Cienkie komplety (Serre)

W matematyce cienki zbiór w sensie Serre'a , nazwany na cześć Jean-Pierre'a Serre'a , jest pewnym rodzajem podzbioru skonstruowanego w geometrii algebraicznej na danym polu K za pomocą dozwolonych operacji, które są w pewnym sensie „mało prawdopodobne”. Dwa podstawowe to: rozwiązanie równania wielomianowego, które może, ale nie musi; rozwiązywanie w obrębie K wielomianu, który nie zawsze rozkłada się na czynniki. Można również przyjmować skończone związki.

Sformułowanie

Dokładniej, niech V będzie rozmaitością algebraiczną nad K (założenia są tutaj następujące: V jest zbiorem nieredukowalnym , rozmaitością quasi-rzutową , a K ma charakterystyczne zero ). Zbiór cienki typu I jest podzbiorem V ( K ), który nie jest gęsty Zariskiego . Oznacza to, że leży w zbiorze algebraicznym , który jest skończoną sumą odmian algebraicznych o wymiarze mniejszym niż d , wymiar V. _ _ Cienki zbiór typu II jest obrazem morfizmu algebraicznego (zasadniczo mapowania wielomianowego) φ, zastosowanego do punktów K jakiejś innej d -wymiarowej rozmaitości algebraicznej V ′, która odwzorowuje zasadniczo V jako rozgałęzione pokrycie ze stopniem e > 1. Mówiąc bardziej technicznie, cienki zbiór typu II to dowolny podzbiór

φ( V ′( K ))

gdzie V ′ spełnia te same założenia co V , a φ jest ogólnie suriekcją z punktu widzenia geometra. Na poziomie pól funkcyjnych mamy zatem

[ K. ( V ): K. ( V ′)] = mi > 1.

Podczas gdy typowym punktem v z V jest φ( u ) z u w V ′ , z v leżącego w K ( V ) możemy typowo wywnioskować tylko, że współrzędne u pochodzą z rozwiązania równania stopnia e nad K . Cały cel teorii cienkich zbiorów polega więc na zrozumieniu, że omawiana rozpuszczalność jest zjawiskiem rzadkim. To przeformułowuje w bardziej geometryczny sposób klasyczne twierdzenie Hilberta o nieredukowalności .

cienki zbiór jest podzbiorem skończonej sumy cienkich zbiorów typu I i II.

Cienka terminologia może być uzasadniona faktem, że jeśli A jest cienkim podzbiorem linii nad Q , to liczba punktów A o wysokości co najwyżej H wynosi ≪ H : liczba całkowitych punktów o wysokości co najwyżej H wynosi ${\ Displaystyle O \ lewo ({H ^ {1/2}} \ prawej)}$ i ten wynik jest najlepszy z możliwych.

Wynik SD Cohena, oparty na metodzie dużego sita , rozszerza ten wynik, licząc punkty według funkcji wysokości i pokazując w mocnym sensie, że cienki zbiór zawiera ich niewielką część (jest to szczegółowo omówione w Wykładach Serre'a na twierdzenie Mordella-Weila ). Niech A będzie zbiorem cienkim w n -przestrzeni afinicznej nad Q i niech N ( H ) oznacza liczbę punktów całkowitych o wysokości naiwnej co najwyżej H . Następnie

{\ Displaystyle N (H) = O \ lewo ({H ^ {n-1/2} \ log H} \ prawo).}

pola Hilberta

Rozmaitość Hilberta V nad K to taka , dla której V ( K ) nie jest cienkie: jest to biational niezmiennik V . Hilbertowskie pole K to takie, dla którego istnieje Hilbertowska odmiana o dodatnim wymiarze nad K : termin ten został wprowadzony przez Langa w 1962 r. Jeśli K jest Hilbertowskie, to linia rzutowa nad K jest Hilbertowska, więc można to przyjąć jako definicję.

Pole liczb wymiernych Q jest Hilbertowskie, ponieważ z twierdzenia Hilberta o nieredukowalności wynika, że linia rzutowa na Q jest Hilbertowska: w istocie każde algebraiczne pole liczbowe jest Hilbertowskie, ponownie na mocy twierdzenia Hilberta o nieredukowalności. Mówiąc bardziej ogólnie, rozszerzenie pola Hilberta o skończonym stopniu jest Hilbertowskie, a każde skończenie generowane nieskończone pole jest Hilbertowskie.

Istnieje kilka wyników dotyczących kryteriów trwałości pól Hilberta. Warto zauważyć, że Hilbertianowość jest zachowana pod skończonymi, rozdzielnymi rozszerzeniami i rozszerzeniami abelowymi. Jeśli N jest rozszerzeniem Galois pola Hilberta, to chociaż N nie musi być samym Hilbertem, wyniki Weissauera potwierdzają, że każde właściwe skończone rozszerzenie N jest Hilberta. Najbardziej ogólnym wynikiem w tym kierunku jest twierdzenie Harana o diamentach . Dyskusja na temat tych i innych wyników pojawia się w książce Fried-Jarden's Field Arithmetic .

Bycie Hilbertowskim jest na drugim końcu skali od bycia algebraicznie domkniętym : na przykład liczby zespolone mają wszystkie zbiory cienkie. Oni, wraz z innymi polami lokalnymi ( liczby rzeczywiste , liczby p-adyczne ) nie są Hilbertowskie.

majątek WWA

Własność WWA (słabe 'słabe przybliżenie', sic ) dla rozmaitości V nad polem liczbowym jest słabym przybliżeniem (por. przybliżenie w grupach algebraicznych ), dla skończonych zbiorów miejsc K unikając pewnego zbioru skończonego. Weźmy na przykład K = Q : wymagane jest, aby V ( Q ) było gęste

Π V ( Q _p )

dla wszystkich iloczynów na skończonych zbiorach liczb pierwszych p , nie wliczając żadnego zbioru { p ₁ , ..., p _M } danego raz na zawsze. Ekedahl udowodnił, że WWA dla V implikuje , że V jest Hilbertowskie. W rzeczywistości Colliot-Thélène przypuszcza, że WWA odnosi się do każdej niewymiernej różnorodności , co jest zatem mocniejszym stwierdzeniem. Przypuszczenie to sugerowałoby pozytywną odpowiedź na odwrotny problem Galois .

Smażone, Michael D .; Jarden, Mosze (2008). Arytmetyka pola . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. Tom. 11 (3. poprawione wydanie). Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-77269-9 . Zbl 1145.12001 .
Lang, Serge (1997). Przegląd geometrii diofantycznej . Springer-Verlag . ISBN 3-540-61223-8 . Zbl 0869.11051 .
Serre, Jean-Pierre (1989). Wykłady z twierdzenia Mordella-Weila . Aspekty matematyki. Tom. E15. Przetłumaczone i zredagowane przez Martina Browna na podstawie notatek Michela Waldschmidta. Brunszwik itp.: Friedr. Vieweg & Sohn. Zbl 0676.14005 .
Serre, Jean-Pierre (1992). Tematy w teorii Galois . Notatki badawcze z matematyki . Tom. 1. Jones i Bartlett. ISBN 0-86720-210-6 . Zbl 0746.12001 .
Schinzel, Andrzej (2000). Wielomiany ze szczególnym uwzględnieniem redukowalności . Encyklopedia matematyki i jej zastosowań . Tom. 77. Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-66225-7 . Zbl 0956.12001 .