Długość modułu

W algebrze abstrakcyjnej długość modułu jest uogólnieniem wymiaru przestrzeni wektorowej , który mierzy jego rozmiar. ^{strona 153} W szczególności, podobnie jak w przypadku przestrzeni wektorowych, jedynymi modułami o skończonej długości są moduły skończenie generowane . Definiuje się ją jako długość najdłuższego łańcucha submodułów . Moduły o skończonej długości mają wiele wspólnych właściwości ze skończonymi wymiarami przestrzeni wektorowych.

Inne pojęcia używane do „liczenia” w teorii pierścieni i modułów to głębokość i wysokość ; oba są nieco bardziej subtelne do zdefiniowania. Co więcej, ich użycie jest bardziej zgodne z teorią wymiarów , podczas gdy długość służy do analizy skończonych modułów. Istnieją również różne koncepcje wymiarów , które są przydatne. Pierścienie przemienne o skończonej długości odgrywają zasadniczą rolę w funktoralnych traktowaniach formalnej geometrii algebraicznej i teorii deformacji, w których pierścienie Artina są szeroko stosowane.

Definicja

Długość modułu

Niech $będzie$$modułem ($ lub prawym) nad pierścieniem . Biorąc $pod$ uwagę łańcuch formy

${\ Displaystyle M_ {0} \ subsetneq M_ {1} \ subsetneq \ cdots \ subsetneq M_ {n} = M}$

mówimy, że to $łańcucha$ . Długość $zdefiniowana$ jako największa długość dowolnego z jej łańcuchów $nieskończoną$ największa długość nie istnieje, mówimy, że ma długość .

Długość pierścionka

$, że$ pierścień ma skończoną długość jako pierścień, jeśli ma skończoną długość $lewy$ .

Nieruchomości

Skończona długość i skończone moduły

Jeśli $sposób$$skończoną$ długość, to jest generowany w skończony . Jeśli R jest polem, to odwrotność jest również prawdziwa.

Stosunek do modułów artyńskich i noetherowskich

Moduł ma skończoną długość wtedy i tylko wtedy $Twierdzenie$ gdy jest zarówno $,$ Noetherowskim jak i modułem Artinowskim ( por. Hopkinsa ). Ponieważ wszystkie pierścienie artyńskie są noetherowskie, implikuje to, że pierścień ma skończoną długość wtedy i tylko wtedy, gdy jest artyński.

Zachowanie w odniesieniu do krótkich ciągów dokładnych

Przypuszczać

$${\ Displaystyle 0 \ strzałka w prawo L \ strzałka w prawo M \ strzałka w prawo N \ strzałka w prawo 0}$$

jest $krótką$ dokładną sekwencją . Wtedy M ma skończoną długość wtedy i tylko wtedy, gdy L i N mają skończoną długość, a my mamy

$${\ Displaystyle {\ tekst {długość}} _ {R} (M) = {\ tekst {długość}} _ {R} (L) + {\text{długość}}_{R}(N)}$$

W szczególności implikuje to następujące dwie właściwości

• Bezpośrednia suma dwóch modułów o skończonej długości ma skończoną długość
• Podmoduł modułu o skończonej długości ma skończoną długość, a jego długość jest mniejsza lub równa długości modułu macierzystego.

Twierdzenie Jordana-Höldera

Główny artykuł: Twierdzenie Jordana – Höldera

Seria kompozycji modułu M jest łańcuchem formy

${\ Displaystyle 0 = N_ {0} \ subsetneq N_ {1} \ subsetneq \ cdots \ subsetneq N_ {n} = M}$

takie że

${\ Displaystyle N_ {i + 1} / N_ {i} {\ tekst {jest prosty dla}} i = 0, \ kropki, n- 1}$

Moduł M ma skończoną długość wtedy i tylko wtedy, gdy ma (skończony) szereg składowy, a długość każdego takiego ciągu składowego jest równa długości M .

Przykłady

Skończone wymiarowe przestrzenie wektorowe

$Każda$ skończenie wymiarowa przestrzeń $skończoną$ nad polem ma długość Biorąc pod uwagę podstawę ${\ Displaystyle v_ {1}, \ ldots, v_ {n}}$ jest łańcuch

$${\ Displaystyle 0 \ podzbiór {\ tekst {Rozpiętość}} _ {k} (v_{1})\subset {\text{Span}}_{k}(v_{1},v_{2})\subset \cdots \subset {\text{Span}}_{k}(v_{ 1},\ldkropki ,v_{n})=V}$$

który ma długość ${\ displaystyle n}$ . Jest maksymalny, ponieważ przy danym łańcuchu

$${\ Displaystyle V_ {0} \ podzbiór \ cdots \ podzbiór V_ {m}}$$

wymiar każdego wtrącenia wzrośnie o co najmniej ${\ displaystyle 1}$ . Dlatego jego długość i wymiar pokrywają się.

Moduły artyńskie

Moduły artinowskie $na pierścieniu$ tworzą klasę przykładów modułów skończonych. W rzeczywistości przykłady te służą jako podstawowe narzędzia do definiowania kolejności znikania w teorii przecięć .

Moduł zerowy

Moduł zerowy jest jedynym modułem o długości 0.

Proste moduły

Moduły o długości 1 to właśnie moduły proste .

Moduły artinowskie nad Z

Długość $Z )$ cyklicznej (patrzonej jako moduł nad liczbami całkowitymi równa liczbie czynników pierwszych $displaystyle n }$ , z wieloma czynnikami pierwszymi liczonymi wiele razy. Można to znaleźć za pomocą chińskiego twierdzenia o resztach .

Zastosowanie w teorii wielości

Główny artykuł: krotność skrzyżowań

Na potrzeby teorii przecięć Jean-Pierre Serre wprowadził ogólne pojęcie krotności punktu , jako długości lokalnego pierścienia Artina związanego z tym punktem .

Pierwszym zastosowaniem była pełna definicja krotności przecięć , aw szczególności stwierdzenie twierdzenia Bézouta , które stwierdza, że ​​suma krotności punktów przecięcia n algebraicznych hiperpowierzchni w n -wymiarowej przestrzeni rzutowej jest albo nieskończona, albo jest dokładnie iloczyn stopni hiperpowierzchni.

Ta definicja krotności jest dość ogólna i zawiera jako przypadki szczególne większość wcześniejszych pojęć krotności algebraicznej.

Kolejność znikania zer i biegunów

$ogólnej$ kolejność zanikania niezerowej funkcji rozmaitości Biorąc pod uwagę rozmaitość $algebraiczną$$,$ podrozmaitość współwymiaru 1 kolejność znikania dla $}$ { Displaystyle

$${\ Displaystyle \ operatorname {ord} _ {V} (f) = {\ tekst {długość}} _ {{\ mathcal { O}}_{V,X}}\left({\frac {{\mathcal {O}}_{V,X}}{(f)}}\right)}$$

gdzie ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {V, X}}$ jest lokalnym pierścieniem określonym przez łodygę wzdłuż ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$ pododmiana ^{stron 426-227} $lub$ , równoważnie, łodyga w ogólnym punkcie ^{strony 22} $}$$}$ } } . Jeśli jest $afiniczną$ _ , a jest zdefiniowany przez znikające miejsce $V$${\ Displaystyle V (f)}$ , to jest izomorfizm V {\ Displaystyle

$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {V, X} \ cong R (X) _ {(f)}}$$

${$$displaystyle X}$ rozszerzyć na funkcje wymierne rozmaitości, kolejność jest zdefiniowana jako

$${\ Displaystyle \ operatorname {ord} _ {V} (F): = \ operatorname {ord} _ {V} (f) -\nazwa_operatora {ord} _{V}(g)}$$

co jest podobne do definiowania kolejności zer i biegunów w analizie złożonej .

Przykład na odmianie rzutowej

Rozważmy na przykład $h$ rzutową zdefiniowaną przez wielomian ${\ Displaystyle h \ in k [x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}]}$ , a następnie kolejność znikania funkcji wymiernej

$${\ Displaystyle F = {\ Frac {f} {g}}}$$

jest dany przez

$${\ Displaystyle \ nazwa operatora {ord} _ {Z (h)} (F) = \ nazwa operatora {ord} _{Z(h)}(f)-\operatorname {ord} _{Z(h)}(g)}$$

Gdzie

$${\ Displaystyle \ nazwa operatora {ord} _ {Z (h)} (f) ={\text{długość}}_{{\mathcal {O}}_{Z(h),\mathbb {P} ^{3}}}\left({\frac {{\mathcal {O}}_ {Z(h),\mathbb {P} ^{3}}}{(f)}}\right)}$$

Na przykład, jeśli ${\ Displaystyle h = x_ {0} ^ {3} + x_ {1} ^ {3} + x_ {2} ^ {3 } + x_ {2} ^ {3}}$ i ${\ Displaystyle f = x ^ {2} + y ^ {2}}$ i ${\ Displaystyle g = h ^ {2} (x_ {0} + x_ {1} -x_ {3})}$ Następnie

$${\ Displaystyle \ nazwa operatora {ord} _ {Z (h )}(f)={\text{długość}}_{{\mathcal {O}}_{Z(h),\mathbb {P} ^{3}}}\left({\frac {{\mathcal {O}}_{Z(h),\mathbb {P} ^{3}}}{(x^{2}+y^{2})}}\right)=0}$$

$\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {Z ( h),\mathbb {P} ^{3}}}$ jest jednostką w lokalnym pierścieniu ) . W drugim przypadku $jest$ ilorazowy

$${\ Displaystyle {\ Frac {{\ mathcal {O}} _ {Z (h), \ mathbb {P} ^ {3}}} {(h ^ {2 })}}}$$

więc ma długość ${\ displaystyle 2}$ . Można to znaleźć za pomocą maksymalnej właściwej sekwencji

$${\ Displaystyle (0) \ podzbiór {\ Frac {{\ mathcal {O}} _ {Z ( h),\mathbb {P} ^{3}}}{(h)}}\subset {\frac {{\mathcal {O}}_{Z(h),\mathbb {P} ^{3}} }{(h^{2})}}}$$

Zero i bieguny funkcji analitycznej

Kolejność znikania jest uogólnieniem kolejności zer i biegunów dla funkcji meromorficznych w analizie złożonej . Na przykład funkcja

$${\ Displaystyle {\ Frac {(z-1) ^ {3} (z-2)} {(z-1) (z-4i)}}}$$

ma zera rzędu 2 i 1 w ${\ Displaystyle 1,2 \ w \ mathbb {C}}$ i biegun rzędu $\ Displaystyle 1}$ w ${\ Displaystyle 4i \ w \ matematyka {C} }$ . Tego rodzaju informacje można zakodować za pomocą długości modułów. Na przykład ustawienie ${\ Displaystyle R (X) = \ mathbb {C} [z]}$ i ${\ Displaystyle V = V (z-1)}$ , istnieje powiązany lokalny pierścień ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {V, X}}$ jest ${\ Displaystyle \ mathbb {C} [z] _ {(z-1)}}$ i moduł ilorazowy

$${(z-1)}} {(( z-4i)(z-1)^{2})}}}$$

Zauważ, że jest jednostką, więc jest to izomorficzne z modułem ilorazowym ${\ displaystyle z-4i}$

$${\ Displaystyle {\ Frac {\ mathbb {C} [z] _ {(z-1)}} {((z-1) ^ { 2})}}}$$

Jego długość wynosi ${\ displaystyle 2},$ ponieważ istnieje maksymalny łańcuch

$${\ Displaystyle (0) \ podzbiór {\ Frac {\ mathbb {C} [z] _ {(z-1)}} {((z-1)}}} \ podzbiór {\ Displaystyle {\ Frac {\ mathbb {C} [z] _ {(z-1) }}{((z-1)^{2})}}}}$$

podmodułów. Bardziej ogólnie, używając twierdzenia Weierstrassa o faktoryzacji, meromorficzne czynniki funkcyjne as

$${\ Displaystyle F = {\ Frac {f} {g}}}$$

który jest (prawdopodobnie nieskończonym) iloczynem wielomianów liniowych zarówno w liczniku, jak i mianowniku.

Zobacz też

• Szeregi Hilberta-Poincarégo
• Dzielnik Weila
• Pierścień do jedzenia
• Teoria przecięcia
• Twierdzenie o faktoryzacji Weierstrassa
• Przypuszczenia Serre'a dotyczące wielości
• Schemat Hilberta - może służyć do badania modułów na schemacie o ustalonej długości
• Twierdzenie Krulla-Schmidta

Linki zewnętrzne

•     Steven H. Weintraub, Teoria reprezentacji grup skończonych AMS (2003) ISBN 0-8218-3222-0 , ISBN 978-0-8218-3222-6
• Allen Altman, Steven Kleiman, Termin algebry przemiennej .
• Projekt Stosy. Długość