Absolutna grupa Galois

Absolutna grupa Galois liczb rzeczywistych jest cykliczną grupą rzędu 2 generowaną przez zespoloną koniugację, ponieważ C jest rozdzielnym zamknięciem R i [ C : R ] = 2.

W matematyce bezwzględna grupa Galois G _K pola K to grupa Galois K ^sep nad K , gdzie K ^sep jest rozdzielnym zamknięciem K . Alternatywnie jest to grupa wszystkich automorfizmów domknięcia algebraicznego K , które ustalają K . Absolutna grupa Galois jest dobrze zdefiniowana aż do wewnętrznego automorfizmu . Jest to grupa proffinitywna .

(Kiedy K jest ciałem doskonałym , K ^sep jest tym samym, co domknięcie algebraiczne K ^alg K. Dotyczy to np. K o charakterystyce zerowej lub K o ciele skończonym ).

Przykłady

• Bezwzględna grupa Galois ciała algebraicznie domkniętego jest trywialna.
• Absolutna grupa Galois liczb rzeczywistych jest cykliczną grupą dwóch elementów (koniugacja zespolona i mapa tożsamości), ponieważ C jest rozdzielnym zamknięciem R i [ C : R ] = 2.
• Bezwzględna grupa Galois skończonego pola K jest izomorficzna z grupą

${\ Displaystyle {\ kapelusz {\ mathbf {Z}}} = \ varprojlim \ mathbf {Z} / n \ mathbf {Z}.}$

(Aby zapoznać się z notacją, zobacz Odwrotna granica ).

Automorfizm Frobeniusa Fr jest kanonicznym (topologicznym) generatorem G _K . (Przypomnij sobie, że Fr( x ) = x ^q dla wszystkich x w K ^alg , gdzie q jest liczbą elementów w K .)

• Bezwzględna grupa Galois ciała funkcji wymiernych o zespolonych współczynnikach jest dowolna (jako grupa profinite). Wynik ten pochodzi od Adriena Douady'ego i ma swoje korzenie w twierdzeniu o istnieniu Riemanna .
• Mówiąc bardziej ogólnie, niech C będzie ciałem algebraicznie zamkniętym, a x zmienną. Wtedy bezwzględna grupa Galois K = C ( x ) jest wolna od rangi równej liczności C . Wynik ten zawdzięczamy Davidowi Harbaterowi i Florianowi Popowi , a później udowodnili to również Dan Haran i Moshe Jarden przy użyciu metod algebraicznych.
• Niech K będzie skończonym rozszerzeniem liczb p-adycznych Q _p . Dla p ≠ 2 jego bezwzględna grupa Galois jest generowana przez [ K : Q _p ] + 3 elementy i ma wyraźny opis za pomocą generatorów i relacji. To zasługa Uwe Jannsena i Kay Wingberg. Niektóre wyniki są znane w przypadku p = 2, ale struktura Q ₂ nie jest znana.
• Inny przypadek, w którym wyznaczono bezwzględną grupę Galois, dotyczy największego całkowicie rzeczywistego podciała ciała liczb algebraicznych.

Problemy

• Nie jest znany bezpośredni opis bezwzględnej grupy liczb wymiernych Galois . W tym przypadku z twierdzenia Belyi wynika, że ​​bezwzględna grupa Galois wiernie oddziałuje na dessins d'enfants Grothendiecka (mapy na powierzchniach), umożliwiając nam „zobaczenie” teorii Galois algebraicznych ciał liczbowych.
• Niech K będzie maksymalnym abelowym rozszerzeniem liczb wymiernych. Następnie przypuszczenie Szafarewicza stwierdza, że ​​​​absolutna grupa Galois K jest wolną grupą profinite.

Niektóre ogólne wyniki

• Każda grupa profinite występuje jako grupa Galois o pewnym rozszerzeniu Galois, jednak nie każda grupa proffinite występuje jako absolutna grupa Galois. Na przykład twierdzenie Artina – Schreiera stwierdza, że ​​​​jedyne skończone absolutne grupy Galois są trywialne lub rzędu 2, czyli tylko dwie klasy izomorfizmu.
• Każda projekcyjna grupa profinite może być zrealizowana jako absolutna grupa Galois ciała pseudoalgebraicznie domkniętego . To zasługa Alexandra Lubotzky'ego i Lou van den Driesa .

Źródła

•   Douady, Adrien (1964), „Détermination d'un groupe de Galois”, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris , 258 : 5305–5308, MR 0162796
•    Smażone, Michael D .; Jarden, Moshe (2008), Field arithmetic , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge, tom. 11 (wyd. 3), Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-77269-9 , Zbl 1145.12001
•   Haran, Dan; Jarden, Moshe (2000), „Absolutna grupa Galois C ( x )”, Pacific Journal of Mathematics , 196 (2): 445–459, doi : 10.2140 / pjm.2000.196.445 , MR 1800587
•   Harbater, David (1995), „Grupy podstawowe i problemy z osadzaniem w charakterystycznym p ”, Najnowsze osiągnięcia w odwrotnym problemie Galois (Seattle, WA, 1993) , Współczesna matematyka, tom. 186, Providence, Rhode Island : Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , s. 353–369, MR 1352282
•   Jannsen, Uwe; Wingberg, Kay (1982), "Die Struktur der absoluten Galoisgruppe ${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ -adischer Zahlkörper" (PDF) , Inventiones Mathematicae , 70 : 71–78, Bibcode : 1982 InMat..70 .. .71J , doi : 10.1007/bf01393199 , S2CID 119378923
•     Neukirch, Jürgen ; Schmidt, Aleksander; Wingberg, Kay (2000), Kohomologia pól liczbowych , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften , tom. 323, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4 , MR 1737196 , Zbl 0948.11001
•    Pop , Florian ( 1995 ) _ _ _ , doi : 10.1007/bf01241142 , MR 1334484 , S2CID 128157587