Ujednolicona przestrzeń

W matematyce przestrzeń topologiczna X jest uniformizowalna , jeśli istnieje na X jednorodna struktura , która indukuje topologię X. Równoważnie, X jest uniformizowalny wtedy i tylko wtedy, gdy jest homeomorficzny z jednorodną przestrzenią (wyposażoną w topologię indukowaną przez jednorodną strukturę).

Każda ( pseudo ) metryzowalna przestrzeń jest uniformizowalna, ponieważ (pseudo)metryczna jednorodność indukuje topologię (pseudo)metryczną. Odwrotność zawodzi: istnieją przestrzenie uniformizowalne, które nie są (pseudo) metryzowalne. , że topologię przestrzeni uniformizowalnej można zawsze wytworzyć za pomocą rodziny pseudometrii ; w istocie dzieje się tak, ponieważ każdą jednorodność na zbiorze X można zdefiniować za pomocą rodziny pseudometrii.

Pokazanie, że przestrzeń jest uniformizowalna, jest znacznie prostsze niż wykazanie, że jest metryzowalna. W rzeczywistości uniformizowalność jest równoważna wspólnemu aksjomatowi separacji :

Przestrzeń topologiczna jest uniformizowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest całkowicie regularna .

Indukowana jednorodność

Jednym ze sposobów skonstruowania jednorodnej struktury w przestrzeni topologicznej X jest przyjęcie początkowej jednorodności na X indukowanej przez C ( X ), rodzinę funkcji ciągłych o wartościach rzeczywistych na X . Jest to najgrubsza jednorodność na X , dla której wszystkie takie funkcje są jednostajnie ciągłe . Podstawa dla tej jednorodności jest dana przez zbiór wszystkich entourages

${\ Displaystyle D_ {f, \ varepsilon} = \ {(x, y) \ w X \ razy X: | f (x) -f (y) | <\ varepsilon \}}$

gdzie f ∈ do ( X ) i ε > 0.

Jednolita topologia generowana przez powyższą jednorodność jest początkową topologią indukowaną przez rodzinę C ( X ). Ogólnie rzecz biorąc, ta topologia będzie bardziej zgrubna niż dana topologia na X . Te dwie topologie będą się pokrywać wtedy i tylko wtedy, gdy X jest całkowicie regularny.

Drobna jednolitość

Mając możliwą do uniformizacji przestrzeń X, istnieje najdoskonalsza jednorodność na X zgodna z topologią X , zwana drobną jednorodnością lub uniwersalną jednorodnością . Mówi się, że jednorodna przestrzeń jest dobra , jeśli ma doskonałą jednorodność generowaną przez jej jednorodną topologię.

Dokładna jednorodność charakteryzuje się uniwersalną właściwością : każda ciągła funkcja f od drobnej przestrzeni X do jednolitej przestrzeni Y jest jednostajnie ciągła. Oznacza to, że funktor F : CReg → Uni , który przypisuje dowolnej całkowicie regularnej przestrzeni X drobną jednorodność na X , pozostaje w sąsiedztwie funktora zapominalskiego , wysyłającego jednolitą przestrzeń do leżącej pod nią całkowicie regularnej przestrzeni.

Wyraźnie, drobna jednorodność na całkowicie regularnej przestrzeni X jest generowana przez wszystkie otwarte sąsiedztwa D przekątnej w X × X (z iloczynem topologii ) tak, że istnieje sekwencja D ₁ , D ₂ , … otwartych sąsiedztw przekątnej gdzie re = re ₁ i ${\ Displaystyle D_ {n} \ circ D_ {n} \ subseteq D_ {n-1}}$ .

Jednorodność w całkowicie regularnej przestrzeni X indukowana przez C ( X ) (patrz poprzednia sekcja) nie zawsze jest doskonałą jednorodnością.

•   Willard, Stephen (1970). Topologia ogólna . Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. ISBN 0-486-43479-6 .