Twierdzenie Krulla-Schmidta

W matematyce twierdzenie Krulla-Schmidta stwierdza, że grupę poddaną pewnym warunkom skończoności na łańcuchach podgrup można jednoznacznie zapisać jako skończony bezpośredni iloczyn nierozkładalnych podgrup.

Definicje

Mówimy, że grupa G spełnia warunek łańcucha rosnącego (ACC) na podgrupach, jeśli każdy ciąg podgrup G :

{\ Displaystyle 1 = G_ {0} \ równoważnik G_ {1} \ równoważnik G_ {2} \ równoważnik \ cdots \,}

jest ostatecznie stała, tj. istnieje N takie, że G _N = G _{N +1} = G _{N +2} = ... . Mówimy, że G spełnia ACC na normalnych podgrupach, jeśli każda taka sekwencja normalnych podgrup G ostatecznie staje się stała.

Podobnie, można zdefiniować warunek łańcucha malejącego w (normalnych) podgrupach, patrząc na wszystkie malejące sekwencje (normalnych) podgrup:

{\ Displaystyle G = G_ {0} \ geq G_ {1} \ geq G_ {2} \ geq \ cdots. \,}

Oczywiście wszystkie skończone grupy spełniają zarówno ACC, jak i DCC w podgrupach. Nieskończona grupa cykliczna spełnia ACC, ale nie DCC, ponieważ (2) > (2) $jest$ ^{> (2) 3}^> ... nieskończoną malejącą sekwencją podgrup. Z drugiej strony, -skrętna część ( quasicykliczna grupa p ) spełnia DCC, ale $}$ $\ Displaystyle p ^ {\$ nie AK.

Mówimy, że grupa G jest nierozkładalna , jeśli nie można jej zapisać jako iloczyn bezpośredni nietrywialnych podgrup G = H × K .

Oświadczenie

Jeśli jest grupą, która spełnia ACC lub DCC w $normalnych podgrupach, to istnieje dokładnie$ $jeden$ sposób zapisania jako iloczyn bezpośredni $displaystyle G$ $displaystyle G_ {1}\times G_ {2}\times \cdots \times G_ {k}\}$ skończenie wielu nierozkładalnych podgrup ${\ displaystyle G}$ . Tutaj wyjątkowość oznacza, że bezpośrednie rozkłady na nierozkładalne podgrupy mają właściwość wymiany. To znaczy: załóżmy ${\ Displaystyle G = H_ {1} \ razy H_ {2} \ razy \ cdots \ razy H_ {l} \}$ jest kolejnym wyrażeniem ${\ Displaystyle G}$ jako iloczyn nierozkładalnych podgrup. Następnie ${\ displaystyle k = l}$ i następuje ponowne indeksowanie satysfakcjonującego ${\ displaystyle H_ {i}}$

${\ Displaystyle G_ {i}}$ i są izomorficzne dla każdego $\ Displaystyle$ $H_ {i$ ;
${\ Displaystyle G = G_ {1} \ razy \ cdots \ razy G_ {r} \ razy H_ {r + 1} \ razy \ cdots \times H_ {l} \,}$ dla każdego ${\ displaystyle r}$ .

Dowód

Udowodnienie istnienia jest stosunkowo proste: niech $S$ będzie zbiorem wszystkich normalnych podgrup, których nie można zapisać jako iloczyn nierozkładalnych podgrup. Co więcej, każda nierozkładalna podgrupa jest (trywialnie) jednoczłonowym bezpośrednim produktem samej siebie, a zatem podlega rozkładowi. Jeśli Krull-Schmidt zawiedzie, to $S$ zawiera $G$ ; więc możemy iteracyjnie skonstruować malejącą serię czynników bezpośrednich; jest to sprzeczne z DCC. Następnie można odwrócić konstrukcję, aby pokazać, że wszystkie czynniki bezpośrednie $G$ pojawiają się w ten sposób.

Z drugiej strony dowód jedyności jest dość długi i wymaga sekwencji lematów technicznych. Pełną ekspozycję zob.

Uwaga

Twierdzenie nie stwierdza istnienia nietrywialnego rozkładu, a jedynie, że dowolne takie dwa rozkłady (jeśli istnieją) są takie same.

Rozkład Remaku

Rozkład Remaka , wprowadzony przez Roberta Remaka , to rozkład grupy abelowej lub podobnego obiektu na skończoną bezpośrednią sumę obiektów nierozkładalnych. Twierdzenie Krulla-Schmidta daje warunki, aby istniał rozkład Remaka i aby jego czynniki były unikalne.

Twierdzenie Krulla-Schmidta dla modułów

Jeśli jest modułem , który spełnia $ACC$ i DCC na submodułach (to znaczy jest zarówno noetherowski , jak i artinowski lub - równoważnie - o skończonej długości , to mi ≠ $\ displaystyle E \ neq 0$ bezpośrednia suma modułów nierozkładalnych . Aż do permutacji nierozkładalne składniki w takiej bezpośredniej sumie są jednoznacznie określone aż do izomorfizmu.

Ogólnie rzecz biorąc, twierdzenie zawodzi, jeśli założy się tylko, że moduł jest noetherowski lub artinowski.

Historia

Dzisiejsze twierdzenie Krulla-Schmidta zostało po raz pierwszy udowodnione przez Josepha Wedderburna ( Ann. of Math (1909)) dla grup skończonych, chociaż wspomina, że pewna zasługa wynika z wcześniejszych badań GA Millera , w których rozważano bezpośrednie iloczyny grup abelowych . Twierdzenie Wedderburna jest określone jako właściwość wymiany między bezpośrednimi rozkładami o maksymalnej długości. Jednak dowód Wedderburna nie wykorzystuje automorfizmów.

Teza Roberta Remaka (1911) wyprowadziła ten sam wynik wyjątkowości, co Wedderburn, ale także udowodniła (we współczesnej terminologii), że grupa automorfizmów centralnych działa przechodnio na zbiór bezpośrednich rozkładów o maksymalnej długości skończonej grupy. Z tego silniejszego twierdzenia Remak udowodnił również różne wnioski, w tym, że grupy z trywialnym centrum i grupy doskonałe mają unikalny rozkład Remaka .

Otto Schmidt ( Sur les produits directs , SMF Bull. 41 (1913), 161–164), uprościł główne twierdzenia Remaka do trzystronicowego poprzednika dzisiejszych dowodów podręcznikowych. Jego metoda poprawia wykorzystanie przez Remaka idempotentów do tworzenia odpowiednich centralnych automorfizmów. Zarówno Remak, jak i Schmidt opublikowali kolejne dowody i wnioski do swoich twierdzeń.

Wolfgang Krull ( Über verallgemeinerte endliche Abelsche Gruppen , MZ 23 (1925) 161–196) powrócił do pierwotnego problemu GA Millera dotyczącego produktów bezpośrednich grup abelowych, rozszerzając je na abelowe grupy operatorów z rosnącymi i malejącymi warunkami łańcuchowymi. Najczęściej mówi się o tym w języku modułów. Jego dowód zauważa, że idempotenty użyte w dowodach Remaka i Schmidta można ograniczyć do homomorfizmów modułów; pozostałe szczegóły dowodu pozostają w dużej mierze niezmienione.

O. Ore ujednolicił dowody z różnych kategorii, w tym grup skończonych, grup operatorów abelowych, pierścieni i algebr, udowadniając twierdzenie Wedderburna o wymianie dla sieci modułowych z malejącymi i rosnącymi warunkami łańcuchowymi. Dowód ten nie wykorzystuje idempotentów i nie potępia przechodniości twierdzeń Remaka.

Teoria grup Kurosha i Teoria grup Zassenhausa zawierają dowody Schmidta i Rudy pod nazwą Remak – Schmidt, ale uznają Wedderburn i Ore. Późniejsze teksty używają tytułu Krull – Schmidt ( Algebra Hungerforda ) i Krull – Schmidt – Azumaya (Curtis-Reiner). Nazwa Krull-Schmidt jest obecnie powszechnie zastępowana dowolnym twierdzeniem dotyczącym jednoznaczności iloczynów bezpośrednich o maksymalnym rozmiarze. Niektórzy autorzy wybierają bezpośrednie rozkłady rozkładów Remaka o maksymalnych rozmiarach, aby uhonorować jego wkład.

Zobacz też

Kategoria Krulla-Schmidta

^ Thomas W. Hungerford (6 grudnia 2012). Algebra . Springer Science & Business Media. P. 83. ISBN 978-1-4612-6101-8 .
^ Hungerford 2012, s. 86-8.
Bibliografia Linki zewnętrzne _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 0075-4102 , JFM 42.0156.01
^ Jacobson, Nathan (2009). Podstawowa algebra . Tom. 2 (wyd. 2). Dover. P. 115. ISBN 978-0-486-47187-7 .
^ Facchini, Alberto; Herbera, Dolors; Levy, Lawrence S.; Vámos, Peter (1 grudnia 1995). „Krull-Schmidt zawodzi w przypadku modułów Artinian” . Proceedings of the American Mathematical Society . 123 (12): 3587. doi : 10.1090/S0002-9939-1995-1277109-4 .

Dalsza lektura

A. Facchini: Teoria modułów. Pierścienie endomorficzne i rozkłady sum bezpośrednich w niektórych klasach modułów. Progress in Mathematics, 167. Birkhäuser Verlag, Bazylea, 1998. ISBN 3-7643-5908-0
CM Ringel: Krull – Remak – Schmidt zawodzi w przypadku modułów Artinian nad lokalnymi pierścieniami. algebr. Przedstawiać. Teoria 4 (2001), no. 1, 77–86.

Linki zewnętrzne

Strona w PlanetMath

[Hungerford2012-1] Thomas W. Hungerford (6 grudnia 2012). Algebra . Springer Science & Business Media. P. 83. ISBN 978-1-4612-6101-8 .

[2] Hungerford 2012, s. 86-8.

[3] Bibliografia Linki zewnętrzne _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 0075-4102 , JFM 42.0156.01

[4] Jacobson, Nathan (2009). Podstawowa algebra . Tom. 2 (wyd. 2). Dover. P. 115. ISBN 978-0-486-47187-7 .

[5] Facchini, Alberto; Herbera, Dolors; Levy, Lawrence S.; Vámos, Peter (1 grudnia 1995). „Krull-Schmidt zawodzi w przypadku modułów Artinian” . Proceedings of the American Mathematical Society . 123 (12): 3587. doi : 10.1090/S0002-9939-1995-1277109-4 .