Diamentowe twierdzenie Harana
W matematyce twierdzenie o diamentach Harana daje ogólny warunek wystarczający, aby rozdzielne rozszerzenie pola Hilberta było Hilbertowskie.
Stwierdzenie twierdzenia diamentowego
Niech K będzie polem Hilberta , a L rozdzielnym przedłużeniem K . Załóżmy, że istnieją dwa rozszerzenia Galois N i M z K takie, że L jest zawarte w compositum NM , ale nie jest zawarte ani w N , ani w M . Wtedy L jest Hilbertowskie.
Nazwa twierdzenia pochodzi od przedstawionego diagramu pól i została ukuta przez Jardena.
Niektóre wnioski
Twierdzenie Weissauera
Twierdzenie to zostało po raz pierwszy udowodnione metodami niestandardowymi przez Weissauera. Zostało to skarcone przez Frieda przy użyciu standardowych metod. Ten ostatni dowód doprowadził Harana do jego twierdzenia o diamentach.
- Twierdzenie Weissauera
Niech K będzie ciałem Hilberta, N rozszerzeniem Galois K , a L skończonym właściwym rozszerzeniem N . Wtedy L jest Hilbertowskie.
- Dowód za pomocą twierdzenia o diamentach
Jeśli L jest skończone na K , to jest Hilbertowskie; stąd zakładamy, że L/K jest nieskończone. Niech x będzie elementem pierwotnym dla L/N , tj. L = N ( x ).
Niech M będzie domknięciem Galois K ( x ). Wtedy wszystkie założenia twierdzenia diamentowego są spełnione, stąd L jest Hilbertowskie.
Stan Harana-Jardena
Inny, poprzedzający twierdzenie o diamentie, warunek wystarczającej trwałości podał Haran-Jarden: Theorem. Niech K będzie polem Hilberta, a N , M dwoma rozszerzeniami Galois K . Załóżmy, że żadne nie zawiera drugiego. Wtedy ich compositum NM jest Hilbertowskie.
To twierdzenie ma bardzo ładną konsekwencję: ponieważ ciało liczb wymiernych Q jest Hilbertowskie ( twierdzenie Hilberta o nieredukowalności ), otrzymujemy, że algebraiczne domknięcie Q nie jest złożonym z dwóch właściwych rozszerzeń Galois.
- Haran, Dan (1999), „Pola Hilberta pod rozłącznymi rozszerzeniami algebraicznymi”, Inventiones Mathematicae , 137 (1): 113–126, doi : 10.1007 / s002220050325 , MR 1702139 , Zbl 0933.12003 .
- Smażone, Michael D .; Jarden, Moshe (2008), Field Arithmetic , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3 Folge, tom. 11 (wydanie trzecie poprawione), Berlin: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-77269-9 , MR 2445111 , Zbl 1145.12001 .