Kategoria Krulla-Schmidta

W teorii kategorii , gałęzi matematyki, kategoria Krulla-Schmidta jest uogólnieniem kategorii, w których obowiązuje twierdzenie Krulla-Schmidta . Powstają na przykład podczas badania modułów o skończonych wymiarach w algebrze .

Definicja

  Niech C będzie kategorią addytywną lub bardziej ogólnie kategorią addytywną R -liniową dla pierścienia przemiennego R . Nazywamy C kategorią Krulla -Schmidta pod warunkiem, że każdy obiekt rozkłada się na skończoną bezpośrednią sumę obiektów posiadających lokalne pierścienie endomorficzne. Równoważnie, C ma podzielone idempotenty , a pierścień endomorfizmu każdego obiektu jest półdoskonały .

Nieruchomości

Jeden ma odpowiednik twierdzenia Krulla – Schmidta w kategoriach Krulla – Schmidta:

Obiekt nazywamy nierozkładalnym , jeśli nie jest izomorficzny z bezpośrednią sumą dwóch niezerowych obiektów. W kategorii Krulla-Schmidta mamy to

• obiekt jest nierozkładalny wtedy i tylko wtedy, gdy jego pierścień endomorficzny jest lokalny.
• każdy obiekt jest izomorficzny ze skończoną bezpośrednią sumą obiektów nierozkładalnych.
• jeśli $oplus Y_ {s}}$${\ Displaystyle X_ {1} \ oplus X_ {2} \ oplus \ cdots \ oplus X_ {r} \ cong Y_ {1 } \ oplus Y_ {2} \ oplus \ cdots$$\ displaystyle Y_ {j}}$ gdzie wszystkie i $są$ nierozkładalne, to ${ \displaystyle r=s}$$}$ permutacja taka że wszystkich $\$ \ displaystyle

Można zdefiniować kołczan Auslandera-Reitena kategorii Krulla-Schmidta.

Przykłady

• Kategoria abelowa , w której każdy obiekt ma skończoną długość . Obejmuje to jako szczególny przypadek kategorię modułów o skończonych wymiarach w algebrze.
• Kategoria skończenie generowanych modułów nad skończoną R -algebrą , gdzie R jest przemiennym zupełnym lokalnym pierścieniem Noetherowskim .
• Kategoria spójnych snopów na zupełnej rozmaitości w algebraicznie zamkniętym ciele .

Nie-przykład

Kategoria skończenie generowanych modułów rzutowych na liczbach całkowitych ma podzielone idempotenty, a każdy moduł jest izomorficzny ze skończoną bezpośrednią sumą kopii zwykłego modułu, przy czym liczba jest określona przez rangę . Zatem kategoria ma unikalny rozkład na elementy nierozkładalne, ale nie jest to Krull-Schmidt, ponieważ zwykły moduł nie ma lokalnego pierścienia endomorfizmu.

Zobacz też

• Kołczan
• Koperta Karoubiego

Notatki

• Michael Atiyah (1956) O twierdzeniu Krulla-Schmidta z zastosowaniem do snopów Bull. soc. Matematyka Francja 84 , 307–317.
• Henning Krause, kategorie Krull-Remak-Schmidt i okładki projekcyjne , maj 2012.
•   Irving Reiner (2003) Maksymalne zamówienia. Poprawiony przedruk oryginału z 1975 roku. Z przedmową MJ Taylora. Monografie Londyńskiego Towarzystwa Matematycznego. Nowa seria, 28. The Clarendon Press, Oxford University Press, Oxford. ISBN 0-19-852673-3 .
• Claus Michael Ringel (1984) Tame Algebras and Integral Square Forms , Lecture Notes in Mathematics 1099 , Springer-Verlag, 1984.