia )
{∅, { za }, { za , b }}
{∅, { b }, { a , b }}
{∅, { a }, { b }, { a , b }} ( topologia dyskretna )

Łatwo zauważyć, że topologie druga i trzecia powyżej są homeomorficzne . Funkcja od X do samej siebie, która zamienia a i b , jest homeomorfizmem. Przestrzeń topologiczna homeomorficzna z jedną z nich nazywana jest przestrzenią Sierpińskiego . Tak więc w rzeczywistości istnieją tylko trzy nierównoważne topologie na zbiorze dwupunktowym: trywialna, dyskretna i topologia Sierpińskiego.

Preorder specjalizacji na przestrzeni Sierpińskiego { a , b } z otwartym { b } jest określony wzorem: a ≤ a , b ≤ b , oraz a ≤ b .

3 punkty

Niech X = { a , b , c } będzie zbiorem 3 elementów. Istnieje 29 różnych topologii na X , ale tylko 9 nierównoważnych topologii:

{∅, { za , b , do }}
{∅, { do }, { za , b , do }}
{∅, { za , b }, { za , b , do }}
{∅, { do }, { za , b }, { za , b , do }}
{∅, { do }, { b , do }, { za , b , do }} ( T ₀ )
{∅, { do }, { za , do }, { b , do }, { za , b , do }} ( T ₀ )
{∅, { za }, { b }, { za , b }, { za , b , do }} ( T ₀ )
{∅, { b }, { do }, { za , b }, { b , do }, { za , b , do }} ( T ₀ )
{∅, { za }, { b }, { do }, { za , b }, { za , do }, { b , do }, { za , b , do }} ( T ₀ )

Ostatnie 5 z nich to wszystkie T ₀ . Pierwszy jest trywialny, podczas gdy w 2, 3 i 4 punkty aib są topologicznie nierozróżnialne .

4 punkty

Niech X = { a , b , c , d } będzie zbiorem 4 elementów. Istnieje 355 różnych topologii na X , ale tylko 33 nierównoważne topologie:

{∅, { za , b , do , re }}
{∅, { za , b , do }, { za , b , do , re }}
{∅, { za }, { za , b , do , re }}
{∅, { za }, { za , b , do }, { za , b , do , re }}
{∅, { za , b }, { za , b , do , re }}
{∅, { za , b }, { za , b , do }, { za , b , do , re }}
{∅, { za }, { za , b }, { za , b , do , re }}
{∅, { za }, { b }, { za , b }, { za , b , do , re }}
{∅, { za , b , do }, { re }, { za , b , do , re }}
{∅, { za }, { za , b , do }, { za , re }, { za , b , do , re }}
{∅, { za }, { za , b , do }, { re }, { za , re }, { za , b , do , re }}
{∅, { za }, { b , do }, { za , b , do }, { za , re }, { za , b , do , re }}
{∅, { za , b }, { za , b , do }, { za , b , re }, { za , b , do , re }}
{∅, { za , b }, { do }, { za , b , do }, { za , b , do , re }}
{∅, { za , b }, { do }, { za , b , do }, { za , b , re }, { za , b , do , re }}
{∅, { za , b }, { do }, { za , b , do }, { re }, { za , b , re }, { do , re } , { za , b , do , re }}
{∅, { b , do }, { za , re }, { za , b , do , re } }
{∅, { za }, { za , b }, { za , b , do }, { za , b , re }, { za , b , do , re }} ( T ₀ )
{∅, { za }, { za , b }, { za , do }, { za , b , do }, { za , b , do , re }} ( T ₀ )
{∅, { za }, { b }, { za , b }, { za , do }, { za , b , do }, { za , b , do , re }} ( T ₀ )
{∅, { za }, { za , b }, { za , b , do }, { za , b , do , re }} ( T ₀ )
{∅, { za }, { b }, { za , b }, { za , b , do }, { za , b , do , re }} ( T ₀ )
{∅, { za }, { za , b }, { do }, { za , do }, { za , b , do }, { za , b , re }, { za , b , do , re }} ( T ₀ )
{∅, { za }, { za , b }, { za , do }, { za , b , do }, { za , b , re }, { za , b , do , re }} ( T ₀ )
{∅, { za }, { b }, { za , b }, { za , b , do }, { za , b , re }, { za , b , do , re }} ( T ₀ )
{∅, { za }, { b }, { za , b }, { za , do }, { za , b , do }, { za , b , re }, { za , b , do , re }} ( T ₀ )
{∅, { za }, { b }, { za , b }, { b , do }, { za , b , do }, { za , re }, { za , b , re } , { za , b , do , re }} ( T ₀ )
{∅, { za }, { za , b }, { za , do }, { za , b , do }, { za , re }, { za , b , re }, { za , do , re }, { za , b , do , d }} ( T ₀ )
{∅, { za }, { b }, { za , b }, { za , do }, { za , b , do }, { za , re }, { za , b , re }, { za , do , re }, { za , b , do , re }} ( T ₀ )
{∅, { za }, { b }, { za , b }, { do }, { za , do }, { b , do }, { za , b , do }, { za , b , re }, { za , b , do , d }} ( T ₀ )
{∅, { za }, { b }, { za , b }, { do }, { za , do }, { b , do }, { za , b , do }, { za , re }, { za , b , re }, { za , do , re }, { za , b , do , re }} ( T ₀ )
{∅, { za }, { b }, { za , b }, { do }, { za , do }, { b , do }, { za , b , do }, { za , b , do , re } } ( T ₀ )
{∅, { za }, { b }, { za , b }, { do }, { za , do }, { b , do }, { za , b , do }, { re }, { za , re } , { b , re }, { za , b , re }, { do , re }, { za , do , re }, { b , do , re }, { za , b , do , re }} ( T ₀ )

Ostatnie 16 z nich to wszystkie T ₀ .

Nieruchomości

Przedsprzedaż specjalizacji

Topologie na skończonym zbiorze X są w relacji jeden do jednego z preorderami na X . Przypomnijmy, że preorder na X jest relacją binarną na X , która jest zwrotna i przechodnia .

Biorąc pod uwagę (niekoniecznie skończoną) przestrzeń topologiczną X, możemy zdefiniować preorder na X przez

x ≤ y wtedy i tylko wtedy, gdy x ∈ cl{ y }

gdzie cl{ y } oznacza domknięcie zbioru singletonowego { y }. To zamówienie w przedsprzedaży nazywa się zamówieniem specjalizacji w X . Każdy zbiór otwarty U od X będzie zbiorem górnym względem ≤ (tj. jeśli x ∈ U i x ≤ y to y ∈ U ). Teraz, jeśli X jest skończony, odwrotność jest również prawdziwa: każdy zbiór górny jest otwarty w X . Tak więc dla skończonych przestrzeni topologia na X jest jednoznacznie określona przez ≤.

Idąc w innym kierunku, załóżmy, że ( X , ≤) to zestaw zamówiony z góry. Zdefiniuj topologię τ na X , przyjmując zbiory otwarte jako zbiory górne względem ≤. Wtedy relacja ≤ będzie preorderem specjalizacji ( X , τ). Topologia zdefiniowana w ten sposób nazywana jest topologią Aleksandrowa wyznaczoną przez ≤.

Równoważność między rzędami wstępnymi a skończonymi topologiami można interpretować jako wersję twierdzenia Birkhoffa o reprezentacji , równoważność między skończonymi sieciami rozdzielczymi (sieć zbiorów otwartych topologii) i rzędami częściowymi (częściowy porządek klas równoważności rzędu wstępnego). Ta zgodność działa również dla większej klasy przestrzeni zwanych przestrzeniami generowanymi skończenie . Skończenie generowane przestrzenie można scharakteryzować jako przestrzenie, w których dowolne przecięcie zbiorów otwartych jest otwarte. Skończone przestrzenie topologiczne są specjalną klasą skończenie generowanych przestrzeni.

Zwartość i policzalność

Każda skończona przestrzeń topologiczna jest zwarta , ponieważ każda otwarta pokrywa musi być już skończona. Rzeczywiście, przestrzenie zwarte są często uważane za uogólnienie przestrzeni skończonych, ponieważ mają wiele takich samych właściwości.

Każda skończona przestrzeń topologiczna jest również przeliczalna wtórnie (istnieje tylko skończenie wiele zbiorów otwartych) i rozdzielna (ponieważ sama przestrzeń jest przeliczalna ).

Aksjomaty separacji

Jeśli skończoną przestrzenią topologiczną jest T ₁ (w szczególności, jeśli jest to Hausdorff ), to w rzeczywistości musi być dyskretna. Dzieje się tak, ponieważ dopełnienie punktu jest skończoną sumą punktów zamkniętych, a zatem zamkniętych. Wynika z tego, że każdy punkt musi być otwarty.

Dlatego żadna skończona przestrzeń topologiczna, która nie jest dyskretna, nie może być T ₁ , Hausdorffem ani niczym silniejszym.

₀₀ Jednak możliwe jest, aby niedyskretna przestrzeń skończona była T ₀ . Ogólnie rzecz biorąc, dwa punkty x i y są topologicznie nierozróżnialne wtedy i tylko wtedy, gdy x ≤ y i y ≤ x , gdzie ≤ jest preorderem specjalizacji na X . Wynika z tego, że przestrzeń X jest T wtedy i tylko wtedy, gdy preorder specjalizacji ≤ na X jest porządkiem częściowym . Na skończonym zbiorze istnieje wiele rzędów częściowych. Każdy definiuje unikalną topologię T.

₀ Podobnie, przestrzeń jest R ₀ wtedy i tylko wtedy, gdy preorder specjalizacji jest relacją równoważności. Biorąc pod uwagę dowolną relację równoważności na skończonym zbiorze X , powiązana topologia jest topologią partycji na X . Klasy równoważności będą klasami topologicznie nieodróżnialnych punktów. Ponieważ topologia partycji jest pseudometryzowalna , skończona przestrzeń jest R wtedy i tylko wtedy, gdy jest całkowicie regularna .

₀ Niedyskretne przestrzenie skończone mogą być również normalne . Wykluczona topologia punktu na dowolnym skończonym zbiorze to całkowicie normalna przestrzeń T , która nie jest dyskretna.

Łączność

Łączność w skończonej przestrzeni X najlepiej zrozumieć, biorąc pod uwagę preorder specjalizacji ≤ na X . Możemy powiązać z dowolnym wstępnie uporządkowanym zbiorem X graf skierowany Γ, przyjmując punkty X jako wierzchołki i rysując krawędź x → y zawsze, gdy x ≤ y . Łączność skończonej przestrzeni X można zrozumieć, rozważając łączność powiązanego grafu Γ.

W dowolnej przestrzeni topologicznej, jeśli x ≤ y , to istnieje ścieżka od x do y . Można po prostu przyjąć f (0) = x i f ( t ) = y dla t > 0. Łatwo sprawdzić, że f jest ciągła. Wynika z tego, że składowe ścieżki skończonej przestrzeni topologicznej są dokładnie (słabo) połączonymi składowymi powiązanego grafu Γ. Oznacza to, że istnieje ścieżka topologiczna od x do y wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje nieskierowana ścieżka między odpowiednimi wierzchołkami Γ.

Każda skończona przestrzeń jest lokalnie połączona ścieżkami od zbioru

{\ Displaystyle \ mathop {\ uparrow} x = \ {y \ w X: x \ równoważnik y \}}

sąsiedztwem x połączonym ścieżkami , które jest zawarte w każdym innym sąsiedztwie. Innymi słowy, ten pojedynczy zbiór tworzy bazę lokalną w x .

Dlatego przestrzeń skończona jest spójna wtedy i tylko wtedy, gdy jest spójna po ścieżkach. Połączone komponenty są dokładnie komponentami ścieżki. Każdy taki komponent jest zarówno domknięty, jak i otwarty w X .

Przestrzenie skończone mogą mieć silniejsze właściwości łączności. Skończona przestrzeń X jest

hiperpołączony wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje największy element w odniesieniu do preorderu specjalizacji. Jest to element, którego domknięciem jest cała przestrzeń X .
ultraconnected wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje najmniejszy element w odniesieniu do preorderu specjalizacji. Jest to element, którego jedynym sąsiedztwem jest cała przestrzeń X .

Na przykład określona topologia punktu w skończonej przestrzeni jest hiperpołączona, podczas gdy wykluczona topologia punktu jest ultrapołączona. Przestrzeń Sierpińskiego jest jedno i drugie.

Dodatkowa struktura

Skończona przestrzeń topologiczna jest pseudometryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest R ₀ . W tym przypadku jedna możliwa pseudometryka jest podana przez

{\ Displaystyle d (x, y) = {\ rozpocząć {przypadki} 0 i x \ równoważnik y \\ 1 i x \ nie \ równoważnik y \ koniec {przypadków}}}

gdzie x ≡ y oznacza , że x i y są topologicznie nie do odróżnienia . Skończona przestrzeń topologiczna jest metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest dyskretna.

₀ Podobnie przestrzeń topologiczna jest uniformizowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest R . Jednorodna struktura będzie jednorodnością pseudometryczną wywołaną przez powyższą pseudometrykę.

Topologia algebraiczna

Być może zaskakujące jest to, że istnieją skończone przestrzenie topologiczne z nietrywialnymi grupami podstawowymi . Prostym przykładem jest pseudookrąg , czyli przestrzeń X z czterema punktami, z których dwa są otwarte, a dwa zamknięte. Istnieje ciągła mapa od okręgu jednostkowego S ¹ do X , która jest słabą równoważnością homotopii (tj. indukuje izomorfizm grup homotopii ). Wynika z tego, że podstawowa grupa pseudookręgu jest nieskończenie cykliczna .

Bardziej ogólnie wykazano, że dla każdego skończonego abstrakcyjnego kompleksu symplicalnego K istnieje skończona przestrzeń topologiczna X _K i słaba równoważność homotopii f : | K. | → X _K gdzie | K. | jest geometryczną realizacją K . Wynika z tego, że grupy homotopii | K. | i X _K są izomorficzne. W rzeczywistości podstawowy zbiór X _K można uznać za sam K , z topologią powiązaną z częściowym porządkiem inkluzji.

Liczba topologii na skończonym zbiorze

₀ Jak omówiono powyżej, topologie na skończonym zbiorze są w relacji jeden do jednego z porządkami wstępnymi w zbiorze, a topologie T ₀ są w korespondencji jeden do jednego z rzędami częściowymi . Dlatego liczba topologii na skończonym zbiorze jest równa liczbie rzędów wstępnych, a liczba T topologii jest równa liczbie rzędów częściowych.

₀ Poniższa tabela zawiera listę różnych topologii (T ) w zbiorze z n elementami. Zawiera również listę nierównoważnych (tj. niehomeomorficznych ) topologii.

Liczba topologii na zbiorze z n punktami
N	Wyraźne topologie	Wyraźne topologie T ₀	Nierównoważne topologie	Nierównoważne topologie T ₀
0	1	1	1	1
1	1	1	1	1
2	4	3	3	2
3	29	19	9	5
4	355	219	33	16
5	6942	4231	139	63
6	209527	130023	718	318
7	9535241	6129859	4535	2045
8	642779354	431723379	35979	16999
9	63260289423	44511042511	363083	183231
10	8977053873043	6611065248783	4717687	2567284
OEIS	A000798	A001035	A001930	A000112

Niech T ( n ) oznacza liczbę odrębnych topologii na zbiorze o n punktach. Nie ma znanego prostego wzoru na obliczenie T ( n ) dla dowolnego n . Online Encyclopedia of Integer Sequences obecnie wymienia T ( n ) dla n ≤ 18.

₀₀ Liczba odrębnych topologii T na zbiorze z n punktami, oznaczona T ( n ), jest związana z T ( n ) wzorem