moduł artinowski

W matematyce , szczególnie w algebrze abstrakcyjnej , moduł Artina to moduł , który spełnia warunek łańcucha malejącego na swoim zbiorze submodułów . Są dla modułów tym, czym pierścienie Artinowskie są dla pierścieni , a pierścień jest Artinowski wtedy i tylko wtedy, gdy jest modułem Artinowskim nad sobą (z mnożeniem w lewo lub w prawo). Obie koncepcje zostały nazwane na cześć Emila Artina .

W obecności aksjomatu wyboru , warunek łańcucha malejącego staje się równoważny warunkowi minimum , więc można go zamiast tego użyć w definicji.

Podobnie jak moduły noetherowskie , moduły artinowskie mają następującą właściwość dziedziczenia:

Jeśli M jest artinowskim modułem R , to jest nim każdy submoduł i dowolny iloraz M .

Odwrotność zachodzi również :

Jeśli M jest dowolnym R -modułem, a N dowolnym submodułem artinowskim, takim, że M / N jest artinowskim, to M jest artinowskim.

W konsekwencji każdy skończenie generowany moduł na pierścieniu Artinian jest Artinian. Ponieważ pierścień artyński jest również pierścieniem noetherowskim , a skończenie generowane moduły nad pierścieniem noetherowskim są noetherowskie, prawdą jest, że dla pierścienia artyńskiego R każdy skończenie generowany moduł R jest zarówno noetherowski, jak i artyński, i mówi się, że jest o skończonej długości . Wynika z tego również, że każdy skończenie wygenerowany moduł Artinian jest noetherowski, nawet bez założenia, że R jest Artinian. Jeśli jednak R nie jest Artinianem, a M nie jest generowany w sposób skończony, istnieją kontrprzykłady .

Lewe i prawe pierścienie artyńskie, moduły i bimoduły

Pierścień R można uznać za prawy moduł, w którym działanie jest naturalne, określone przez mnożenie pierścienia po prawej stronie. R nazywa się prawym artinowskim , gdy ten prawy moduł R jest modułem artinowskim. Definicja „lewego pierścienia Artinian” odbywa się analogicznie. W przypadku pierścieni nieprzemiennych to rozróżnienie jest konieczne, ponieważ pierścień może być Artinowski z jednej strony, ale nie z drugiej.

Przymiotniki lewa-prawa nie są zwykle potrzebne w przypadku modułów, ponieważ moduł M jest zwykle podawany na początku jako lewy lub prawy moduł R. Jednak możliwe jest, że M może mieć zarówno lewą, jak i prawą strukturę modułu R , a wtedy nazywanie M Artinianem jest niejednoznaczne i konieczne staje się wyjaśnienie, która struktura modułów jest Artinianem. Aby oddzielić właściwości tych dwóch struktur, można nadużywać terminologii i odnosić się do M jako lewego artyńskiego lub prawego artyńskiego, podczas gdy, ściśle mówiąc, poprawne jest stwierdzenie, że M ze swoją lewą strukturą R -modułową jest artynowską.

Występowanie modułów o lewej i prawej strukturze nie jest niczym niezwykłym: na przykład samo R ma lewą i prawą strukturę R -modułu. W rzeczywistości jest to przykład bimodułu i możliwe jest przekształcenie grupy abelowej M w lewy- R , prawy- S bimoduł dla innego pierścienia S. Rzeczywiście, dla dowolnego prawego modułu M jest to automatycznie lewy moduł nad pierścieniem liczb całkowitych Z , a ponadto jest to bimoduł Z - R. Na przykład rozważmy liczby wymierne Q jako bimoduł Z - Q w naturalny sposób. Wtedy Q nie jest artinowskie jako lewy moduł Z , ale jest artinowskie jako prawy moduł Q.

Warunek artinowski można również zdefiniować na strukturach dwumodułowych: bimoduł artinowski to bimoduł , którego zestaw sub-bimodułów spełnia warunek łańcucha zstępującego. Ponieważ sub-bimoduł R - S bimodułu M jest tym bardziej lewy R -moduł, jeśli M rozpatrywane jako lewy R -moduł były artyńskie, to M jest automatycznie bimodułem artinowskim. Może się jednak zdarzyć, że bimoduł jest artyński, a jego lewa lub prawa struktura nie jest artyńska, jak pokaże poniższy przykład.

Przykład: Powszechnie wiadomo, że prosty pierścień jest lewostronny Artinian wtedy i tylko wtedy, gdy jest prawy Artinian, w którym to przypadku jest to pierścień półprosty . Niech R będzie prostym pierścieniem, który nie jest właściwym Artinianem. Wtedy też nie jest leworęczny. Biorąc pod uwagę R jako bimoduł R - R w naturalny sposób, jego sub-bimoduły są dokładnie ideałami R . Ponieważ R jest proste, są tylko dwa: R i ideał zerowy . Tak więc bimoduł R jest artinowski jako bimoduł, ale nie artinowski jako lewy lub prawy moduł R nad sobą.

Związek z warunkiem noetherowskim

W przeciwieństwie do pierścieni, istnieją moduły artyńskie, które nie są modułami noetherowskimi . Weźmy na przykład p $\ mathbb {Q} /$ składnik , czyli $mathbb {Z}} [1$ , która jest izomorficzna z grupą p - quasicykliczną ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} (p ^ {\ infty})}$ , uważana za ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ -moduł. Łańcuch ${\ Displaystyle \ langle 1/p \ rangle \ podzbiór \ langle 1/p ^ {2} \ rangle \ podzbiór \ langle 1/p ^ {3} \ rangle \ subset \ cdots}$ nie kończy się, więc ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} (p ^ {\ infty})}$ (a zatem ${\ Displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ ) nie jest noetherowskie. Jednak każdy zstępujący łańcuch (bez utraty ogólności) właściwych podmodułów kończy się: Każdy taki łańcuch ma postać ${\ Displaystyle \ langle 1/ n_{1}\rangle \supseteq \langle 1/n_{2}\rangle \supseteq \langle 1/n_{3}\rangle \supseteq \cdots }$ dla niektórych liczb całkowitych ${\ displaystyle n_ {1}, n_ {2}, n_ {3}, \ ldots}$ i włączenie ${\ Displaystyle \ langle 1/n_ {i + 1} \ rangle \ subseteq \ langle 1/n_ {i} \ rangle}$ oznacza, że ${\ Displaystyle n_ {i + 1}}$ musi dzielić ${\ displaystyle n_ {i}}$ . Więc $_$ _ $W$ ten sposób sekwencja ,

Zauważ $_$ _ $_$ _ Jest to więc również przykład wiernego modułu artyńskiego nad pierścieniem nieartinowskim. Nie dzieje się tak w przypadku noetherowskim; Jeśli M jest wiernym modułem noetherowskim nad A, to A jest również noetherowskim.

W pierścieniu przemiennym każdy cykliczny moduł Artina jest również noetherowski, ale w pierścieniach nieprzemiennych cykliczne moduły Artina mogą mieć niezliczoną długość , jak pokazano w artykule Hartleya i ładnie podsumowano w artykule Paula Cohna poświęconym pamięci Hartleya.

Innym istotnym wynikiem jest twierdzenie Akizuki – Hopkinsa – Levitzkiego , które stwierdza, że warunki artinowskie i noetherowskie są równoważne dla modułów w pierścieniu półpierwotnym .

Zobacz też

Notatki

^ ^ab ^, Lam (2001), Twierdzenie 1.21 s. 19 .

Atiyah, MF ; Macdonald, IG (1969). „Rozdział 6. Warunki łańcucha; Rozdział 8. Pierścienie Artina”. Wprowadzenie do algebry przemiennej . Westview Press. ISBN 978-0-201-40751-8 .
Cohn, PM (1997). „Cykliczne moduły artinowskie bez serii kompozycji”. J. London Matematyka. soc . Seria 2. 55 (2): 231–235. doi : 10.1112/S0024610797004912 . MR 1438626 .
Hartley, B. (1977). „Niezliczone moduły artyńskie i niezliczone rozpuszczalne grupy spełniające Min-n”. proc. Matematyka Londynu. soc . Seria 3. 35 (1): 55–75. doi : 10.1112/plms/s3-35.1.55 . MR 0442091 .
Lam, TY (2001). „Rozdział 1. Teoria Wedderburna-Artina”. Pierwszy kurs o pierścieniach nieprzemiennych . Springer Verlag. ISBN 978-0-387-95325-0 .

[Lam-19-1] , Lam (2001), Twierdzenie 1.21 s. 19 .