moduł noetherowski
W algebrze abstrakcyjnej moduł noetherowski to moduł , który spełnia warunek łańcucha rosnącego na swoich podmodułach , gdzie podmoduły są częściowo uporządkowane przez inkluzję .
Historycznie rzecz biorąc, Hilbert był pierwszym matematykiem, który pracował z właściwościami skończenie generowanych submodułów . Udowodnił ważne twierdzenie znane jako twierdzenie Hilberta o bazie , które mówi, że każdy ideał w pierścieniu wielomianu wielomianowego dowolnego pola jest generowany w sposób skończony . Jednak posiadłość nosi imię Emmy Noether , która jako pierwsza odkryła prawdziwe znaczenie posiadłości.
Charakterystyki i właściwości
W obecności aksjomatu wyboru [ potrzebne lepsze źródło ] możliwe są dwie inne charakterystyki:
- Każdy niepusty zbiór S podmodułów modułu ma element maksymalny (względem włączenia zbioru ). Jest to znane jako warunek maksymalny .
- Wszystkie podmoduły modułu są generowane w sposób skończony .
Jeśli M jest modułem, a K submodułem, to M jest noetherowskie wtedy i tylko wtedy, gdy K i M / K są noetherowskie. Kontrastuje to z ogólną sytuacją w przypadku modułów generowanych w sposób skończony: moduł podrzędny modułu generowanego w sposób skończony nie musi być generowany w sposób skończony.
Przykłady
- Liczby całkowite , traktowane jako moduł nad pierścieniem liczb całkowitych, są modułem noetherowskim.
- Jeśli R = M n ( F ) jest pełnym pierścieniem macierzy nad ciałem, a M = M n 1 ( F ) jest zbiorem wektorów kolumnowych nad F , to M można przekształcić w moduł, stosując mnożenie macierzy przez elementy R po lewej stronie elementy M. To jest moduł noetherowski.
- Każdy moduł, który jest skończony jako zbiór, jest noetherowski.
- Każdy skończenie generowany prawy moduł nad prawym pierścieniem noetherowskim jest modułem noetherowskim.
Zastosowanie w innych konstrukcjach
Prawy noetherowski pierścień R jest, z definicji, noetherowskim prawym modułem R względem samego siebie przy użyciu mnożenia po prawej stronie. Podobnie pierścień nazywany jest lewym pierścieniem noetherowskim, gdy R jest noetherowskim rozpatrywanym jako lewy moduł R. Gdy R jest pierścieniem przemiennym, przymiotniki lewa-prawa mogą zostać pominięte, ponieważ są niepotrzebne. Ponadto, jeśli R jest noetherianem po obu stronach, zwyczajowo nazywa się to noetherianem, a nie „lewo-prawo noetherianem”.
Warunek noetherowski można również zdefiniować na strukturach dwumodułowych : bimoduł noetherowski to bimoduł, którego zestaw sub-bimodułów spełnia warunek łańcucha rosnącego. Ponieważ sub-bimoduł R - S bimodułu M jest w szczególności lewym R -modułem, jeśli M rozpatrywane jako lewy R -moduł były noetherowskie, to M jest automatycznie bimodułem noetherowskim. Może się jednak zdarzyć, że bimoduł jest noetherowski, a jego lewa lub prawa struktura nie jest noetherowska.
Zobacz też
- moduł artinowski
- Rosnący/opadający stan łańcucha
- Seria kompozycji
- Skończenie generowany moduł
- wymiar Krulla
- Eisenbuda z widokiem na geometrię algebraiczną , Springer-Verlag, 1995.