Podstawowy groupoid

W topologii algebraicznej podstawowa jest grupoida pewnym niezmiennikiem topologicznym przestrzeni topologicznej . Można ją postrzegać jako rozszerzenie szerzej znanej grupy podstawowej ; jako taka przechwytuje informacje o typie homotopii przestrzeni topologicznej. W ujęciu teorii kategorii podstawową groupoidą jest pewien funktor z kategorii przestrzeni topologicznych do kategorii groupoid .

[…] ludzie wciąż uparcie upierają się przy obliczaniu z grupami fundamentalnymi, aby ustalić jeden punkt bazowy, zamiast sprytnie wybrać cały pakiet punktów, który jest niezmienny w symetriach sytuacji, które w ten sposób gubią się po drodze. W pewnych sytuacjach (takich jak twierdzenia o pochodzeniu dla grup podstawowych à la Van Kampen) o wiele bardziej eleganckie, a nawet niezbędne do zrozumienia czegoś, jest praca z podstawowymi grupoidami w odniesieniu do odpowiedniego pakietu punktów bazowych, [,,,]

— Alexander Grothendieck , Esquisse d'un Program (sekcja 2, tłumaczenie angielskie )

Definicja

Niech $X$ będzie przestrzenią topologiczną . Rozważmy relację równoważności na ciągłych ścieżkach w $X$ , w której dwie ciągłe ścieżki są równoważne, jeśli są homotopiczne ze stałymi punktami końcowymi. Podstawowa grupoida przypisuje każdej uporządkowanej parze punktów $(p, q)$ w $X$ zbiór klas równoważności ciągłych ścieżek od $p$ do $q$ . Mówiąc bardziej ogólnie, podstawowa grupoida $X$ na zbiorze $S$ ogranicza podstawową grupoidę do punktów, które leżą zarówno w $X$ , jak i $S$ . Pozwala to na uogólnienie twierdzenia Van Kampena przy użyciu dwóch punktów bazowych do obliczenia podstawowej grupy koła.

Jak sugeruje nazwa, podstawowy groupoid $X$ ma naturalnie strukturę groupoidu . W szczególności tworzy kategorię; obiekty są traktowane jako punkty $X$ , a zbiór morfizmów od $p$ do $q$ jest zbiorem klas równoważności podanych powyżej. Fakt, że spełnia to definicję kategorii, sprowadza się do standardowego faktu , że klasa równoważności konkatenacji dwóch ścieżek zależy tylko od klas równoważności poszczególnych ścieżek. Podobnie fakt, że ta kategoria jest grupoidą, która twierdzi, że każdy morfizm jest odwracalny, sprowadza się do standardowego faktu, że można odwrócić orientację ścieżki, a klasa równoważności wynikowej konkatenacji zawiera stałą ścieżkę.

$,$ że fundamentalny groupoid przypisuje uporządkowanej parze $(p, p)$ podstawową grupę X opartą na $p$ .

Podstawowe właściwości

$pod$ uwagę przestrzeń topologiczną $X$ , połączone ścieżkami składowe X są naturalnie zakodowane w jej podstawowej grupoidzie; obserwacja jest taka, że $p$ i $q$ znajdują się w tym samym składniku połączonym ścieżkami $X$ wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór klas równoważności ciągłych ścieżek od $p$ do $q$ nie jest pusty. W kategoriach kategorycznych twierdzenie jest takie, że obiekty $p$ i $q$ należą do tego samego składnika grupowego wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór morfizmów od $p$ do $q$ jest niepusty.

Załóżmy, że $X$ jest połączone ścieżkami i ustalmy element $p$ z $X$ . Grupę podstawową $π 1 (X, p)$ można postrzegać jako kategorię; istnieje jeden przedmiot, a morfizmy od niego do samego siebie są elementami $π 1 (X, p)$ . Wybór dla każdego $q$ w $M$ ciągłej ścieżki od $p$ do $q$ pozwala na użycie konkatenacji, aby zobaczyć dowolną ścieżkę w $X$ jako pętlę opartą na $p$ . Określa to równoważność kategorii między $π 1 (X, p)$ a podstawową grupoidą $X$ . Dokładniej, pokazuje to $π 1 (X, p)$ jako szkielet podstawowej grupoidy $X$ .

Podstawowa grupoida (połączonej drogą) różniczkowalnej rozmaitości $X$ jest w rzeczywistości grupoidą Liego , powstającą jako grupoida cechowania uniwersalnego pokrycia $X$ .

Wiązki grup i systemów lokalnych

Biorąc pod uwagę przestrzeń topologiczną $X$ , system lokalny jest funktorem od podstawowej grupy $X$ do kategorii. Jako ważny przypadek szczególny, wiązka grup (abelowych) na $X$ jest systemem lokalnym wycenionym w kategorii grup (abelowych). To znaczy $każdemu,$ że wiązka grup na $grupę Gp \to Gq X$ $przypisuje$ Gp elementowi $p$ z $X$ i przypisuje homomorfizm grupy każdej ciągłej ścieżce od $p$ do $q$ . Aby być funktorem, te homomorfizmy grupowe muszą być zgodne ze strukturą topologiczną, tak aby ścieżki homotopowe ze stałymi punktami końcowymi definiowały ten sam homomorfizm; ponadto homomorfizmy grupowe muszą składać się zgodnie z konkatenacją i odwróceniem ścieżek. Homologię można zdefiniować za pomocą współczynników w wiązce grup abelowych.

Kiedy $X$ spełnia określone warunki, system lokalny można równoważnie opisać jako snop lokalnie stały .

Przykłady

Podstawową grupoidą przestrzeni singleton jest trywialna grupoida (grupoida z jednym obiektem * i jednym morfizmem $Hom(*, *) = { id * : * \to *$ }
Podstawowa grupoida koła $wszystkie$ połączona grupy wierzchołków są izomorficzne z addytywną grupą liczb całkowitych

Hipoteza homotopii

Hipoteza homotopii , dobrze znana hipoteza w teorii homotopii sformułowana przez Alexandra Grothendiecka , stwierdza, że odpowiednie uogólnienie fundamentalnej groupoidy, znanej jako podstawowa ∞-grupoida , wychwytuje wszystkie informacje o przestrzeni topologicznej aż do słabej równoważności homotopii .

Ronalda Browna . Topologia i grupoidy. Trzecie wydanie Elements of modern topology [McGraw-Hill, Nowy Jork, 1968]. Z 1 CD-ROM (Windows, Macintosh i UNIX). BookSurge, LLC, Charleston, SC, 2006. xxvi + 512 str. ISBN 1-4196-2722-8
Brown, R., Higgins, PJ i Sivera, R., Nieabelowa topologia algebraiczna: przefiltrowane przestrzenie, skrzyżowane kompleksy, sześcienne homotopie grupowe. Traktaty z matematyki, tom 15. Europejskie Towarzystwo Matematyczne (2011). (663+xxv stron) ISBN 978-3-03719-083-8

J.Peter May . Zwięzły kurs topologii algebraicznej. Wykłady z matematyki w Chicago. University of Chicago Press, Chicago, IL, 1999. x+243 s. ISBN 0-226-51182-0 , 0-226-51183-9
Edwina H. Spaniera . Topologia algebraiczna. Poprawiony przedruk oryginału z 1966 roku. Springer-Verlag, Nowy Jork-Berlin, 1981. xvi + 528 s. ISBN 0-387-90646-0
George'a W. Whiteheada . Elementy teorii homotopii. Graduate Texts in Mathematics, 61. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1978. xxi + 744 s. ISBN 0-387-90336-4

Linki zewnętrzne

Strona internetowa Ronalda Browna, wybitnego autora na temat groupoidów w topologii: http://groupoids.org.uk/
podstawowy groupoid w n Lab
fundamentalna grupoida nieskończoności w n Lab

^ Brązowy, Ronald (2006). Topologia i grupoidy . Wyszukiwanie akademickie zakończone. North Charleston: CreateSpace . ISBN 978-1-4196-2722-4 . OCLC 712629429 .
^ Spanier, sekcja 1.7; Lemat 6 i Twierdzenie 7.
^ Spanier, sekcja 1.7; Twierdzenie 8.
^ Spanier, sekcja 1.7; Twierdzenie 9.
^ Maj, sekcja 2.5.
^ Mackenzie, Kirill CH (2005). Ogólna teoria grupoidów kłamstwa i algebroidów kłamstwa . Seria notatek z wykładów London Mathematical Society. Cambridge: Cambridge University Press. doi : 10.1017/cbo9781107325883 . ISBN 978-0-521-49928-6 .
^ Spanier, rozdział 1; ćwiczenia F.
^ Whitehead, sekcja 6.1; strona 257.
^ Whitehead, sekcja 6.2.

[1] Brązowy, Ronald (2006). Topologia i grupoidy . Wyszukiwanie akademickie zakończone. North Charleston: CreateSpace . ISBN 978-1-4196-2722-4 . OCLC 712629429 .

[2] Spanier, sekcja 1.7; Lemat 6 i Twierdzenie 7.

[3] Spanier, sekcja 1.7; Twierdzenie 8.

[4] Spanier, sekcja 1.7; Twierdzenie 9.

[5] Maj, sekcja 2.5.

[6] Mackenzie, Kirill CH (2005). Ogólna teoria grupoidów kłamstwa i algebroidów kłamstwa . Seria notatek z wykładów London Mathematical Society. Cambridge: Cambridge University Press. doi : 10.1017/cbo9781107325883 . ISBN 978-0-521-49928-6 .

[7] Spanier, rozdział 1; ćwiczenia F.

[8] Whitehead, sekcja 6.1; strona 257.

[9] Whitehead, sekcja 6.2.