izospin

W fizyce jądrowej i fizyce cząstek elementarnych izospin ( I ) jest liczbą kwantową związaną z zawartością kwarków górnych i dolnych w cząstce. Mówiąc dokładniej, symetria izospinowa jest podzbiorem symetrii smakowej widzianej szerzej w interakcjach barionów i mezonów .

Nazwa pojęcia zawiera termin spin, ponieważ jego opis mechaniki kwantowej jest matematycznie podobny do opisu momentu pędu (w szczególności w sposobie, w jaki się łączy ; na przykład para proton-neutron może być sprzężona albo w stanie całkowitej izospiny 1 lub w jednym z 0). Ale w przeciwieństwie do momentu pędu, jest to wielkość bezwymiarowa i w rzeczywistości nie jest żadnym rodzajem spinu .

Etymologicznie termin ten wywodzi się od spinu izotopowego , mylącego terminu, od którego fizycy jądrowi preferują spin izobaryczny , który ma bardziej precyzyjne znaczenie. Zanim wprowadzono koncepcję kwarków, cząstki, na które oddziałuje się w równym stopniu, ale które mają różne ładunki (np. protony i neutrony), uważano za różne stany tej samej cząstki, ale mające wartości izospinu związane z liczbą stanów ładunku. Dokładne zbadanie symetrii izospin ostatecznie doprowadziło bezpośrednio do odkrycia i zrozumienia kwarków oraz do rozwoju teorii Yanga-Millsa . Symetria izospinowa pozostaje ważną koncepcją w fizyce cząstek elementarnych.

Zawartość kwarków i izospin

We współczesnym sformułowaniu izospin ( I ) definiuje się jako wielkość wektorową, w której kwarki górny i dolny mają wartość I = 1/2, przy czym trzecia składowa ( I ₃ ) wynosi +1/2 dla kwarków górnych, a −1/2 dla kwarków dolnych, podczas gdy wszystkie inne kwarki mają I = 0. Dlatego ogólnie dla hadronów, gdzie n _u i n _d są odpowiednio liczbą kwarków górnych i dolnych,

${\ Displaystyle I_ {3} = {\ Frac {1} {2}} (n_ {u} -n_ {d}).}$

W dowolnej kombinacji kwarków, trzecia składowa wektora izospiny ( I ₃ ) może być albo wyrównana między parą kwarków, albo skierowana w przeciwnym kierunku, dając różne możliwe wartości całkowitej izospiny dla dowolnej kombinacji smaków kwarków. Hadrony o tej samej zawartości kwarków, ale różnej całkowitej izospinie można rozróżnić eksperymentalnie, sprawdzając, czy smak jest w rzeczywistości wielkością wektorową, a nie skalarem (góra vs dół to po prostu rzut na kwantowo-mechaniczną oś z przestrzeni smaku ) .

Na przykład kwark dziwny można połączyć z kwarkiem górnym i dolnym, aby utworzyć barion , ale istnieją dwa różne sposoby łączenia wartości izospinowych — albo dodając (ze względu na wyrównanie smaku), albo usuwając (ze względu na w przeciwnych kierunkach smaku). Stan izospin-1 (
Σ ⁰
) i stan izospin-0 (
Λ ⁰
) mają różne wykryte eksperymentalnie masy i okresy półtrwania.

Izospin i symetria

Zobacz też: Teoria reprezentacji SU (2)

Isospin jest uważany za symetrię silnego oddziaływania pod działaniem grupy Liego SU (2) , przy czym dwa stany to smak w górę i smak w dół. W mechanice kwantowej , gdy hamiltonian ma symetrię, symetria ta przejawia się poprzez zbiór stanów, które mają tę samą energię (stany te są opisane jako zdegenerowane ). Mówiąc prościej, operator energii dla oddziaływań silnych daje ten sam wynik, gdy zamienimy miejscami kwark górny i identyczny kwark dolny.

Podobnie jak w przypadku spinu regularnego, operator izospinu I ma wartość wektorową : ma trzy składowe I _x , I _y , I _z , które są współrzędnymi w tej samej trójwymiarowej przestrzeni wektorowej, w której działa reprezentacja 3 . Zauważ, że ta przestrzeń wektorowa nie ma nic wspólnego z przestrzenią fizyczną, poza podobnym formalizmem matematycznym. Izospin opisują dwie liczby kwantowe : I – całkowita izospina oraz I ₃ – wartość własna Projekcja I _z , dla której stany smakowe są stanami własnymi , a nie arbitralną projekcją, jak w przypadku spinu . Innymi słowy, każdy I ₃ określa pewien stan smakowy multipletu . Trzecia współrzędna ( z ), do której odnosi się indeks dolny „3”, jest wybierana ze względu na konwencje notacyjne, które odnoszą się do podstaw w 2 i 3   przestrzenie reprezentacji. Mianowicie dla przypadku o spinie 1/2 składowe I są równe macierzom Pauliego podzielonym przez 2, a więc I _z = 1 / 2 τ ₃ , gdzie

${\ Displaystyle \ tau _ {3} = {\ początek {pmatrix} 1 i 0 \\ 0 i -1 \ koniec {pmatrix}}.}$

Chociaż formy tych macierzy są izomorficzne z formami spinu, te macierze Pauliego działają tylko w przestrzeni Hilberta izospinu, a nie spinu, i dlatego często oznacza się je raczej τ niż σ , aby uniknąć nieporozumień.

Chociaż symetria izospinowa jest w rzeczywistości bardzo nieznacznie złamana, symetria SU(3) jest poważnie złamana ze względu na znacznie większą masę kwarka dziwnego w porównaniu z górą i dołem. Odkrycie wdzięku , dna i wierzchołka może prowadzić do dalszych rozszerzeń aż do symetrii smakowej SU(6) , która utrzymywałaby się, gdyby wszystkie sześć kwarków było identycznych. Jednak znacznie większe masy kwarków powabnego, dolnego i górnego oznaczają, że SU(6) symetria smaku jest z natury bardzo poważnie złamana (przynajmniej przy niskich energiach), a założenie tej symetrii prowadzi do jakościowo i ilościowo błędnych prognoz. W nowoczesnych zastosowaniach, takich jak krata QCD , symetria izospinowa jest często traktowana jako dokładna dla trzech lekkich kwarków (uds), podczas gdy trzy ciężkie kwarki (cbt) muszą być traktowane oddzielnie.

Nazewnictwo hadronów

Główne artykuły: Barion i mezony

Nazewnictwo hadronów opiera się na izospinie.

• Cząstki o całkowitym izospinie 3/2 nazywane są barionami Delta i mogą być utworzone przez kombinację dowolnych trzech kwarków górnych lub dolnych (ale tylko kwarków górnych lub dolnych).
• Cząstki o całkowitej izospinie 1 mogą składać się z dwóch kwarków górnych, dwóch kwarków dolnych lub jednego z nich:
  • niektóre mezony - dalej zróżnicowane przez całkowity spin na piony (całkowity spin 0) i mezony rho (całkowity spin 1)
  • z dodatkowym kwarkiem o wyższym smaku – barionami Sigma
• Cząstki o całkowitej izospinie 1/2 mogą być wykonane z:
  • pojedynczy kwark górny lub dolny wraz z dodatkowym kwarkiem o wyższym smaku – dziwnym ( kaony ), powabnym ( mezon D ) lub dolnym ( mezon B )
  • pojedynczy kwark górny lub dolny wraz z dwoma dodatkowymi kwarkami o wyższym smaku – barionem Xi
  • kwark górny, kwark dolny i kwark górny lub dolny – nukleony . Zauważ, że trzy identyczne kwarki byłyby zabronione przez zasadę wykluczenia Pauliego ze względu na wymóg antysymetrycznej funkcji falowej
• Cząstki o całkowitej izospinie 0 mogą być wykonane z
  • neutralna para kwark-antykwark: ${\ Displaystyle u {\ bar {u}}}$ lub ${\ Displaystyle d {\ bar {d}}}$ - eta mezony
  • jeden kwark górny i jeden dolny oraz dodatkowo kwark o wyższym smaku – bariony lambda
  • cokolwiek, co nie zawiera żadnych kwarków górnych ani dolnych

Historia

Oryginalna motywacja dla isospin

Isospin jako koncepcja została wprowadzona w 1932 r., na długo przed rozwojem modelu kwarków w latach 60. XX wieku . Człowiek, który go wprowadził, Werner Heisenberg , zrobił to, aby wyjaśnić symetrie nowo odkrytego wówczas neutronu (symbol n):

• Masy neutronu i protonu (symbol p) są prawie identyczne: są one prawie zdegenerowane i dlatego oba są często nazywane nukleonami . Chociaż proton ma dodatni ładunek elektryczny, a neutron jest obojętny, są one prawie identyczne we wszystkich innych aspektach.
• Siła oddziaływania silnego między dowolną parą nukleonów jest taka sama, niezależnie od tego, czy oddziałują jako protony, czy jako neutrony.

To zachowanie jest podobne do elektronu , gdzie istnieją dwa możliwe stany w oparciu o ich spin. Inne właściwości cząstki są w tym przypadku zachowane. Heisenberg wprowadził koncepcję innej zachowanej wielkości, która spowodowałaby zamianę protonu w neutron i odwrotnie. W 1937 roku Eugene Wigner wprowadził termin „izospin”, aby wskazać, w jaki sposób nowa wielkość jest podobna do zachowania wirowania, ale poza tym niezwiązana.

Protony i neutrony zostały następnie zgrupowane razem jako nukleony , ponieważ oba mają prawie taką samą masę i oddziałują prawie w ten sam sposób, jeśli zaniedba się (znacznie słabsze) oddziaływanie elektromagnetyczne. W fizyce cząstek elementarnych bliska degeneracja masy neutronu i protonu wskazuje na przybliżoną symetrię hamiltonianu opisującego oddziaływania silne. Wygodnie było więc traktować je jako różne stany tej samej cząstki.

Szczególnym wkładem Heisenberga było odnotowanie, że matematyczne sformułowanie tej symetrii było pod pewnymi względami podobne do matematycznego sformułowania spinu , skąd wywodzi się nazwa „izospin”. Neutron i proton są przypisane do dubletu ( spin-1/2, 2 lub podstawowa reprezentacja ) SU(2). Pionki są przypisane do trypletu (spin-1, 3 lub sprzężona reprezentacja ) SU(2). Chociaż istnieje różnica w stosunku do teorii spinu: działanie grupowe nie zachowuje smak (konkretnie, działanie grupowe jest wymianą smaku).

Podobnie jak cząstka o spinie 1/2, która ma dwa stany, protony i neutrony miały izospin 1/2. Następnie proton i neutron powiązano z różnymi projekcjami izospinowymi I ₃ = odpowiednio +1/2 i −1/2.

Chociaż neutron w rzeczywistości ma nieco większą masę z powodu rozpadu izospiny (obecnie rozumie się, że jest to spowodowane różnicą mas kwarków górnych i dolnych oraz efektami oddziaływania elektromagnetycznego), pojawienie się przybliżonej symetrii jest przydatny, nawet jeśli nie do końca się sprawdza; małe naruszenia symetrii można opisać teorią perturbacji , która powoduje niewielkie różnice między stanami bliskimi zdegeneracji.

Konstruując fizyczną teorię sił jądrowych , można po prostu założyć, że nie zależy ona od izospinu, chociaż całkowita izospina powinna być zachowana.

Zoo cząstek

Główny artykuł: Zoo cząstek

Rozważania te przydałyby się również w analizie oddziaływań mezon -nukleon po odkryciu pionów w 1947 r. Trzy piony (
π ⁺
,
π ⁰
,
π ⁻
) można by przypisać trypletowi izospinowemu o I = 1 i I ₃ = +1, 0 lub −1 . Zakładając, że izospin był konserwowany przez interakcje jądrowe, nowe mezony były łatwiej dostosowywane przez teorię jądrową.

W miarę odkrywania kolejnych cząstek przypisywano je wielokrotnościom izospinu w zależności od liczby obserwowanych różnych stanów ładunku: 2 dublety I = 1/2 K mezonów ( K
− ^,
K
) ⁰
, (
K ⁺
,
K ⁰
), tryplet I = 1 barionów Sigma (
Σ ⁺
,
Σ ⁰
,
Σ ⁻
), singlet I = 0 Lambda barion (
Λ ⁰
), kwartet I = 3/2 Delta barionów (
Δ ⁺⁺
,
Δ ⁺
,
Δ ⁰
,
Δ ⁻
) i tak dalej.

Siła symetrii izospinowej i metod pokrewnych wynika z obserwacji, że rodzinom cząstek o podobnych masach odpowiadają niezmienne podprzestrzenie związane z nieredukowalnymi reprezentacjami algebry Liego SU (2). W tym kontekście niezmienna podprzestrzeń jest rozpięta przez wektory bazowe, które odpowiadają cząstkom w rodzinie. Pod działaniem algebry Liego SU(2), która generuje obroty w przestrzeni izospinowej, elementy odpowiadające określonym stanom cząstek lub superpozycjom stanów mogą być obracane względem siebie, ale nigdy nie mogą opuścić przestrzeni (ponieważ podprzestrzeń jest w rzeczywistości niezmienna ). Odzwierciedla to obecną symetrię. Fakt, że macierze unitarne będą komutować z hamiltonianem, oznacza, że ​​obliczone wielkości fizyczne nie zmieniają się nawet przy transformacji unitarnej. W przypadku izospinu ta maszyneria jest używana do odzwierciedlenia faktu, że matematyka siły silnej zachowuje się tak samo, jeśli proton i neutron są zamienione miejscami (we współczesnym sformułowaniu kwark górny i dolny).

Przykład: bariony Delta

Na przykład cząstki znane jako bariony Delta – bariony o spinie 3/2 – zostały zgrupowane razem, ponieważ wszystkie mają prawie taką samą masę (około 1232 MeV/ c ² ) i oddziałują w prawie ten sam sposób.

Można je traktować jako tę samą cząstkę, przy czym różnica w ładunku wynika z faktu, że cząstka znajduje się w różnych stanach. Isospin został wprowadzony, aby być zmienną definiującą tę różnicę stanu. Analogicznie do spinu, projekcja izospinowa (oznaczona jako I ₃ ) jest powiązana z każdym naładowanym stanem; ponieważ były cztery Delty, potrzebne były cztery projekcje. Podobnie jak spin, projekcje izospinowe zmieniały się w przyrostach co 1. Stąd, aby mieć cztery przyrosty co 1, wymagana jest wartość izospinowa 3/2 (dając projekcje I ₃ = +3/2, +1/2 , −1/2, −3/2 ). Tak więc wszystkie Delty miały izospin I = 3/2 , a każdy pojedynczy ładunek miał inny I ₃ (np.
Δ ⁺⁺
było związane z I ₃ = +3/2 ).

   Na obrazie izospinowym uważano, że cztery delty i dwa nukleony to po prostu różne stany dwóch cząstek. Obecnie przyjmuje się, że bariony Delta składają się z mieszanki trzech kwarków górnych i dolnych - uuu (
Δ ⁺⁺
), uud (
Δ ⁺
), udd (
Δ ⁰
) i ddd (
Δ ^-
); różnica ładunków będąca różnicą ładunków kwarków górnych i dolnych (+ 2 / 3 e i − 1 / 3 e odpowiednio); jednak można je również traktować jako stany wzbudzone nukleonów.

Zmierzona symetria izospinowa

Podejmowano próby promowania izospiny z globalnej do lokalnej symetrii. W 1954 roku Chen Ning Yang i Robert Mills zasugerowali, że pojęcie protonów i neutronów, które są w sposób ciągły obracane względem siebie przez izospin, powinno mieć możliwość zmiany punktu do punktu. Aby to opisać, kierunek protonu i neutronu w przestrzeni izospiny musi być zdefiniowany w każdym punkcie, dając lokalną podstawę dla izospiny. Połączenie miernika opisywałoby wtedy, jak przekształcić izospin wzdłuż ścieżki między dwoma punktami.

Ta teoria Yanga-Millsa opisuje oddziałujące bozony wektorowe, takie jak foton elektromagnetyzmu. W przeciwieństwie do fotonu, teoria cechowania SU(2) zawierałaby samooddziałujące bozony cechowania. Warunek niezmienniczości cechowania sugeruje, że mają one zerową masę, podobnie jak w przypadku elektromagnetyzmu.

Ignorując problem bezmasy, tak jak to zrobili Yang i Mills, teoria daje mocne przewidywanie: cząstka wektorowa powinna uniwersalnie sprzęgać się ze wszystkimi cząstkami o danej izospinie . Sprzężenie z nukleonem byłoby takie samo jak sprzężenie z kaonami . Sprzężenie z pionami byłoby takie samo, jak samosprzężenie bozonów wektorowych ze sobą.

Kiedy Yang i Mills zaproponowali tę teorię, nie było kandydata na bozon wektora. JJ Sakurai w 1960 roku przewidział, że powinien istnieć masywny bozon wektorowy, który jest sprzężony z izospinem, i przewidział, że będzie on wykazywał uniwersalne sprzężenia. Mezony rho odkryto niedługo później i szybko zidentyfikowano jako bozony wektorowe Sakurai. Zweryfikowano, że sprzężenia rho z nukleonami i między sobą są uniwersalne, najlepiej jak można było to zmierzyć w eksperymencie. Fakt, że diagonalny prąd izospinowy zawiera część prądu elektromagnetycznego, doprowadził do przewidywania mieszania się rho-fotonów i koncepcji dominacja mezonów wektorowych , idee, które doprowadziły do ​​​​udanych teoretycznych zdjęć rozpraszania fotonów na jądrach w skali GeV.

Wprowadzenie kwarków

Kombinacje trzech kwarków u, d lub s tworzące bariony o spinie - 3 ⁄ 2 tworzą dekuplet barionowy .

Kombinacje trzech kwarków u, d lub s tworzące bariony o spinie - 1 ⁄ 2 tworzą oktet barionowy

Odkrycie i późniejsza analiza dodatkowych cząstek, zarówno mezonów , jak i barionów , jasno pokazały, że pojęcie symetrii izospinowej można rozszerzyć do jeszcze większej grupy symetrii, zwanej obecnie symetrią smakową . Gdy kaony i ich właściwość dziwności zostały lepiej zrozumiane, stało się jasne, że one również wydawały się być częścią powiększonej symetrii, która zawierała izospin jako podgrupę. Większa symetria została nazwana Ośmioraką Drogą przez Murraya Gell-Manna i szybko uznano, że odpowiada sprzężonej reprezentacji SU(3) . Aby lepiej zrozumieć pochodzenie tej symetrii, Gell-Mann zaproponował istnienie kwarków górnych, dolnych i dziwnych , które należałyby do fundamentalnej reprezentacji symetrii smaku SU(3).

W modelu kwarkowym rzut izospinowy ( I ₃ ) wynikał z zawartości kwarków górnych i dolnych w cząstkach; uud dla protonu i udd dla neutronu. Technicznie rzecz biorąc, stany dubletów nukleonów są postrzegane jako liniowe kombinacje iloczynów 3-cząstkowych stanów dubletów izospinowych i stanów dubletów spinowych. Oznacza to, że (spin-up) funkcja fali protonowej w kategoriach stanów własnych smaku kwarków jest opisana przez

$${\ Displaystyle \ vert \ operatorname {p} \ uparrow \ rangle = {\ frac {1} {1} {3 {\ sqrt {2}}}} \ lewo ({\ rozpocząć {tablica} {ccc} \ vert \ operatorname {duu } \rangle &\vert \mathrm {udu} \rangle &\vert \mathrm {uud} \rangle \end{array}}\right)\left({\begin{array}{ccc}2&-1&-1\ \-1&2&-1\\-1&-1&2\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}\left\vert \downarrow \uparrow \uparrow \right\rangle \\\left \vert \uparrow \strzałka w dół \uparrow \right\rangle \\\left\vert \uparrow \uparrow \strzałka w dół \right\rangle \end{array}}\right)}$$

i (rozpędzający się) neutron przez

$${\ Displaystyle \ vert \ operatorname {n} \ uparrow \ rangle = {\ frac {1} {3 {\ sqrt {2}}}} \ lewo ({\ rozpocząć {tablica}} {ccc} \ vert \ operatorname {udd } \rangle &\vert \mathrm {dud} \rangle &\vert \mathrm {ddu} \rangle \end{array}}\right)\left({\begin{array}{ccc}2&-1&-1\ \-1&2&-1\\-1&-1&2\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}\left\vert \downarrow \uparrow \uparrow \right\rangle \\\left \vert \uparrow \strzałka w dół \uparrow \right\rangle \\\left\vert \uparrow \uparrow \strzałka w dół \right\rangle \end{tablica}}\right).}$$

Tutaj, ${\ Displaystyle \ operatorname {\ vert u \ rangle}}$ jest stanem własnym smaku kwarka górnego i ${\ Displaystyle \ operatorname {\ vert d \ rangle}}$ jest stanem własnym smaku kwarka dolnego , podczas gdy $_$ _ ${\ Displaystyle \ lewo \ vert \ strzałka w dół \ w prawo \ rangle}$ to stany własne ${\ Displaystyle S_ {z}}$ . Chociaż te superpozycje są technicznie poprawnym sposobem oznaczania protonu i neutronu pod względem smaku kwarków i spinowych stanów własnych, dla zwięzłości często określa się je po prostu jako „uud” i „udd”. Powyższe wyprowadzenie zakłada dokładną symetrię izospinową i jest modyfikowane przez warunki łamiące SU (2).

Podobnie symetria izospinowa pionów jest dana wzorem:

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ vert \ pi ^ {+} \ rangle & = \ vert \ operatorname {u {\ overline {d}}} \ rangle \\\ vert \ pi ^ {0} \ rangle & ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\vert \mathrm {u{\overline {u}}} \rangle -\vert \mathrm {d{\overline {d}}} \ rangle \right)\\\vert \pi ^{-}\rangle &=-\vert \mathrm {d{\overline {u}}} \rangle .\end{aligned}}}$$

Chociaż odkrycie kwarków doprowadziło do reinterpretacji mezonów jako związanego z wektorem stanu kwarka i antykwarku, czasami nadal warto myśleć o nich jako o bozonach cechowania ukrytej symetrii lokalnej.

Słaba izospina

Główny artykuł: słaby izospin

słabego izospinu , ale nie należy go mylić . Krótko mówiąc, słaba izospin jest symetrią cechowania oddziaływania słabego , która łączy dublety kwarkowe i leptonowe cząstek lewoskrętnych we wszystkich generacjach; na przykład kwarki górne i dolne, kwarki górne i dolne, elektrony i neutrina elektronowe. Natomiast (silna) izospin łączy tylko kwarki górny i dolny, działa na obie chiralności (lewą i prawą) i jest symetrią globalną (nie cechowania).

Zobacz też

• Czynnik Chana-Patona

Notatki

•   Greiner, W .; Müller, B. (1994). Mechanika kwantowa: symetrie (wyd. 2). Skoczek. P. 279 . ISBN 978-3540580805 .
•   Itzykson, C.; Zuber, J.-B. (1980). Kwantowa teoria pola . McGraw-Hill . ISBN 978-0-07-032071-0 .
•   Griffiths, D. (1987). Wprowadzenie do cząstek elementarnych . John Wiley & Synowie . ISBN 978-0-471-60386-3 .

Linki zewnętrzne

• i8 i Dane dotyczące struktury i rozpadu jądra atomowego — izospin IAEA Nuclides