Produkt objęty ograniczeniami

W matematyce iloczyn ograniczony jest konstrukcją w teorii grup topologicznych .

Niech ${\ displaystyle I}$ będzie zbiorem indeksów ; $}$ ${\ displaystyle I}$ S skończony podzbiór ja . sol ${\ displaystyle G_ {i}}$ jest lokalnie zwartą grupą dla każdego ${\ displaystyle i \ in ja}$ K $\ displaystyle K_ {i} \ podzbiór G_ {i}}$ jest otwartą zwartą podgrupą dla każdego ${\ Displaystyle i \ w I \ setminus S}$ , a następnie produkt objęty ograniczeniami

{\ Displaystyle \ prod _ {i} \ nolimits 'G_ {i} \,}

jest podzbiorem iloczynu $”$ składającego się ze wszystkich elementów ${\ Displaystyle (g_ {i}) _ {i \ in I}}$ taki, że ${\ Displaystyle g_ {i} \ w K_ {i}}$ dla wszystkich oprócz skończonej liczby ${\ Displaystyle i \ w I \ setminus S}$ .

Ta grupa ma nadaną topologię , której podstawą zbiorów otwartych są formy

{\ Displaystyle \ prod _ {i} A_ {i} \,,}

gdzie jest otwarty w $\$ $displaystyle G_ {i}}$ i dla wszystkich oprócz skończenie wielu $\displaystyle i}$ $}$ $}$ .

Można łatwo udowodnić, że produkt podlegający ograniczeniom sam w sobie jest lokalnie zwartą grupą. Najbardziej znanym przykładem tej konstrukcji jest pierścień adele i grupa idele z globalnego pola .

Zobacz też

Suma bezpośrednia

Fröhlich, A.; Cassels, JW (1967), algebraiczna teoria liczb , Boston, MA: Academic Press , ISBN 978-0-12-163251-9
Neukirch, Jürgen (1999). Algebraische Zahlenteorie . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . Tom. 322. Berlin: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8 . MR 1697859 . Zbl 0956.11021 .