Pole pseudoalgebraicznie domknięte

W matematyce pole jest pseudoalgebraicznie zamknięte, $jeśli$ spełnia pewne właściwości, które obowiązują dla pól zamkniętych . Pojęcie to zostało wprowadzone przez Jamesa Axa w 1967 r.

Sformułowanie

Pole K jest pseudoalgebraicznie domknięte (zwykle w skrócie PAC ), jeśli zachodzi jeden z następujących równoważnych warunków:

Każda $_$ nieredukowalna rozmaitość zdefiniowana $przez$ punkt $.$ _ _ _
Dla każdego absolutnie nieredukowalnego wielomianu ${\ Displaystyle f \ w K [T_ {1}, T_ {2}, \ cdots, T_ {r}, X] }$ z każdego $sol$ ${\ Displaystyle g \ w K [T_ {1}, T_ {2}, \ cdots, T_ {r}]}$ istnieje ${\ Displaystyle ({\textbf {a }},b)\in K^{r+1}}$ tak, że ${\ Displaystyle f ({\textbf {a}},b) = 0}$ i ${\ displaystyle g ({\textbf {a}})\nie = 0}$ .
$_$ absolutnie $_$ _ _
Jeśli $: R \ do K.$ $skończenie$ wygenerowaną całkową z polem ilorazowym $,$ które jest regularne , to istnieje homomorfizm. : $displaystyle$ h tak, że dla każdego ${\ displaystyle h (a) = a}$ ${\ displaystyle a \ w K.$ }

Przykłady

Pola algebraicznie domknięte i pola rozdzielnie domknięte są zawsze PAC.
Pola pseudoskończone i pola hiperskończone to PAC.
Niegłównym ultraproduktem różnych skończonych pól jest (pseudoskończony, a zatem) PAC. Ax wyprowadza to z hipotezy Riemanna dla krzywych na ciałach skończonych .
Nieskończone rozszerzenia algebraiczne ciał skończonych to PAC.
Nullstellensatz PAC . Absolutna grupa Galois $w$ jest $skończona$ , a zatem zwarta , a zatem wyposażona znormalizowaną miarę Haara Niech $będzie$ przeliczalnym polem Hilberta i $.$ dodatnią liczbą całkowitą Następnie dla $prawie$ ( ${\ displaystyle (\ sigma _ {1}, ..., \ sigma _ {e}) \ w G ^ {e}}$ , stałym polem podgrupy generowanej przez automorfizmy jest PAC . Tutaj wyrażenie „prawie wszystkie” oznacza „wszystko oprócz zbioru miary zerowej”. (Wynik ten jest konsekwencją twierdzenia Hilberta o nieredukowalności.)
Niech K będzie maksymalnym , całkowicie rzeczywistym rozszerzeniem Galoisa liczb wymiernych , a i pierwiastkiem kwadratowym z -1. Wtedy K ( i ) oznacza PAC.

Nieruchomości

Grupa Brauera pola PAC jest trywialna, ponieważ każda odmiana Severiego – Brauera ma racjonalny sens.
Absolutna grupa Galois pola PAC jest grupą skończoną rzutową ; równoważnie ma wymiar kohomologiczny co najwyżej 1.
Pole PAC o charakterystycznym zera to C1 .

Smażone, Michael D.; Jarden, Mosze (2008). Arytmetyka polowa . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. Tom. 11 (wydanie trzecie poprawione). Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-77269-9 . Zbl 1145.12001 .