Równoważny snop

W matematyce, biorąc pod uwagę działanie schematu grupowego $Displaystyle \ sigma: G \ razy _ {S} X \ do X$ na schemacie X na schemacie podstawowym S , równowariantny snop \ } F na X to snop $X$ modułów -modułów wraz $razy _{S}X}}$ izomorfizmem $\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {G$ -moduły

{\ Displaystyle \ phi: \ sigma ^ {*} F \ xrightarrow {\ simeq} p_ {2} ^ {*} F}

który spełnia warunek kocyklu: zapisanie m dla mnożenia,

{\ Displaystyle p_ {23} ^ {*} \ phi \ circ (1_ {G} \ razy \ sigma) ^ {* }\phi =(m\times 1_{X})^{*}\phi }

.

Uwagi dotyczące definicji

${\ Displaystyle F _ {g \ cdot h \ cdot x} \ simeq F_ {h \ cdot x} \ simeq F_ {x}}$ poziomie łodygi warunek kocyklu mówi, że izomorfizm jest taki sam jak skład $}$ ; tj. asocjatywność działania grupowego. Warunek, że jednostka grupy działa jako tożsamość, jest również konsekwencją: zastosowanie ${\ Displaystyle (e \ razy e \ razy 1) ^ {*}, e : S \ do G}$ na obie strony, aby uzyskać ${\ Displaystyle (e \ razy 1) ^ {*} \ phi \ circ (e \ razy 1) ^ {*} \ phi = (e \ razy 1) ^ {*} \ phi} i$ tak ${\ Displaystyle (e \ razy 1) ^ {*} \ phi }$ to tożsamość.

Zauważ, że $dodatkowe$ dane; jest to „podniesienie” działania G na X do snopka F . Co więcej, gdy G jest spójną grupą algebraiczną, F snopem odwracalnym, a X jest zredukowany, warunek kocyklu jest automatyczny: dowolny izomorfizm ${\ Displaystyle \ sigma ^ {*} F \ simeq p_ {2 }^{*}F}$ automatycznie spełnia warunek kocyklu (fakt ten jest odnotowany na końcu dowodu rozdz. 1, § 3., Twierdzenie 1.5. „geometrycznej teorii niezmienników” Mumforda).

Jeśli działanie G jest swobodne, to pojęcie snopka ekwiwariantnego upraszcza się do snopka na iloraz X / G , ze względu na opadanie wzdłuż torsorów .

Zgodnie z lematem Yonedy , aby nadać strukturę ekwiwariantnego snopka $tym$ F jest samym, co nadać homomorfizmy grupowe dla pierścieni R nad $displaystyle S}$ ,

{\ Displaystyle G (R) \ do \ nazwa operatora {Aut} (X \ razy _ {S} \ nazwa operatora {Spec} R, F \oraz _{S}R)}

.

Istnieje również definicja krążków ekwiwariantnych w postaci krążków uproszczonych . Alternatywnie, można zdefiniować ekwiwariantny snop jako ekwiwariantny obiekt w kategorii, powiedzmy, spójnych snopów.

Zlinearyzowane wiązki liniowe

Struktura snopka ekwiwariantnego na snopku odwracalnym lub wiązce liniowej nazywana jest również linearyzacją .

Niech X będzie zupełną rozmaitością nad algebraicznie domkniętym polem, na które działa spójna grupa redukcyjna G i L na nim odwracalny snop. Jeśli X jest normalne, to pewna $L$ jest linearyzowalna .

Ponadto, jeśli L jest bardzo $Displaystyle \ mathbf {$ i zlinearyzowane, to istnieje G zanurzenie od X do takie, że $} ^ {N}}$ jest linearyzowany, a linearyzacja na L jest indukowana przez linearyzację ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\mathbf {P} ^{N}}(1)}$ .

Iloczyny tensorowe i odwrotności linearyzowanych krążków odwracalnych są ponownie linearyzowane w naturalny sposób. Zatem klasy izomorfizmu zlinearyzowanych odwracalnych krążków na schemacie X tworzą grupę abelową. Istnieje homomorfizm grupy Picarda X , który zapomina o linearyzacji; ten homomorfizm nie jest ogólnie ani iniekcyjny, ani surjekcyjny, a jego jądro można utożsamiać z klasami izomorfizmów linearyzacji trywialnej wiązki linii.

Zobacz Przykład 2.16 z [1] dla przykładu odmiany, dla której większość wiązek linii nie jest linearyzowalna.

Podwójne działanie na sekcje ekwiwalentnych krążków linowych

$G$ grupę algebraiczną i równoważny snop F na X nad polem k , przestrzenią Następnie przyjmuje strukturę modułu G ; tj. V jest liniową reprezentacją G w następujący sposób. Pisząc dla akcji grupowej, dla każdego g w G i v w V , niech ${\ Displaystyle \ sigma: G \ razy X \ do X}$

{\ Displaystyle \ pi (g) v = (\ varphi \ circ \ sigma ^ {*}) (v) (g ^ {- 1})}

gdzie ${\ Displaystyle \ sigma ^ {*}: V \ do \ Gamma (G \ razy X, \ sigma ^ {*} F)}$ i ${\ Displaystyle \ varphi: \ Gamma (G \ razy X, \ sigma ^ {*} F){\overset {\sim }{\to }}\Gamma (G\times X,p_{2}^{*}F)=k[G]\otimes _{k}V} to izomorfizm określony$ wzorem ekwiwariantna struktura snopka na F . Warunek kocyklu $.$ $.$ grupowym )

Przykład : weź ${O}} _ {G}}$ $i$ działanie na siebie . V $\ Displaystyle V = k [G]}$ ${\ Displaystyle (\ varphi \ circ \ sigma ^ { *})(f)(g,h)=f(gh)}$ , i

{\ Displaystyle (\ pi (g) f) (h) = f (g ^ {- 1} h)}

,

co oznacza, $że$ lewą regularną reprezentacją G .

Reprezentacja $zdefiniowana$ powyżej jest reprezentacją wymierną : dla każdego wektora v w V istnieje skończenie wymiarowy podmoduł G V który zawiera v .

Równoważna wiązka wektorów

Definicja jest prostsza dla wiązki wektorów (tj. odmiany odpowiadającej lokalnie swobodnemu snopowi o stałej randze). Mówimy, że wiązka wektorów E na rozmaitości algebraicznej X , na którą działa grupa algebraiczna G , jest równoważna, jeśli G działa włókno: tj. ${\ Displaystyle g: E_ {x} \ do E_ {gx}}$ jest „liniowym” izomorfizmem przestrzeni wektorowych. Innymi $G \times E \ do E}$ $displaystyle$ składająca się z wiązki wektorów i podniesienia działania do działania $równoważna$ projekcja jest .

Podobnie jak w ustawieniu nieekwiwariantnym, można zdefiniować ekwiwariantną klasę charakterystyki ekwiwariantnej wiązki wektorów.

Przykłady

Wiązka styczna rozmaitości lub gładkiej odmiany jest równoważną wiązką wektorów.
Snop ekwiwariantnych form różniczkowych .
Niech G będzie półprostą grupą algebraiczną, a λ:H→ C znakiem na maksymalnym torusie H . Rozciąga się do podgrupy borelowskiej λ:B→ C , dając jednowymiarową reprezentację W _λ z B . Wtedy GxW _λ jest trywialną wiązką wektorów nad G , na którą działa B. Iloraz L _λ = Gx _B W _λ wynikający z działania B jest wiązką linii nad rozmaitością flagi G/B . Zauważ, że G→G/B jest wiązką B , więc jest to tylko przykład powiązanej konstrukcji wiązki. Twierdzenie Borela – Weila – Botta mówi, że wszystkie reprezentacje G powstają jako kohomologie takich wiązek linii.
Jeśli X=Spec(A) jest schematem afinicznym, akcja G _m na X jest tym samym, co ocena Z na A . Podobnie, G _m ekwiwalentny na X jest tym samym, co moduł A o stopniu Z. ^{[ potrzebne źródło ]}

Zobacz też

Notatki

J. Bernstein, V. Lunts, „Snopy równoważne i funktory”, Springer Lecture Notes in Math. 1578 (1994).
Mumford, David; Fogarty, John; Kirwan, Frances (1994). Teoria niezmienników geometrycznych . Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-56963-3 . MR 1304906 .
Gaitsgory, D. (2005). „Teoria reprezentacji geometrycznej, matematyka 267 lat, jesień 2005” (PDF) . Zarchiwizowane od oryginału (PDF) w dniu 22 stycznia 2015 r.
Thompson, RW (1987). „Algebraiczna K-teoria działań schematu grupowego”. W przeglądarce, William (red.). Topologia algebraiczna i algebraiczna teoria K: materiały z konferencji, która odbyła się w dniach 24-28 października 1983 r. Na Uniwersytecie Princeton, poświęconej Johnowi C. Moore'owi w jego 60. urodziny . Tom. 113. Princeton, NJ: Princeton University Press. P. 539-563. ISBN 9780691084268 .

Linki zewnętrzne

Równoważne krążki