Absolutna nieredukowalność

W matematyce wielomian wielowymiarowy zdefiniowany na liczbach wymiernych jest absolutnie nierozkładalny, jeśli jest nierozkładalny na polu zespolonym . Na ${2} + y$ , $+ y$ absolutnie nieredukowalny, ale chociaż jest nierozkładalny na liczbach całkowitych i rzeczywistych, jest redukowalny na liczbach zespolonych jako ${\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2}=(x+iy)(x-iy)},$ a zatem nie jest absolutnie nieredukowalny.

Mówiąc bardziej ogólnie, wielomian zdefiniowany na ciele K jest absolutnie nierozkładalny, jeśli jest nierozkładalny na każdym algebraicznym rozszerzeniu K , a afiniczny zbiór algebraiczny zdefiniowany przez równania ze współczynnikami w polu K jest absolutnie nierozkładalny, jeśli nie jest sumą dwóch algebraicznych zbiory określone równaniami w algebraicznie domkniętym rozszerzeniu K . Innymi słowy, absolutnie nieredukowalny zbiór algebraiczny jest synonimem rozmaitości algebraicznej , co podkreśla, że ​​współczynniki równań definiujących nie mogą należeć do ciała algebraicznie domkniętego.

Absolutnie nieredukowalne jest również stosowane, w tym samym znaczeniu, do liniowych reprezentacji grup algebraicznych .

We wszystkich przypadkach bycie absolutnie nieredukowalnym jest tym samym, co bycie nieredukowalnym w algebraicznym domknięciu pola podstawowego.

Przykłady

• Wielomian jednowymiarowy stopnia większego lub równego 2 nigdy nie jest absolutnie nieredukowalny ze względu na podstawowe twierdzenie algebry .
• Nieredukowalna dwuwymiarowa reprezentacja grupy symetrycznej S ₃ rzędu 6, pierwotnie zdefiniowana na polu liczb wymiernych , jest absolutnie nieredukowalna.
• Reprezentacja grupy kołowej przez obroty w płaszczyźnie jest nieredukowalna (na polu liczb rzeczywistych), ale nie jest absolutnie nieredukowalna. Po rozszerzeniu pola na liczby zespolone dzieli się ono na dwie nieredukowalne składowe. Należy się tego spodziewać, ponieważ grupa kołowa jest przemienna i wiadomo, że wszystkie nieredukowalne reprezentacje grup przemiennych na polu algebraicznie zamkniętym są jednowymiarowe.
• Rzeczywista rozmaitość algebraiczna określona przez równanie

${\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}$

jest absolutnie nieredukowalny. Jest to zwykły okrąg nad liczbami rzeczywistymi i pozostaje nieredukowalnym przekrojem stożkowym nad polem liczb zespolonych. Absolutna nieredukowalność, bardziej ogólnie, dotyczy każdego pola, które nie ma charakterystycznych . W charakterystyce drugiej równanie jest równoważne ( x + y −1) ² = 0. Zatem definiuje linię podwójną x + y = 1, która jest schematem nieredukowanym .

$algebraiczna$

• dana

absolutnie

Rzeczywiście, lewą stronę można rozłożyć jako

${\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = (x + yi) ( x-yi)}$ gdzie ${\ displaystyle i}$ jest pierwiastkiem kwadratowym z -1.

Dlatego ta rozmaitość algebraiczna składa się z dwóch prostych przecinających się w początku i nie jest absolutnie nieredukowalna. Odnosi się to albo już do pola podstawowego, jeśli −1 jest kwadratem, albo do kwadratowego rozszerzenia uzyskanego przez sąsiednie i .