pseudookrąg

Pseudookrąg to skończona przestrzeń topologiczna X składająca się z czterech różnych punktów { a , b , c , d } o następującej topologii innej niż Hausdorff :

$${\ Displaystyle \ {\ {a, b, c, d \}, \ {a, b, c \}, \ {a, b, d \}, \ {a, b \}, \ {a \} ,\{b\},\varnic \}.}$$

Ta topologia odpowiada porządkowi częściowemu, gdzie zbiory otwarte są w dół $, \ b <c, \ a <d, \ b <d$ zestawy zamknięte. X jest wysoce patologiczny ze zwykłego punktu widzenia topologii ogólnej , ponieważ nie spełnia żadnego aksjomatu separacji poza T ₀ . Jednak z punktu widzenia Topologia algebraiczna X ma tę godną uwagi właściwość, że jest nie do odróżnienia od okręgu S ¹ .

Dokładniej mapa ciągła $\$ S ¹ do X (gdzie myślimy o S ¹ jako okręgu jednostkowym w ) podana przez fa $displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}$

$${\ Displaystyle f (x, y) ={\begin{przypadki}a,&x<0\\b,&x>0\\c,&(x,y)=(0,1)\\d,&(x,y)=(0,- 1)\end{przypadki}}}$$

$gdzie$ jest słabą równoważnością homotopii , to indukuje izomorfizm we wszystkich grupach homotopii . Wynika z tego, że indukuje również izomorfizm na homologii pojedynczej i kohomologii $,$ a bardziej ogólnie izomorfizm na wszystkich teoriach homologii zwykłej lub nadzwyczajnej kohomologii (np. K-teorii ).

Można to udowodnić za pomocą następującej obserwacji. Podobnie jak S ¹ , X jest sumą dwóch rozciągliwych zbiorów otwartych { a , b , c } i { a , b , d }, których przecięcie { a , b } jest także sumą dwóch rozłącznych rozciągliwych zbiorów otwartych { a } i { b }. Tak jak ^S1 , wynik wynika z groupoidowego twierdzenia Seiferta-van Kampena , jak w książce Topology and Groupoids .

Mówiąc bardziej ogólnie, McCord wykazał, że dla każdego skończonego zespołu symplicalnego K istnieje skończona przestrzeń topologiczna X _K , która ma ten sam typ słabej homotopii, co realizacja geometryczna | K. | z K. _ Dokładniej, istnieje funktor , przenoszący K do X _K , z kategorii skończonych kompleksów i map symplicalnych oraz naturalna słaba równoważność homotopii z | K. | do X _K. _

Zobacz też

• Lista topologii - Lista konkretnych topologii i przestrzeni topologicznych