Teoria biwariantna

W matematyce teoria dwuwariantowa została wprowadzona przez Fultona i MacPhersona ( Fulton i MacPherson 1981 ), aby umieścić strukturę pierścienia na grupie Chow pojedynczej odmiany , a powstały pierścień zwany operacyjnym pierścieniem Chow .

Na poziomie technicznym teoria biwariantna jest mieszanką teorii homologii i teorii kohomologii . Ogólnie rzecz biorąc, teoria homologii jest funktorem kowariantnym z kategorii przestrzeni do kategorii grup abelowych , podczas gdy teoria kohomologii jest funktorem kontrawariantnym z kategorii (ładnych) przestrzeni do kategorii pierścieni. Teoria biwariantna jest funktorem zarówno kowariantnym, jak i kontrawariantnym; stąd nazwa „dwuwariantowy”.

Definicja

W przeciwieństwie do teorii homologii lub teorii kohomologii, klasa biwariantna jest definiowana dla mapy, a nie dla przestrzeni.

Niech ${\ displaystyle f: X \ do Y}$ będzie mapą. W przypadku takiej mapy możemy rozważyć kwadrat włókien

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {macierz} X' i \ do & Y '\\\ strzałka w dół &&\ strzałka w dół \\ X&\ do & Y \ koniec {macierz}}}

(na przykład powiększenie). Intuicyjnie, uwzględnienie wszystkich kwadratów włókien, takich jak powyższe, można traktować jako przybliżenie mapy. fa {\ $f}$ .

Teraz klasa biational jest rodziną homomorfizmów grupowych indeksowanych przez kwadraty włókien: ${\ displaystyle f}$

{\ Displaystyle A_ {k} Y '\ do A_ {kp} X'}

spełniające określone warunki zgodności.

Operacyjny pierścień Chow

Podstawowe pytanie brzmiało, czy istnieje mapa cyklu:

{\ Displaystyle A ^ {*} (X) \ do \ nazwa operatora {H} ^ {*} (X, \ mathbb {Z}).}

Jeśli X $ponieważ$ gładki , mapa istnieje , jest pierścieniem X ( Totaro 2014 ) wykazał, że racjonalnie nie ma takiej mapy o dobrych właściwościach, nawet jeśli X jest odmianą liniową, z grubsza odmianą dopuszczającą rozkład komórki. Zauważa również, że motywiczny pierścień kohomologii Voevodsky'ego jest „prawdopodobnie bardziej użyteczny” niż operacyjny pierścień Chow dla pojedynczego schematu (§ 8 lo. cit.)