Integralność produktu

Całka iloczynowa to dowolny oparty na iloczynach odpowiednik zwykłej całki sumarycznej rachunku różniczkowego . Pierwsza całka iloczynowa ( typ I ) została opracowana przez matematyka Vito Volterrę w 1887 r. w celu rozwiązywania układów liniowych równań różniczkowych . Inne przykłady całek iloczynowych to całka geometryczna ( typ II poniżej), całka bigeometryczna ( typ III poniżej) i kilka innych całek rachunku nienewtonowskiego.

Całki iloczynowe znalazły zastosowanie w obszarach od epidemiologii ( estymator Kaplana – Meiera ) po stochastyczną dynamikę populacji przy użyciu całek mnożenia ( multigrały ), analizy i mechaniki kwantowej . Całka geometryczna wraz z pochodną geometryczną jest przydatna w analizie obrazu oraz w badaniu zjawisk wzrostu/rozpadu (np. wzrostu gospodarczego , rozwoju bakterii i rozpadu promieniotwórczego ). The całka bigeometryczna wraz z pochodną bigeometryczną jest przydatna w niektórych zastosowaniach fraktali oraz w teorii elastyczności w ekonomii.

W tym artykule przyjęto notację „produkt” do $integracji$ produktu zamiast „integralnej $($ zwykle modyfikowanej przez nałożony symbol „czasu” lub literę P) preferowaną przez i innych . Przyjęto również arbitralną klasyfikację typów, aby narzucić pewien porządek w tej dziedzinie.

Podstawowe definicje

Klasyczną całkę Riemanna funkcji $, b] \ do \ mathbb {R}}$ a

${\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx = \ lim _ {\ Delta x\do 0}\suma f(x_{i})\,\Delta x,}$

gdzie granica obejmuje wszystkie przedziały przedziału , którego $_$ zera

mówiąc , całki iloczynowe są podobne, ale weźmy granicę iloczynu zamiast granicy sumy . Można je traktować jako „ ciągłe ” wersje „ dyskretnych ” produktów .

Najpopularniejsze całki produktu to:

Typ I: całka Volterry

${\ Displaystyle \ prod _ {a} ^ {b} {\ duży (} 1 + f (x) \, dx {\ duży)} = \ lim _ {\ Delta x \ do 0} \ prod {\ duży ( }1+f(x_{i})\,\Delta x{\big )}.}$

Całka iloczynu typu I odpowiada oryginalnej definicji Volterry . Dla funkcji skalarnych istnieje następujący związek ${\ Displaystyle f: [a, b] \ do \ mathbb {R}}$ :

${\ Displaystyle \ prod _ {a} ^ {b} {\ duży (} 1 + f ( x)\,dx{\big )}=\exp \left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right),}$

który nie jest operatorem multiplikatywnym . (Tak więc pojęcia całki iloczynowej i multiplikatywnej nie są takie same).

Całka iloczynu Volterry jest najbardziej przydatna, gdy jest stosowana do funkcji o wartościach macierzowych lub funkcji z wartościami w algebrze Banacha , gdzie ostatnia równość nie jest już prawdziwa (patrz odnośniki poniżej).

Zastosowana do skalarów należących do pola nieprzemiennego, do macierzy i do operatorów, tj. do obiektów matematycznych, które nie dojeżdżają do pracy, całka Volterry dzieli się na dwie definicje

Lewa całka produktu

${\ Displaystyle P (A, D) = \ prod _ {i = m} ^ {1} (\ mathbb {1} + A (\ xi _ {i}) \ Delta t_ {i}) = (\ mathbb { 1} +A(\xi _{m})\Delta t_{m})\cdots (\mathbb {1} +A(\xi _{1})\Delta t_{1})}$

Z oznaczeniem produktów lewych (tj. produktów normalnych nałożonych od lewej strony)

${\ Displaystyle \ prod _ {a} ^ {b} (\ mathbb {1} + A (t) dt)=\lim _{\max \Delta t_{i}\to 0}P(A,D)}$

Właściwa integralność produktu

${\ Displaystyle P (A, D) ^ {*} = \ prod _ {i = 1} ^ {m} (\ mathbb {1} + A (\ xi _ {i}) \ Delta t_ {i}) = (\mathbb {1} +A(\xi _{1})\Delta t_{1})\cdots (\mathbb {1} +A(\xi _{m})\Delta t_{m})}$

Z oznaczeniem właściwych produktów (tj. stosowane od prawej)

${\ Displaystyle (\ mathbb {1} + A (t) dt) \ prod _ {a} ^ {b}=\lim _{\max \Delta t_{i}\to 0}P(A,D)^{*}}$

Gdzie jest $macierzą$ tożsamości, a D jest podziałem przedziału [a, b] w sensie Riemanna, tj. granica przekracza maksymalny przedział w podziale Zwróć uwagę, jak w tym przypadku uporządkowanie czasu jest widoczne w definicjach.

W przypadku funkcji skalarnych pochodną w systemie Volterry jest pochodna logarytmiczna , a więc system Volterry nie jest rachunkiem multiplikatywnym ani rachunkiem nienewtonowskim.

Typ II: całka geometryczna

${\ Displaystyle \ prod _ {a} ^ { b}f(x)^{dx}=\lim _{\Delta x\do 0}\prod {f(x_{i})^{\Delta x}}=\exp \left(\int _{a }^{b}\ln f(x)\,dx\right),}$

który nazywa się całką geometryczną i jest operatorem multiplikatywnym .

Ta definicja całki iloczynu jest ciągłą analogią operatora iloczynu dyskretnego

${\ Displaystyle \ prod _ {i = a} ^ {b}}$

(z ${\ Displaystyle i, a, b \ in \ mathbb {Z}}$ ) i multiplikatywny analog do całki (normalnej / standardowej / addytywnej )

${\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} dx}$

(z ${\ Displaystyle x \ w [a, b]}$ ):

	przyłączeniowy	mnożny
oddzielny	$}$	${\ Displaystyle \ prod _ {i = a} ^ {b} f (i)}$
ciągły	${\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx}$	${\ Displaystyle \ prod _ {a} ^ {b} f (x) ^ {dx}}$

Jest to bardzo przydatne w stochastyce , gdzie logarytm wiarygodności (tj. logarytm całki iloczynu niezależnych zmiennych losowych ) jest równy całce logarytmu tych ( nieskończenie wielu) zmiennych losowych :

${\ Displaystyle \ ln \ prod _ {a} ^ {b} p (x) ^ {dx} = \ int _ {a} ^ {b} \ ln p (x) \, dx.}$

Typ III: całka bigeometryczna

${\ Displaystyle \ prod _ {a} ^ {b} f (x) ^ { d(\ln x)}=\exp \left(\int _{r}^{s}\ln f(e^{x})\,dx\right),}$

gdzie r = ln za , i s = ln b .

Całka iloczynowa typu III nazywana jest całką bigeometryczną i jest operatorem multiplikatywnym .

Wyniki

Podstawowe wyniki

Poniższe wyniki dotyczą całki iloczynu typu II (całka geometryczna) . Inne typy dają inne wyniki.

${\ Displaystyle \ prod _ {a} ^ {b} c ^ {dx} = c ^ {ba},}$

${\ Displaystyle \ prod _ {a} ^ {b} x ^ {dx} = {\ Frac {b ^ {b}}} {a ^ {a}}} {\ rm {e}} ^ { ab},}$

${\ Displaystyle \ prod _ {0} ^ {b} x ^ {dx} = b ^ {b} {\ rm {e}} ^ {- b}}$

${\ Displaystyle \ prod _ {a} ^ {b} \ lewo (f (x) ^ {k} \ prawo) ^ {dx} = \ lewo (\ prod _{a}^{b}f(x)^{dx}\right)^{k},}$

$\ Displaystyle \ prod _ {a} ^ {b} \ lewo (c ^ {f (x)} \ prawo) ^ {dx} = c ^ {\ int _ {a }^{b}f(x)\,dx},}$

Całka geometryczna (typ II powyżej) odgrywa centralną rolę w rachunku geometrycznym , który jest rachunkiem multiplikatywnym. Odwrotność całki geometrycznej, która jest pochodną geometryczną , oznaczoną , jest zdefiniowana za pomocą następującej zależności: ${\ Displaystyle f ^ {*} (x)}$

${\ Displaystyle f ^ {*} (x) = \ exp \ lewo ({\ Frac {f '(x)}} {f (x )}}\Prawidłowy)}$

Można zatem stwierdzić, co następuje:

Podstawowe

$_ }^{b}f^{*}(x)^{dx}=\prod _{a}^{b}\exp \left({\frac {f'(x)}{f(x)}} \,dx\right)={\frac {f(b)}{f(a)}},}$

Reguła iloczynu

${\ Displaystyle (fg) ^ {*} = f ^ {*} g ^ {*}.}$

Reguła ilorazu

${\ Displaystyle (f / g) ^ {*} = f ^ {*} / g ^ {*}.}$

Prawo wielkich liczb

${\ Displaystyle {\ sqrt [{n}] {X_ {1} X_ {2} \ cdots X_ {n}}} {\ underset {n \ do \ infty} {\ longrightarrow}} \ prod _{x}X^{dF(x)},}$

gdzie X jest zmienną losową o rozkładzie prawdopodobieństwa F ( x ).

Porównaj ze standardowym prawem wielkich liczb :

${\ Displaystyle {\ Frac {X_ {1}+ X_ {2} + \ cdots + X_ {n}} {n}} {\ underset {n \ do \ infty} {\ longrightarrow}} \ int X \, dF (X).}$

Całki iloczynowe typu Lebesgue'a

Podobnie jak wersja Lebesgue'a (klasycznych) całek , można obliczyć całki iloczynowe, aproksymując je całkami iloczynowymi prostych funkcji . Każdy typ całki iloczynowej ma inną postać dla prostych funkcji .

Typ I: całka Volterry

Ponieważ proste funkcje uogólniają funkcje schodkowe , w dalszej części rozważymy tylko specjalny przypadek prostych funkcji, które są funkcjami schodkowymi. Ułatwi to również porównanie definicji Lebesgue'a z definicją Riemanna .

Biorąc pod uwagę funkcję skokową ${\ Displaystyle f: [a, b] \ do \ mathbb {R}}$ z odpowiednim podziałem ${\ displaystyle a = y_{0}<y_{1}<\dots <y_{m}}$ i oznaczoną partycję

${\ Displaystyle a = x_ {0}<x_ {1}<\ kropki <x_ {n} = b, \ quad x_ {0} \ równoważnik t_ {0} \ równoważnik x_ {1}, x_ {1} \ równoważnik t_{1}\równik x_{2},\kropki ,x_{n-1}\równik t_{n-1}\równik x_{n},}$

jedno przybliżenie „definicji Riemanna” całki iloczynu typu I jest podane przez

${\ Displaystyle \ prod _ {k = 0} ^ {n-1} \ lewo [{\ duży (} 1 + f (t_ {k}) {\ duży)} \ cdot (x_ {k + 1} -x_ {k})\prawo].}$

Całka produktu (typu I) została z grubsza zdefiniowana jako granica tych produktów przez Ludwiga Schlesingera w artykule z 1931 roku.

Inne przybliżenie „definicji Riemanna” całki iloczynu typu I jest zdefiniowane jako

${\ Displaystyle \ prod _ {k = 0} ^ {n-1} \ exp {\ duży (} f (t_ {k}) \ cdot (x_ {k + 1} -x_ {k}) {\ duży) }.}$

Gdy jest funkcją stałą $,$ granica pierwszego typu przybliżenia jest równa drugiemu typowi przybliżenia Zauważ, że generalnie dla funkcji schodkowej wartość drugiego typu aproksymacji nie zależy od podziału, o ile podział jest uściśleniem podziału definiującego funkcję schodkową , podczas gdy wartość pierwszego typu aproksymacji przybliżenie zależy od dokładności podziału, nawet jeśli jest to udoskonalenie podziału definiującego funkcję schodkową.

Okazuje się, że dla dowolnej funkcji całkowalnej z produktem $granica$ pierwszego typu przybliżenia jest równa granicy drugiego typu przybliżenia Ponieważ dla funkcji schodkowych wartość drugiego rodzaju przybliżenia nie zależy od dokładności podziału dla podziałów „wystarczająco dobrze”, sensowne jest zdefiniowanie „całki iloczynu Lebesgue'a (typu I)” funkcji schodkowej Jak

${\ Displaystyle \ prod _ {a} ^ {b} {\ duży (} 1 + f (x) \, dx {\ duży)} {\ overset {def} {=}} \ prod _ {k = 0} ^{m-1}\exp {\big (}f(s_{k})\cdot (y_{k+1}-y_{k}){\big)},}$

gdzie ${\ Displaystyle y_ {0}<a = s_ {0}<y_ {1}<\ kropki <y_ {n-1}<s_{n-1}<y_{n}=b}$ jest oznaczoną partycją i znowu ${\ Displaystyle a=y_ {0}<y_ {1}<\ kropki <y_ {m}}$ to partycja odpowiadająca funkcji skokowej ${\ displaystyle f}$ . (W przeciwieństwie do tego odpowiednia wielkość nie zostałaby jednoznacznie zdefiniowana przy użyciu pierwszego rodzaju przybliżenia).

To łatwo uogólnia się na dowolne przestrzenie miar . Jeśli jest przestrzenią miary z miarą ${\$$to$ funkcji całkowalnej z produktem $($ . stożkowa kombinacja funkcje wskaźnikowe dla niektórych rozłącznych mierzalnych zbiorów ${\ Displaystyle A_ {0}, A_ {1}, \ kropki, A_ {m-1} \ subseteq X} )$ , jego typ Całka iloczynu jest zdefiniowana jako

${\ Displaystyle \ prod _ {X} {\ duży ( }1+f(x)\,d\mu (x){\big )}{\overset {def}{=}}\prod _{k=0}^{m-1}\exp {\big ( }a_{k}\mu (A_{k}){\duży )},}$

ponieważ $jest$ wartością w dowolnym punkcie $\$$displaystyle A_ {k$ } W szczególnym przypadku, gdy jest $Lebesgue'a$ , a wszystkie mierzalne zbiory $są$ przedziałami. ZA $k}}$ Displaystyle , można sprawdzić, czy jest to równe definicji podanej powyżej dla tego szczególnego przypadku. Analogicznie do teorii całek Lebesgue'a (klasycznych) , całkę iloczynu Volterry dowolnej funkcji całkowalnej z produktem można zapisać jako granicę rosnącej sekwencji całek iloczynu Volterry prostych funkcji całkowalnych z produktem. fa { $displaystyle f}$

Biorąc logarytmy z obu stron powyższej definicji, otrzymujemy, że dla dowolnej prostej funkcji integrowalnej z produktem: ${\ displaystyle f}$ :

${\ Displaystyle \ ln \ lewo (\ prod _ {X} {\ duży (} 1 + f (x) \, d \ mu (x) {\ big )}\right)=\ln \left(\prod _{k=0}^{m-1}\exp {\big (}a_{k}\mu (A_{k}){\big)} \right)=\suma _{k=0}^{m-1}a_{k}\mu (A_{k})=\int _{X}f(x)\,d\mu (x)\ iff }$

${\ Displaystyle \ prod _ {X} {\ duży (} 1 + f (x) \, d \ mu (x) {\ duży)} = \ exp \ lewo$

gdzie użyliśmy definicji całki dla prostych funkcji . Ponadto, ponieważ funkcje ciągłe $iloczynem$ takie jak , mogą być zamieniane z granicami , a całka iloczynowa dowolnej funkcji całkowalnej z jest równa granicy całek iloczynowych funkcji prostych, wynika z tego, że fa { $displaystyle f}$ związek

${\ Displaystyle \ prod _ {X} {\ duży (} 1 + f (x )\,d\mu (x){\big )}=\exp \left(\int _{X}f(x)\,d\mu (x)\right)}$

dotyczy ogólnie każdego produktu, który można zintegrować z produktem. ${\ displaystyle f}$ . To wyraźnie uogólnia wspomnianą powyżej właściwość .

Całka iloczynu Volterry jest multiplikatywna jako funkcja zbioru , co można pokazać za pomocą powyższej właściwości. Mówiąc dokładniej, biorąc $} styl wyświetlania B\subseteq X}$ uwagę funkcję integrowalną z produktem $można$ zdefiniować funkcję zestawu , definiując dla każdego mierzalnego zestawu $\ displaystyle {\ cal {V}} _ {f$ ,

${\ Displaystyle {\ cal {V}} _ {f} (B) {\ overset {def} {=}} \ prod _ {B} {\ duży (} 1 + f (x) \, d \ mu ( x){\big )}{\overset {def}{=}}\prod _{X}{\big (}1+(f\cdot I_{B})(x)\,d\mu (x) {\duży )},}$

gdzie ${\ Displaystyle I_ {B} (x)}$ oznacza funkcję wskaźnika ${\ displaystyle B}$ . Wtedy dla dowolnych dwóch rozłącznych mierzalnych zbiorów jeden ma ${\ displaystyle B_ {1}, B_ {2}}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ cal {V}} _ {f} (B_ {1} \ sqcup B_ {2}) & = \ prod _ {B_ {1} \ sqcup B_ {2}} \big (}1+f(x)\,d\mu (x){\big )}\\&=\exp \left(\int _{B_{1}\sqcup B_{2}}f(x )\,d\mu (x)\right)\\&=\exp \left(\int _{B_{1}}f(x)\,d\mu (x)+\int _{B_{2 }}f(x)\,d\mu (x)\right)\\&=\exp \left(\int _{B_{1}}f(x)\,d\mu (x)\right) \exp \left(\int _{B_{2}}f(x)\,d\mu (x)\right)\\&=\prod _{B_{1}}(1+f(x)d \mu (x))\prod _{B_{2}}(1+f(x)\,d\mu (x))\\&={\cal {V}}_{f}(B_{1 }){\cal {V}}_{f}(B_{2}).\end{wyrównane}}}$

Właściwość tę można skontrastować z miarami , które są addytywnymi funkcjami zbioru .

Jednak całka iloczynu Volterry nie jest multiplikatywna jako funkcja . Biorąc $pod$ uwagę dwie funkcje integrowalne ${\ displaystyle A}$ zestaw , generalnie tak, że ZA

${\ Displaystyle \ prod _ {A} {\ duży (} 1 + (fg) (x) \, d \ mu (x) {\ duży)} \ neq \ prod _ {A} {\ duży (} 1+ f(x)\,d\mu (x){\big )}\prod _{A}{\big (}1+g(x)\,d\mu (x){\big)}.}$

Typ II: całka geometryczna

Jeśli jest ${$ miary z $miarą$ funkcji całkowalnej z produktem $($ n kombinacja funkcji wskaźnika dla pewnego rozłącznego mierzalne zbiory ${\ Displaystyle A_ {0}, A_ {1}, \ kropki, A_ {m-1} \ subseteq X} )$ , jego całka iloczynowa typu II jest zdefiniowana być

${\ Displaystyle \ prod _ {X} f (x) ^ {d \ mu (x)} {\ overset {def} {=}} \ prod _ {k = 0} ^ {m-1} a_ {k} ^{\mu (A_{k})}.}$

Można to postrzegać jako uogólnienie definicji podanej powyżej.

Biorąc logarytmy z obu stron, widzimy, że dla dowolnej prostej funkcji integrowalnej z produktem ${\ displaystyle f}$ :

${\ Displaystyle \ ln \ lewo (\ prod _ {X} f (x) ^ {d \ mu (x )}\right)=\suma _{k=0}^{m-1}\ln(a_{k})\mu (A_{k})=\int _{X}\ln f(x)\ ,d\mu (x)\iff \prod _{X}f(x)^{d\mu (x)}=\exp \left(\int _{X}\ln f(x)\,d\ mu (x)\prawo),}$

gdzie zastosowaliśmy definicję całki Lebesgue'a dla funkcji prostych . Ta obserwacja, analogiczna do tej, którą już poczyniono powyżej , pozwala całkowicie sprowadzić „ teorię Lebesgue'a całek geometrycznych ” do teorii Lebesgue'a (klasycznej) całek . Innymi słowy, ponieważ funkcje ciągłe , takie jak i ${ \$$\ ln},$ mogą być wymieniane z granicami , a całka iloczynu dowolnej funkcji integrowalnej $iloczynem$ jest równa granicy pewnego rosnącego ciągu całek iloczynu prostych funkcji , wynika z tego, że zależność

${\ Displaystyle \ prod _ {X} f (x) ^ {d \ mu (x) }=\exp \left(\int _{X}\ln f(x)\,d\mu (x)\right)}$

dotyczy ogólnie każdego produktu, który można zintegrować z produktem. ${\ displaystyle f}$ . To uogólnia właściwość całek geometrycznych wspomnianych powyżej.

Zobacz też

• Lista pochodnych i całek w rachunkach alternatywnych
• Produkt nieokreślony
• Pochodna logarytmiczna
• Uporządkowany wykładniczy
• Pochodna fraktalna

Linki zewnętrzne

• Witryna dotycząca rachunku nienewtonowskiego
• Richard Gill, Integracja produktów
• Richard Gill, integralny symbol produktu
• David Manura, Rachunek produktowy
• Tyler Neylon, Łatwe granice dla n!
• Wprowadzenie do rachunku multigralowego (produkt) i rachunku bez Dx
• Uwagi dotyczące równania Laxa
• Antonín Slavík, Wprowadzenie do integracji produktów
• Antonín Slavík, Henstock–Kurzweil i McShane