Użyteczność kardynalna

Prosty przykład dwóch kardynalnych funkcji użyteczności u (pierwsza kolumna) i v (druga kolumna), których wartości we wszystkich okolicznościach są powiązane przez

v = 2 u +3

W ekonomii kardynalna funkcja lub skala użyteczności jest wskaźnikiem użyteczności, który zachowuje uporządkowanie preferencji w sposób unikalny aż do dodatnich przekształceń afinicznych . Dwa indeksy $u$ przez transformację afiniczną, jeśli dla wartości jednego indeksu występującej przy dowolnej ilości $}}$ oceniany pakiet towarów, odpowiednia wartość drugiego indeksu v spełnia zależność postaci ${\ displaystyle v (x_ {i})}$

{\ Displaystyle v (x_ {i}) = au (x_ {i}) + b \!

}

dla stałych stałych a i b . Zatem same funkcje użyteczności są powiązane przez

{\ Displaystyle v (x) = au (x) + b.}

Oba indeksy różnią się jedynie skalą i pochodzeniem. Tak więc, jeśli jeden jest wklęsły, drugi też jest wklęsły, w którym to przypadku często mówi się o malejącej użyteczności krańcowej .

Zatem użycie użyteczności kardynalnej narzuca założenie, że istnieją poziomy absolutnej satysfakcji, tak że wielkości przyrostów satysfakcji można porównać w różnych sytuacjach.

W teorii wyboru konsumenta preferowana jest użyteczność porządkowa z jej słabszymi założeniami, ponieważ można uzyskać równie mocne wyniki. Użyteczność kardynalna pokazuje, że jednostkę, którą konsumujemy, można mierzyć liczbami. Jest to mniej praktyczna forma pomiaru satysfakcji w porównaniu z użytecznością porządkową.

Historia

W 1738 roku Daniel Bernoulli jako pierwszy teoretyzował na temat krańcowej wartości pieniądza. Przyjął, że wartość dodatkowej kwoty jest odwrotnie proporcjonalna do posiadanych już środków pieniężnych. Ponieważ Bernoulli milcząco założył, że można odkryć interpersonalną miarę reakcji użyteczności różnych osób, nieumyślnie zastosował wczesną koncepcję liczności.

logarytmiczna funkcja użyteczności Bernoulliego i funkcja $U = W 1/2$ Gabriela Cramera zostały wówczas wymyślone nie dla teorii popytu, ale w celu rozwiązania gry petersburskiej . Bernoulli założył, że „biedny człowiek na ogół uzyskuje większą użyteczność niż bogaty człowiek z równego zysku”, podejście, które jest głębsze niż proste matematyczne oczekiwanie pieniędzy, ponieważ obejmuje prawo oczekiwań moralnych .

Wcześni teoretycy użyteczności uważali, że ma ona fizycznie wymierne atrybuty. Myśleli, że użyteczność zachowuje się jak wielkości odległości lub czasu, w których proste użycie linijki lub stopera prowadzi do rozróżnialnej miary. „Utils” to nazwa faktycznie nadana jednostkom w skali użyteczności.

W epoce wiktoriańskiej wiele aspektów życia ulegało kwantyfikacjom. Teorię użyteczności wkrótce zaczęto stosować w dyskusjach moralno-filozoficznych. Podstawową ideą utylitaryzmu jest ocenianie decyzji ludzi poprzez przyglądanie się ich zmianom w użyteczności i mierzenie, czy są w lepszej sytuacji. Głównym prekursorem zasad utylitaryzmu od końca XVIII wieku był Jeremy Bentham , który uważał, że użyteczność można mierzyć za pomocą złożonego badania introspektywnego i że powinna ona kierować projektowaniem polityki społecznej i praw. Dla Benthama skala przyjemności ma jako jednostkę intensywności „stopień intensywności tej przyjemności, która jest najsłabsza ze wszystkich, które można odróżnić jako przyjemność”; stwierdził również, że w miarę jak intensywność tych przyjemności wzrasta, coraz wyższe liczby mogą je reprezentować. W XVIII i XIX wieku mierzalność użyteczności cieszyła się dużym zainteresowaniem europejskich szkół ekonomii politycznej, przede wszystkim dzięki pracom marginalistów (np. Williama Stanleya Jevonsa , Léona Walrasa , Alfreda Marshalla ). Jednak żaden z nich nie przedstawił solidnych argumentów na poparcie założenia o wymierności. W przypadku Jevona dodał do późniejszych wydań swojej pracy wzmiankę o trudnościach w dokładnym oszacowaniu użyteczności. Walras również walczył przez wiele lat, zanim mógł nawet spróbować sformalizować założenie o wymierności. Marshall był niejednoznaczny co do wymierności hedonizmu, ponieważ trzymał się jego psychologiczno-hedonistycznych właściwości, ale argumentował również, że jest to „nierealistyczne”.

Zwolennicy teorii użyteczności kardynalnej w XIX wieku sugerowali, że ceny rynkowe odzwierciedlają użyteczność, chociaż niewiele mówili o ich zgodności (tzn. o tym, że ceny są obiektywne, a użyteczność subiektywna). Dokładny pomiar subiektywnej przyjemności (lub bólu ) wydawał się niezręczny, czego z pewnością byli świadomi ówcześni myśliciele. Zmienili nazwę użyteczności na wymyślne sposoby, takie jak subiektywne bogactwo , ogólne szczęście , wartość moralna , satysfakcja psychiczna lub ophélimité . W drugiej połowie XIX wieku przeprowadzono wiele badań związanych z tą fikcyjną wielkością – użytecznością – ale konkluzja była zawsze taka sama: okazywało się, że nie można definitywnie stwierdzić, czy dobro jest warte 50, 75 czy 125 utylów dla człowieka. lub dwóm różnym osobom. Co więcej, sama zależność użyteczności od pojęć hedonizmu skłoniła środowiska akademickie do sceptycyzmu wobec tej teorii.

Francis Edgeworth był również świadomy potrzeby osadzenia teorii użyteczności w realnym świecie. Omówił ilościowe oszacowania, jakie dana osoba może dokonać na temat własnej przyjemności lub przyjemności innych, zapożyczając metody opracowane w psychologii do badania pomiarów hedonicznych: psychofizyka . Ta dziedzina psychologii została zbudowana na pracy Ernsta H. Webera , ale w okresie I wojny światowej psychologowie się do niej zniechęcili.

Pod koniec XIX wieku Carl Menger i jego zwolennicy z austriackiej szkoły ekonomii podjęli pierwsze udane odejście od mierzalnej użyteczności w sprytnej formie teorii uszeregowanych zastosowań. Pomimo porzucenia myśli o wymiernej użyteczności (tj. psychologicznej satysfakcji odwzorowywanej na zbiór liczb rzeczywistych) Mengerowi udało się ustalić zestaw hipotez dotyczących podejmowania decyzji, opierając się wyłącznie na kilku aksjomatach uszeregowanych preferencji dotyczących możliwych zastosowań dóbr i usług. Jego przykłady liczbowe „ilustrują związki porządkowe, a nie kardynalne”.

Mniej więcej na przełomie XIX i XX wieku ekonomiści neoklasyczni zaczęli przyjmować alternatywne sposoby radzenia sobie z kwestią wymierności. Do 1900 roku Pareto wahał się przed dokładnym pomiarem przyjemności lub bólu, ponieważ uważał, że taka subiektywna wielkość, którą sami zgłaszali, nie ma naukowej ważności. Chciał znaleźć alternatywny sposób traktowania użyteczności, który nie opierałby się na błędnej percepcji zmysłów. Głównym wkładem Pareto do użyteczności porządkowej było założenie, że wyższe krzywe obojętności mają większą użyteczność, ale nie trzeba określać, o ile większa, aby otrzymać wynik rosnących krańcowych stóp substytucji.

Prace i podręczniki Vilfredo Pareto, Francisa Edgewortha, Irvinga Fischera i Eugene'a Słuckiego odeszły od kardynalnej użyteczności i posłużyły jako punkty odniesienia dla innych, którzy kontynuowali trend na zwyczajność. Według Vinera ci myśliciele ekonomiczni wymyślili teorię wyjaśniającą ujemne nachylenie krzywych popytu. Ich metoda uniknęła wymierności użyteczności, konstruując abstrakcyjną mapę krzywej obojętności .

W ciągu pierwszych trzech dekad XX wieku ekonomiści z Włoch i Rosji zapoznali się z Paretowską ideą, że użyteczność nie musi być kardynalna. Według Schultza, do 1931 r. idea użyteczności porządkowej nie została jeszcze przyjęta przez amerykańskich ekonomistów. John Hicks i Roy Allen opracowali teorię użyteczności porządkowej w 1934 r. W rzeczywistości strony 54–55 tego artykułu zawierają pierwsze użycie terminu „użyteczność kardynalna”. Pierwszego potraktowania klasy funkcji użyteczności zachowanych przez przekształcenia afiniczne dokonał jednak w 1934 roku Oskar Lange.

W 1944 roku Frank Knight szeroko opowiadał się za użytecznością kardynalną. W dekadzie 1960 roku Parducci badał ludzkie oceny wielkości i zaproponował teorię zakresu częstotliwości. Od końca XX wieku ekonomiści ponownie interesują się kwestiami pomiaru szczęścia . Ta dziedzina rozwija metody, ankiety i wskaźniki do pomiaru szczęścia.

Kilka właściwości kardynalnych funkcji użyteczności można wyprowadzić za pomocą narzędzi z teorii miary i teorii mnogości .

Wymierność

Funkcję użyteczności uważa się za mierzalną, jeśli siła preferencji lub intensywność upodobania do dobra lub usługi jest określona precyzyjnie za pomocą obiektywnych kryteriów. Załóżmy na przykład, że zjedzenie jabłka daje człowiekowi dokładnie połowę przyjemności, jaką daje jedzenie pomarańczy. Byłaby to wymierna użyteczność wtedy i tylko wtedy, gdyby test zastosowany do jej bezpośredniego pomiaru opierał się na obiektywnym kryterium, które pozwoliłoby każdemu zewnętrznemu obserwatorowi dokładnie powtórzyć wyniki. Jednym z hipotetycznych sposobów osiągnięcia tego celu byłoby użycie hedonometru , który był narzędziem sugerowanym przez Edgewortha jako zdolny do rejestrowania wysokości przyjemności doświadczanej przez ludzi, rozbieżnej zgodnie z prawem błędów.

Przed latami trzydziestymi XX wieku ekonomiści błędnie określali mierzalność funkcji użyteczności jako liczność. Inne znaczenie liczności stosowali ekonomiści podążający za sformułowaniem Hicksa-Allena. W tym zastosowaniu liczność funkcji użyteczności jest po prostu matematyczną właściwością niepowtarzalności aż do transformacji liniowej. Pod koniec lat czterdziestych niektórzy ekonomiści pospiesznie argumentowali, że aksjomatyzacja oczekiwanej użyteczności von Neumanna-Morgensterna przywróciła mierzalność.

Zamieszanie między licznością a mierzalnością zostało rozwiązane dopiero w pracach Armena Alchiana , Williama Baumola i Johna Chipmana. Tytuł artykułu Baumola „Kardynalna użyteczność, która jest porządkowa” dobrze oddawał semantyczny bałagan ówczesnej literatury.

Pomocne jest rozważenie tego samego problemu, jaki pojawia się przy konstruowaniu skal miar w naukach przyrodniczych. W przypadku temperatury są dwa stopnie swobody jej pomiaru - wybór jednostki i zero. Różne skale temperatur odwzorowują jego intensywność na różne sposoby. W skali celsjusza zero jest wybrane jako punkt, w którym woda zamarza, i podobnie w teorii użyteczności kardynalnej można by pokusić się o myślenie, że wybór zera odpowiada towarowi lub usłudze, które przynoszą dokładnie 0 utils. Jednak niekoniecznie jest to prawdą. Indeks matematyczny pozostaje kardynalny, nawet jeśli zero zostanie arbitralnie przesunięte do innego punktu, lub jeśli zmieni się wybór skali, lub jeśli zmieni się zarówno skala, jak i zero. Każdy mierzalny byt odwzorowuje się na funkcję kardynalną, ale nie każda funkcja kardynalna jest wynikiem odwzorowania mierzalnego bytu. Sens tego przykładu został wykorzystany do wykazania, że (podobnie jak w przypadku temperatury) nadal można coś przewidzieć na temat kombinacji dwóch wartości jakiejś funkcji użyteczności, nawet jeśli utils zostaną przekształcone w zupełnie inne liczby, o ile pozostaje ona transformacja liniowa.

Von Neumann i Morgenstern stwierdzili, że kwestia mierzalności wielkości fizycznych jest dynamiczna. Na przykład temperatura była pierwotnie liczbą tylko do dowolnej transformacji monotonicznej, ale rozwój termometrii gazu doskonałego doprowadził do przemian, w których brakowało zera absolutnego i jednostki absolutnej. Późniejszy rozwój termodynamiki ustalił nawet zero absolutne, tak że system transformacji w termodynamice składa się tylko z mnożenia przez stałe. Według Von Neumanna i Morgensterna (1944, s. 23) „Pod względem użyteczności sytuacja wydaje się mieć podobny charakter [do temperatury]”.

Poniższy cytat Alchiana posłużył do wyjaśnienia raz na zawsze ^{[ potrzebne źródło ]} prawdziwej natury funkcji użyteczności, podkreślając, że nie muszą one już być mierzalne:

Czy możemy przypisać zbiór liczb (miar) różnym podmiotom i przewidzieć, że zostanie wybrany podmiot z największą przypisaną liczbą (miarą)? Jeśli tak, moglibyśmy ochrzcić tę miarę „użytecznością”, a następnie twierdzić, że wyborów dokonuje się tak, aby maksymalizować użyteczność. Jest to łatwy krok do stwierdzenia, że „maksymalizujesz swoją użyteczność”, które nie mówi nic więcej poza tym, że twój wybór jest przewidywalny w zależności od wielkości niektórych przypisanych liczb. Dla wygody analitycznej przyjęło się postulować, że jednostka dąży do maksymalizacji czegoś podlegającego pewnym ograniczeniom. Rzecz – lub numeryczna miara „rzeczy” – którą stara się zmaksymalizować, nazywa się „użytecznością”. To, czy użyteczność jest jakimś blaskiem, ciepłem czy szczęściem, nie ma tutaj znaczenia; liczy się tylko to, że możemy przypisać numery bytom lub warunkom, do których realizacji dana osoba może dążyć. Wtedy mówimy, że jednostka stara się zmaksymalizować jakąś funkcję tych liczb. Niestety, termin „użyteczność” nabrał już tak wielu konotacji, że trudno sobie uświadomić, że dla obecnych celów użyteczność nie ma większego znaczenia.

— Armen Alchian , Znaczenie pomiaru użyteczności

Kolejność preferencji

W 1955 roku Patrick Suppes i Muriel Winet rozwiązali kwestię reprezentowalności preferencji przez kardynalną funkcję użyteczności i wyprowadzili zestaw aksjomatów i prymitywnych cech wymaganych do działania tego wskaźnika użyteczności.

Załóżmy, że agent jest proszony o uszeregowanie swoich preferencji $A w stosunku do oraz$ B swoich preferencji $B w stosunku do C.$ Jeśli stwierdzi, że może na przykład stwierdzić, że jego stopień preferencji $A względem B$ przewyższa stopień preferencji $B względem C$ , możemy podsumować tę informację za pomocą dowolnej trójki liczb spełniających dwie nierówności: $U A > U B > U do$ i $U ZA - U b > U b - U do$ .

Gdyby $A$ i $B$ były sumami pieniędzy, agent mógłby zmieniać sumę pieniędzy reprezentowaną przez $B$ , aż mógłby nam powiedzieć, że jego stopień preferencji $A$ względem skorygowanej kwoty $B'$ jest równy jego stopniowi preferencji $B'$ względem $C.$ _ Jeśli znajdzie takie $B'$ , to wynik tej ostatniej operacji byłby wyrażony przez dowolną trójkę liczb spełniających zależności: (a) $U A > U B' > U C$ , oraz (b) $U A - U B'$ = $U B' - U do$ . Dowolne dwie trójki spełniające te zależności muszą być powiązane przez transformację liniową; reprezentują one wskaźniki użyteczności różniące się jedynie skalą i pochodzeniem. W tym przypadku „liczność” oznacza nic innego jak możliwość udzielenia spójnych odpowiedzi na te konkretne pytania. Zauważ, że ten eksperyment nie wymaga wymierności użyteczności. Itzhak Gilboa daje solidne wyjaśnienie, dlaczego mierzalność nigdy nie może być osiągnięta wyłącznie poprzez introspekcję :

Mogło ci się zdarzyć, że niosłeś stos papierów lub ubrań i nie zauważyłeś, że kilka z nich upuściło. Zmniejszenie całkowitej wagi, którą nosiłeś, prawdopodobnie nie było wystarczająco duże, abyś mógł to zauważyć. Dwa przedmioty mogą być zbyt blisko siebie pod względem wagi, abyśmy mogli zauważyć różnicę między nimi. Ten problem jest wspólny dla percepcji wszystkimi naszymi zmysłami. Jeśli zapytam, czy dwie wędki są tej samej długości, czy nie, różnice będą zbyt małe, abyś mógł je zauważyć. To samo odnosi się do postrzegania dźwięku (głośność, wysokość), światła, temperatury i tak dalej…

— Itzhak Gilboa, Teoria decyzji w warunkach niepewności

Zgodnie z tym poglądem sytuacje, w których dana osoba po prostu nie potrafi odróżnić $A$ od $B$ , doprowadzą do obojętności nie z powodu spójności preferencji, ale z powodu błędnego postrzegania zmysłów. Co więcej, ludzkie zmysły dostosowują się do danego poziomu stymulacji, a następnie rejestrują zmiany od tej wartości wyjściowej.

Budowa

Załóżmy, że pewien agent ma preferencje dotyczące losowych wyników (loterie). Jeśli agenta można zapytać o jego preferencje, możliwe jest skonstruowanie kardynalnej funkcji użyteczności, która reprezentuje te preferencje. To jest rdzeń twierdzenia o użyteczności Von Neumanna – Morgensterna .

Konstrukcja kardynalnych funkcji użyteczności z danych kardynalnych i porządkowych

Matematyczne podstawy najpowszechniejszych typów funkcji użyteczności — kwadratowych i addytywnych — określone przez Gérarda Debreu umożliwiły Andranikowi Tangianowi opracowanie metod ich konstrukcji z danych porządkowych. W szczególności addytywne i kwadratowe funkcje użyteczności w $można$ skonstruować na podstawie wywiadów z decydentami, w których pytania mają na celu całkowite prześledzenie $\ displaystyle n -1}$ obojętności 2D w $n$ płaszczyzny współrzędnych — aw przypadku użyteczności kwadratowej dodatkowo określenie jednego punktu obojętności w każdej innej płaszczyźnie współrzędnych. W razie potrzeby decydenci mogą również uwzględnić oszacowania użyteczności kardynalnej, czyniąc to podejście uniwersalnym zarówno w odniesieniu do użyteczności kardynalnej, jak i porządkowej.

Aplikacje

Ekonomia dobrobytu

Wśród ekonomistów dobrobytu ze szkoły utylitarystów istnieje ogólna tendencja do przyjmowania satysfakcji (w niektórych przypadkach przyjemności) jako jednostki dobrobytu. Jeśli funkcją ekonomii dobrobytu jest dostarczanie danych, które posłużą filozofowi społecznemu lub mężowi stanu przy formułowaniu sądów dotyczących dobrobytu, to ta tendencja może prowadzić do etyki hedonistycznej.

Zgodnie z tymi ramami działania (w tym produkcja towarów i świadczenie usług) są oceniane na podstawie ich wkładu w subiektywne bogactwo ludzi. Innymi słowy, zapewnia sposób oceny „największego dobra dla jak największej liczby osób”. Czyn, który zmniejsza użyteczność jednej osoby o 75 utils, podczas gdy dwóch innych zwiększa użyteczność o 50 utils, zwiększył ogólną użyteczność o 25 utils, a zatem jest pozytywnym wkładem; taki, który kosztuje pierwszą osobę 125 narzędzi, podczas gdy daje te same 50 narzędzi dwóm innym osobom, spowodował stratę netto w wysokości 25 narzędzi.

Jeśli klasa funkcji użyteczności jest kardynalna, dozwolone są intrapersonalne porównania różnic użyteczności. Jeśli ponadto niektóre porównania użyteczności mają znaczenie międzyludzkie, przekształcenia liniowe użyte do wytworzenia klasy funkcji użyteczności muszą być ograniczone między ludźmi. Przykładem jest porównywalność jednostek kardynalnych. W tym środowisku informacyjnym dopuszczalne przekształcenia to rosnące funkcje afiniczne, a ponadto współczynnik skalowania musi być taki sam dla wszystkich. To założenie informacyjne pozwala na interpersonalne porównania różnic użyteczności, ale poziomów użyteczności nie można porównywać interpersonalnie, ponieważ punkt przecięcia przekształceń afinicznych może różnić się u różnych ludzi.

Marginalizm

Zgodnie z teorią użyteczności kardynalnej znak użyteczności krańcowej dobra jest taki sam dla wszystkich liczbowych reprezentacji określonej struktury preferencji.
Wielkość użyteczności krańcowej nie jest taka sama dla wszystkich kardynalnych wskaźników użyteczności reprezentujących tę samą specyficzną strukturę preferencji.
Znak drugiej pochodnej różniczkowalnej funkcji użyteczności, czyli kardynał, jest taki sam dla wszystkich liczbowych reprezentacji danej struktury preferencji . Biorąc pod uwagę, że jest to zwykle znak ujemny, w teorii użyteczności kardynalnej jest miejsce na prawo malejącej użyteczności krańcowej.
Wielkość drugiej pochodnej różniczkowalnej funkcji użyteczności nie jest taka sama dla wszystkich kardynalnych wskaźników użyteczności reprezentujących tę samą specyficzną strukturę preferencji .

Teoria oczekiwanej użyteczności

Ten typ indeksów obejmuje wybory obarczone ryzykiem. W tym przypadku $A, B$ i $C$ to loterie powiązane z wynikami. W przeciwieństwie do teorii użyteczności kardynalnej w warunkach pewności, w której możliwość przejścia od preferencji do użyteczności ilościowej była prawie trywialna, tutaj najważniejsza jest możliwość odwzorowania preferencji na zbiór liczb rzeczywistych, tak aby można było wykonać operację matematycznego oczekiwania. Po zakończeniu mapowania wprowadzenie dodatkowych założeń skutkowałoby konsekwentnym zachowaniem ludzi w zakresie uczciwych zakładów. Ale uczciwe zakłady są z definicji wynikiem porównania zakładu o oczekiwanej wartości zerowej z innym zakładem. Chociaż niemożliwe jest modelowanie postaw wobec ryzyka, jeśli nie skwantyfikuje się użyteczności, teorii nie należy interpretować jako pomiaru siły preferencji w warunkach pewności.

Konstrukcja funkcji użyteczności

Załóżmy, że pewne wyniki są powiązane z trzema stanami natury, tak że x ₃ jest preferowane w stosunku do x ₂ , które z kolei jest preferowane w stosunku do x ₁ ; można założyć, że ten zestaw wyników, $X$ , jest wymierną nagrodą pieniężną w kontrolowanej grze losowej, unikalną do jednego dodatniego współczynnika proporcjonalności w zależności od jednostki walutowej.

Niech $L 1$ i $L 2$ będą dwiema loteriami z prawdopodobieństwami p ₁ , p ₂ i p ₃ odpowiednio x ₁ , x ₂ i x ₃

{\ Displaystyle L_ {1} = (0,6,0,0,4)}

{\ Displaystyle L_ {2} = (0,1,0) \ .}

Załóżmy, że ktoś ma narażoną na ryzyko następującą strukturę preferencji:

{\ Displaystyle L_ {1} \ succ L_ {2},}

co oznacza, że $L1 jest$ korzystniejszy $niż L2$ . Modyfikując wartości $p 1$ i $p 3$ w $L 1$ , w końcu pojawią się odpowiednie wartości ( $L 1'$ ), dla których okaże się, że jest ona obojętna między nią a $L 2$ — na przykład

{\ Displaystyle L_ {1} '= (0,5,0,0,5).}

Mówi nam o tym teoria oczekiwanej użyteczności

{\ Displaystyle UE (L_ {1}') = UE (L_ {2})}

a więc

{\ Displaystyle (0,5) \ razy u (x_ {1}) + (0,5) \ razy u (x_ {3}) = 1 \ razy u (x_ {2}).}

W tym przykładzie z Majumdar ustalając zerową wartość indeksu użyteczności tak, że użyteczność $x 1$ wynosi 0, i wybierając skalę tak, aby użyteczność $x 2$ była równa 1, daje

{\ Displaystyle (0,5) \ razy u (x_ {3}) = 1.}

{\ Displaystyle u (x_ {3}) = 2.}

Użyteczność międzyokresowa

Modele użyteczności z kilkoma okresami, w których ludzie dyskontują przyszłe wartości użyteczności, muszą stosować kardynalizm, aby mieć dobrze zachowane funkcje użyteczności. Według Paula Samuelsona maksymalizacja zdyskontowanej sumy przyszłych użyteczności implikuje, że dana osoba może uszeregować różnice użyteczności.

Kontrowersje

Niektórzy autorzy komentowali mylący charakter terminów „użyteczność kardynalna” i „użyteczność porządkowa”, używanych w żargonie ekonomicznym:

Terminy te, które, jak się wydaje, zostały wprowadzone przez Hicksa i Allena (1934), mają niewielki, jeśli w ogóle, związek z matematyczną koncepcją liczb porządkowych i kardynalnych; są raczej eufemizmami dla pojęć homomorfizmu porządku do liczb rzeczywistych i homomorfizmu grup do liczb rzeczywistych.

— John Chipman, Podstawy użyteczności

Pozostają ekonomiści, którzy wierzą, że użyteczność, jeśli nie można jej zmierzyć, można przynajmniej w pewnym stopniu przybliżyć, aby zapewnić jakąś formę pomiaru, podobnie jak ceny, które nie mają jednolitej jednostki zapewniającej rzeczywisty poziom cen, nadal mogą być indeksowane, aby zapewnić „stopa inflacji” (która w rzeczywistości jest poziomem zmiany cen ważonych produktów indeksowanych). Miary te nie są doskonałe, ale mogą działać jako proxy dla narzędzia. Ilustruje to charakterystyczne podejście Lancastera do popytu konsumpcyjnego.

Porównanie funkcji użyteczności porządkowej i kardynalnej

Poniższa tabela porównuje dwa typy funkcji użyteczności powszechne w ekonomii:

	Poziom pomiaru	Reprezentuje preferencje na	Unikalny do	Istnienie udowodnione przez	Stosowany głównie w
Użyteczność porządkowa	Skala porządkowa	Pewne wyniki	Zwiększenie transformacji monotonicznej	Debreu (1954)	Teoria konsumenta w warunkach pewności
Użyteczność kardynalna	Skala interwałowa	Losowe wyniki (loterie)	Rosnąca monotoniczna transformacja liniowa	Von Neumanna-Morgensterna (1947)	Teoria gier , wybór w warunkach niepewności

Zobacz też

Linki zewnętrzne

Użyteczność porządkowa a użyteczność kardynalna
- Murray N. Rothbard , „Ku rekonstrukcji ekonomii użyteczności i dobrobytu”