Profińiczna liczba całkowita

W matematyce liczba całkowita skończona jest elementem pierścienia ( czasami wymawiane jako zee-hat lub zed-hat)

{\ Displaystyle {\ widehat {\ mathbb {Z}}} = \ varprojlim \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z} = \ prod _ {p }\mathbb {Z} _{p}}

Gdzie

{\ Displaystyle \ varprojlim \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}}

wskazuje skończone zakończenie , indeks biegnie po wszystkich liczbach pierwszych i $jest$ $}$ $\ displaystyle$ p -adyczne liczby całkowite . Grupa ta jest ważna ze względu na jej związek z teorią Galois , teorią homotopii étale i pierścieniem Adele . Ponadto zapewnia prosty, wykonalny przykład grupy skończonej .

Budowa

skończone liczby całkowite jako zbiór reszt reprezentowanych jako ${\ mathbb {Z}}}}$ $widehat$

{\ Displaystyle \ upsilon = (\ upsilon _ {1} {\ bmod {1}}, ~ \ upsilon _ {2} {\ bmod {2}},~\upsilon _{3}{\bmod {3}},~\ldots )}

taki, że ${\ Displaystyle m \ |\ n \ implikuje \ upsilon _ {m} \ równoważnik \ upsilon _ {n} {\ bmod {m}}$ }

Dodawanie i mnożenie punktowe czynią go pierścieniem przemiennym.

Pierścień liczb całkowitych osadza się w pierścieniu liczb całkowitych skończonych poprzez wstrzyknięcie kanoniczne:

{\ Displaystyle \ eta: \ mathbb {Z} \ hookrightarrow {\ widehat {\ mathbb {Z}}}}

gdzie

{\ Displaystyle n \ mapsto (n {\ bmod {1}}, n {\ bmod {2}}, \ kropki).}

Jest kanoniczny, ponieważ spełnia uniwersalną właściwość grup skończonych , że przy dowolnej grupie skończonej i dowolnym homomorfizmie grupowym istnieje $\ displaystyle f: \ mathbb {Z} \rightarrow H$ ${$ sol $: {\ Widehat {\ mathbb {Z}}} \ Rightarrow H} z$ Displaystyle $displaystyle f = g \ eta}$ f { .

Korzystanie z silniowego systemu liczbowego

Każda liczba całkowita ma unikalną reprezentację w systemie liczb silni jako ${\ displaystyle n \ geq 0}$

{\ Displaystyle n = \ suma _ {i = 1} ^ {\ infty} c_ {i} ja! \ qquad {\ tekst {z}} c_ {i} \ in \ mathbb {Z}}

gdzie $\ Displaystyle 0 \ równoważnik c_ {i} \ równoważnik ja}$ $dla$ każdego tylko skończenie wielu z nich ${\ displaystyle c_ {1 },c_{2},c_{3},\ldots }$ są różne od zera.

Jego silnię można zapisać jako ${\ Displaystyle (\ cdots c_ {3} c_ {2} c_ {1}) _ {!}$ }

W ten sam sposób skończoną liczbę całkowitą można jednoznacznie przedstawić w silniowym systemie liczbowym jako nieskończony ciąg znaków ${\ Displaystyle (\ cdots c_ {3} c_ {2} c_ {1}) _ {!}}$ $displaystyle 0 \leq c_{i}\leq i}$ gdzie każdy $ja$ liczbą całkowitą spełniającą .

Cyfry ${\ displaystyle c_ {1}, c_ {2}, c_ {3}, \ ldots, c_ {k-1}}$ określają wartość skończona liczba całkowita mod ${\ displaystyle k!$ } Dokładniej, istnieje homomorfizm pierścieniowy ${\ Displaystyle {\ Widehat {\ mathbb {Z}}} \ do \ mathbb {Z} / k! \, \ mathbb {Z}}$ wysyłanie

{\ Displaystyle (\ cdots c_ {3} c_ {2} c_ {1}) _ {!} \ mapsto \ suma _ {i = 1} ^ {k-1} c_ {i} ja! \ mod k!}

Różnica między liczbą całkowitą skończoną a liczbą całkowitą polega na tym, że warunek „skończenie wielu cyfr niezerowych” jest odrzucany, co pozwala na to, aby jej silnia reprezentowała nieskończenie wiele cyfr niezerowych.

Korzystanie z chińskiego twierdzenia o resztach

Innym sposobem zrozumienia konstrukcji skończonych liczb całkowitych jest użycie chińskiego twierdzenia o reszcie . Przypomnijmy sobie to w przypadku liczby całkowitej $na$ rozkładem czynniki pierwsze

{\ Displaystyle n = p_ {1} ^ {a_ {1}} \ cdots p_ {k} ^ {a_ {k}}}

dla niepowtarzających się liczb pierwszych istnieje izomorfizm pierścienia

{\ Displaystyle \ mathbb {Z} / n \ cong \ mathbb {Z} / p_ {1} ^ {a_ {1}} \ razy \cdots \times \mathbb {Z} /p_{k}^{a_{k}}}

z twierdzenia. Co więcej, wszelkie surjekcja

{\ Displaystyle \ mathbb {Z} / n \ do \ mathbb {Z} / m}

będzie po prostu mapą leżących u podstaw rozkładów, w których występują indukowane surjekcji

{\ Displaystyle \ mathbb {Z} / p_ {i} ^ {a_ {i}} \ do \ mathbb {Z} / p_ {i} ^ {b_ {i }}}

ponieważ musimy mieć $\ displaystyle a_ {i} \ geq b_ {i}$ } Powinno być znacznie jaśniejsze, że zgodnie z definicją odwrotnej granicy skończonych liczb całkowitych mamy izomorfizm

{\ Displaystyle {\ widehat {\ mathbb {Z}}} \ cong \ prod _ {p} \ mathbb {Z} _ {p}}

z iloczynem bezpośrednim p -adycznych liczb całkowitych.

Wyraźnie izomorfizm jest następujący : ${\ Displaystyle \ phi: \ prod _ {p} \ mathbb {Z} _ {p} \ do {\ widehat {\ mathbb {Z}}}}$

{\ Displaystyle \ phi ((n_ {2}, n_ {3}, n_ {5}, \ cdots ) )(k)=\prod _{q}n_{q}\mod k}

gdzie mieści

się

w zakresie wszystkich współczynników mocy pierwszej, czyli k

}

\ displaystyle k = \ prod _ {i = 1} ^ {l} p_ {i} ^ {d_ {i}}}

\ displaystyle p_ {i} ^ {d_ {i

dla niektórych różnych liczb pierwszych

{\ displaystyle p_ {1}, ..., p_ {l}}

.

Relacje

Właściwości topologiczne

Zbiór skończonych liczb całkowitych ma topologię indukowaną, w której jest zwartą przestrzenią Hausdorffa , co wynika z faktu, że można ją postrzegać jako zamknięty podzbiór nieskończonego iloczynu bezpośredniego

${\ Displaystyle {\ widehat {\ mathbb {Z}}} \ podzbiór \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z} }$

który jest zwarty ze swoją topologią produktu według twierdzenia Tychonoffa . Zwróć uwagę $że$ topologia każdej skończonej grupy podana topologia dyskretna

Topologię można zdefiniować za pomocą metryki. ${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {Z}}}}$

{\ Displaystyle d (x, y) = {\ Frac {1} {\ min \ {k \ in \ mathbb {Z} _ {> 0}: x \ nie \ równoważnik y {\ bmod {(k + 1 )!}}\}}}}

Ponieważ dodawanie skończonych liczb całkowitych jest ciągłe, jest zwartą grupą abelową Hausdorffa, a zatem jej $.$ Pontryagina musi być dyskretną grupą abelową

W rzeczywistości liczba dualna Pontryagina jest grupą abelową wyposażoną $Z}}}} topologia ($ dyskretną ${\ displaystyle {\ widehat { \$ $,$ że nie jest to topologia podzbioru odziedziczona z jest dyskretna). Liczba dualna Pontryagina jest wyraźnie skonstruowana przez funkcję

${\ Displaystyle \ mathbb {Q} /\ mathbb {Z} \ razy {\ widehat {\ mathbb {Z}}} \do U(1),\,(q,a)\mapsto \chi (qa)}$

gdzie jest charakterem Adele (przedstawionym poniżej) $ZA$ $\ mathbf {A} _ {\ mathbb {Q}, f}}$ wywołany przez ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} /\ mathbb {Z} \ do U (1), \, \ alfa \ mapsto e ^ {2 \ pi i \ alfa}}$ .

Relacja z Adele

$_$ tensorowy pierścieniem _

${\ Displaystyle \ mathbf {A} _ {\ mathbb {Q}, f} = {\ prod _ {p}} '\ mathbb {Q} _ {p}}$

gdzie symbol oznacza $produkt$ $podlegający$ _ _ Oznacza to, że element jest ciągiem, który jest całkowity z wyjątkiem skończonej liczby miejsc. Istnieje izomorfizm

${\ Displaystyle \ mathbf {A} _ {\ mathbb {Q}} \ cong \ mathbb {R} \ razy ({\ kapelusz {\ mathbb {Z}}} \ czasami _ {\mathbb {Z} }\mathbb {Q})}$

Zastosowania w teorii Galois i teorii homotopii Etale

Dla domknięcia algebraicznego rzędu $\ displaystyle {\ overline {\ mathbf {F}}}$ skończonego pola, fa $}$ _ q } Grupę Galois można obliczyć jawnie. Z faktu ${\ Displaystyle {\ tekst {Gal}} (\ mathbf {F} _ {q ^ {n}} / \ mathbf {F} _ {q })\cong \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ gdzie automorfizmy są określone przez endomorfizm Frobeniusa $jest$ grupa Galois algebraicznego domknięcia dana przez odwrotną granicę grup. $\ displaystyle \ mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ , więc jej grupa Galois jest izomorficzna z grupą liczb całkowitych skończonych

${\ Displaystyle \ operatorname {Gal} ({\ overline {\ mathbf {F}}} _ {q} / \ mathbf {F} _ {q}) \ cong {\ widehat {\ mathbb {Z}}}}$

co daje obliczenie absolutnej grupy Galois pola skończonego.

Związek z podstawowymi grupami Etale torusu algebraicznego

Konstrukcję tę można interpretować na wiele sposobów. Jedna z nich pochodzi z teorii homotopii Etale , która definiuje grupę podstawową Etale jako skończone uzupełnienie automorfizmów ${\ displaystyle \ pi _ {1} ^ {et} (X)}$

${\ Displaystyle \ pi _ {1} ^ {et} (X) = \ lim _ {i \ w ja} {\ tekst {Aut }}(X_{i}/X)}$

gdzie ${\ displaystyle X_ {i} \ do X}$ to okładka Etale . Następnie skończone liczby całkowite są izomorficzne z grupą

${\ Displaystyle \ pi _ {1} ^ {et} ({\ tekst {Spec}} (\ mathbf {F} _ {q})) \ cong { \ kapelusz {\ mathbb {Z} }}}$

z wcześniejszych obliczeń profinitycznej grupy Galois. Ponadto istnieje osadzenie skończonych liczb całkowitych wewnątrz podstawowej grupy Etale torusa algebraicznego

${\ Displaystyle {\ kapelusz {\ mathbb {Z}}} \ hookrightarrow \ pi _ {1} ^ {et} (\ mathbb {G} _ {m})}$

ponieważ mapy pokrywające pochodzą z map wielomianowych

${\ Displaystyle (\ cdot) ^ {n}: \ mathbb {G} _ {m} \ do \ mathbb {G} _ {m}}$

z mapy pierścieni przemiennych

${\ Displaystyle f: \ mathbb {Z} [x, x ^ {-1}] \ do \ mathbb {Z} [x, x ^{-1}]}$ wysyłanie ${\ Displaystyle x \ mapsto x ^ {n}}$

ponieważ ${\ Displaystyle \ mathbb {G} _ {m} = {\ tekst {Spec}} (\ mathbb {Z} [x, x ^ {-1} ])}$ . Jeśli torus algebraiczny zostanie rozpatrzony na polu $)$ wówczas grupa podstawowa Etale $\ displaystyle \ pi _ {1} ^ {et} (\ mathbb {G} _{m}/{\text{Spec(k)}})}$ zawiera akcję ${\ Displaystyle {\ tekst {Gal}} ({\ overline {k}} / k)}$ a także z podstawowej dokładnej sekwencji w teorii homotopii etale.

Klasowa teoria pola i skończone liczby całkowite

Klasowa teoria pola jest gałęzią algebraicznej teorii liczb badającą abelowe rozszerzenia pola. Biorąc pod uwagę $pole$ , abelianizacja jego absolutnej grupy Galois

${\ Displaystyle {\ tekst {Gal}} ({\ overline {\ mathbb {Q}}} / \ mathbb {Q}) ^ {ab}}$

$powiązany$ z powiązanym pierścieniem adeli skończonych liczb całkowitych. W szczególności istnieje mapa zwana mapą Artina

${\ Displaystyle \ Psi _ {\ mathbb {Q}}: \ mathbb {A} _ {\ mathbb {Q}} ^ {\ razy }/\mathbb {Q} ^{\times }\to {\text{Gal}}({\overline {\mathbb {Q} }}/\mathbb {Q} )^{ab}}$

co jest izomorfizmem. Iloraz ten można określić jawnie jako

${\ Displaystyle {\ początek {wyrównane} \ mathbb {A} _ {\ mathbb {Q}} ^ {\ razy} / \ mathbb {Q} ^ {\ razy} i \ cong (\ mathbb {R} \ razy { \hat {\mathbb {Z} }})/\mathbb {Z} \\&={\underset {\leftarrow }{\lim }}\mathbb {(} {\mathbb {R} }/m\mathbb { Z} )\\&={\underset {x\mapsto x^{m}}{\lim }}S^{1}\\&={\hat {\mathbb {Z} }}\end{aligned} }}$

dając pożądaną relację. Istnieje analogiczne stwierdzenie dla teorii pola klas lokalnych $. displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}/\mathbb {F} _{p}}$ $rozszerzenie$ rozszerzenia .

Zobacz też

Notatki

Connes, Alain; Consani, Caterina (2015). „Geometria miejsca arytmetycznego”. arXiv : 1502.05580 [ math.AG ].
Milne, JS (23.03.2013). „Teoria pola klasowego” (PDF) . Zarchiwizowane od oryginału (PDF) w dniu 2013-06-19 . Źródło : 2020-06-07 .

Linki zewnętrzne