Pochodna fraktalna

W matematyce stosowanej i analizie matematycznej pochodna fraktalna lub pochodna Hausdorffa jest nienewtonowskim uogólnieniem pochodnej zajmującej się pomiarem fraktali , zdefiniowanych w geometrii fraktalnej. Pochodne fraktali zostały stworzone do badania anomalnej dyfuzji, w której tradycyjne podejścia nie uwzględniają fraktalnej natury mediów. Miara fraktalna t jest skalowana zgodnie z t ^α . Taka pochodna jest lokalna, w przeciwieństwie do podobnie zastosowanej pochodnej ułamkowej . Rachunek fraktalny jest sformułowany jako uogólniony rachunek standardowy

Tło fizyczne

Media porowate , warstwy wodonośne , turbulencje i inne media zwykle wykazują właściwości fraktalne. Klasyczne prawa dyfuzji lub dyspersji oparte na losowych spacerach w wolnej przestrzeni (zasadniczo ten sam wynik, znany jako prawa dyfuzji Ficka , prawo Darcy'ego i prawo Fouriera ) nie mają zastosowania do mediów fraktalnych. Aby temu zaradzić, należy na nowo zdefiniować pojęcia takie jak odległość i prędkość dla mediów fraktalnych; w szczególności skale dla przestrzeni i czasu mają być przekształcone zgodnie z ( x ^β , tα ^. ) Podstawowe pojęcia fizyczne, takie jak prędkość, są przedefiniowane w następujący sposób dla czasoprzestrzeni fraktalnej ( x ^β , t ^α ):

{\ Displaystyle v '= {\ Frac {dx'} {dt'}} = {\ Frac {dx ^ {\ beta} }{dt^{\alpha }}}\,,\quad \alpha ,\beta >0}

,

gdzie S ^α,β reprezentuje czasoprzestrzeń fraktalną z indeksami skalowania α i β . Tradycyjna definicja prędkości nie ma sensu w nieróżniczkowalnej czasoprzestrzeni fraktalnej.

Definicja

W oparciu o powyższe rozważania, pojęcie pochodnej fraktalnej funkcji u ( t ) względem fraktalnej miary t zostało wprowadzone następująco:

{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe f (t)}} {\ częściowe t^{\alpha}}}=\lim _{t_{1}\rightarrow t}{\frac {f(t_{1})-f(t)}{t_{1}^{\alpha}-t ^{\alpha}}}\,,\quad \alpha >0}

,

Bardziej ogólna definicja jest podana przez

{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe ^ {\ beta} f (t)} {\ częściowe t ^ {\ alfa}}} = \ lim _ {t_ {1} \ rightarrow t} {\ Frac {f ^ { \beta }(t_{1})-f^{\beta }(t)}{t_{1}^{\alpha }-t^{\alpha }}}\,,\quad \alpha >0,\ beta >0}

.

Dla funkcji y (t) na $zbiór fraktali$ pochodna fraktalna lub -pochodna z at t jest zdefiniowana przez ${\ Displaystyle F ^ {\ alfa}}$

{\ Displaystyle D_ {F} ^ {\ alfa} y (t) = \ lewo \ {{\ rozpocząć {tablica} {ll} {\ underset {x \ strzałka w prawo t} {F_ {-} lim}} ~ {\ frac {y(x)-y(t)}{S_{F}^{\alfa}(x)-S_{F}^{\alfa}(t)}},&if~t\w F;\\ 0,&w przeciwnym razie.\end{array}}\right.}

.

Motywacja

Pochodne funkcji f można zdefiniować za pomocą współczynników a _k w rozwinięciu szeregu Taylora :

${\ Displaystyle f (x) = \ suma _ {k = 1} ^ {\ infty} a_ {k} \ cdot (xx_ {0}) ^{k}=\sum _{k=1}^{\infty}{1 \over k!}{d^{k}f \over dx^{k}}(x_{0})\cdot (x -x_{0})^{k}=f(x_{0})+f'(x_{0})\cdot (x-x_{0})+o(x-x_{0})}$

Z tego podejścia można bezpośrednio uzyskać:

${\ Displaystyle f' (x_ { 0})={f(x)-f(x_{0})-o(x-x_{0}) \over x-x_{0}}=\lim _{x\to x_{0}}{ f(x)-f(x_{0}) \ponad x-x_{0}}}$

Można to uogólnić przybliżając f funkcjami (x ^α -(x ₀ ) ^α ) ^k :

${\ Displaystyle f (x) = \ suma _ {k = 1} ^ {\ infty} b_ {k} \ cdot (x ^ {\ alfa} -x_ {0} ^ {\ alfa}) ^ {k} = f(x_{0})+b_{1}\cdot (x^{\alfa}-x_{0}^{\alfa})+o(x^{\alfa}-x_{0}^{\alfa })}$

₀₀₀ uwaga: współczynnik najniższego rzędu nadal musi wynosić b =f(x ), ponieważ nadal jest to stałe przybliżenie funkcji f w x .

Ponownie można bezpośrednio uzyskać:

${\ Displaystyle b_ {1} = \ lim _ {x \ do x_ { 0}}{f(x)-f(x_{0}) \over x^{\alpha}-x_{0}^{\alpha}}{\overset {\underset {\mathrm {def}}} }{=}}{df \over dx^{\alpha }}(x_{0})}$

Szereg fraktalny Maclaurina f(t) ze wsparciem fraktalnym F jest następujący:

${\ Displaystyle f (t) = \ suma _ {m = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {(D_ {F} ^ {\ alfa}) ^ {m} f (t)|_{t=0}}{m!}}(S_{F}^{\alfa}(t))^{m}}$

Nieruchomości

Współczynniki rozszerzalności

Podobnie jak w rozwinięciu w szereg Taylora, współczynniki b _k można wyrazić za pomocą fraktalnych pochodnych rzędu k f:

${\ Displaystyle b_ {k} = {1 \ ponad k!} {\ biggl (}{d \ ponad dx ^ {\ alfa}} {\ biggr )} ^ {k}f(x=x_{0})}$

Pomysł na dowód: zakładając ${\ textstyle ({d \ over dx ^ {\ alfa}}) ^ {k} f (x = x_ {0})}$ istnieje, b _k można zapisać jako ${\ textstyle b_ {k} = a_ {k} \ cdot ({d \ over dx ^ {\ alfa}} )^{k}f(x=x_{0})}$

można teraz użyć ${\ textstyle f (x) = (x ^ {\ alfa} -x_ {0} ^ {\ alfa}) ^ {n} \ Strzałka w prawo ({d \ ponad dx ^ {\ alfa}}) ^ { k}f(x=x_{0})=n!\delta _{n}^{k}}$ i ponieważ ${\ textstyle b_ {n} {\ overset {\ underset {\ operatorname {!}}} } 1 \ Strzałka w prawo a_ {n} = {1 \ ponad n!}}$

Połączenie z pochodną

Jeśli dla danej funkcji f istnieje zarówno pochodna Df, jak i pochodna fraktalna D _α f, można znaleźć analogię do reguły łańcuchowej:

${\ Displaystyle {df \ ponad dx ^ {\ alfa}} = {df \ ponad dx} {dx \ nad dx^{\alpha }}={1 \over \alpha}x^{1-\alpha }{df \over dx}}$

Ostatni krok jest motywowany twierdzeniem o funkcji uwikłanej , które w odpowiednich warunkach daje nam dx/dx ^α = (dx ^α /dx) ⁻¹

Podobnie dla bardziej ogólnej definicji:

${\ Displaystyle {d ^ {\ beta} f \ nad d ^ {\alpha}x}={d(f^{\beta}) \over d^{\alpha}x}={1 \over \alpha}x^{1-\alpha}\beta f^{\beta -1}(x)f'(x)}$

Pochodna fraktalna dla funkcji f ( t ) = t , z rzędem pochodnych to α ∈ (0,1)

Zastosowanie w anomalnej dyfuzji

Jako alternatywne podejście do modelowania klasycznego drugiego prawa Ficka, pochodna fraktalna jest używana do wyprowadzenia liniowego anomalnego równania transport-dyfuzja leżącego u podstaw procesu anomalnej dyfuzji ,

{\ Displaystyle {\ Frac {du (x, t)}} {dt ^ {\ alfa}}} = D {\ Frac {\ częściowy}} {\ częściowy x ^ {\ beta}}} \ lewo ({\ frac { \partial u(x,t)}{\partial x^{\beta }}}\right),-\infty <x<+\infty \,,\quad (1)}

{\ Displaystyle u (x, 0) = \ delta (x).}

gdzie 0 < α < 2, 0 < β < 1, a δ ( x ) to funkcja delta Diraca .

W celu uzyskania rozwiązania podstawowego stosujemy transformację zmiennych

{\ Displaystyle t '= t ^ {\ alfa} \, \ quad x' = x ^ {\ beta}.}

wówczas równanie (1) staje się równaniem postaci dyfuzji normalnej, rozwiązanie (1) ma rozciągniętą postać Gaussa :

{\ Displaystyle u (x, t) = {\ Frac {1} {2 {\ sqrt {\ pi t ^ {\ alfa} }}}}e^{-{\frac {x^{2\beta}}{4t^{\alfa }}}}}

Średnie kwadratowe przemieszczenie powyższego równania dyfuzji pochodnej fraktalnej ma asymptotę :

{\ Displaystyle \ lewo \ langle x ^ {2} (t) \ prawo \ rangę \ propto t ^ {(3 \ alfa - \ alfa \ beta) / 2 \ beta}.}

Rachunek fraktalno-ułamkowy

Pochodna fraktalna jest powiązana z pochodną klasyczną, jeśli istnieje pierwsza pochodna badanej funkcji. W tym przypadku,

{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe f (t)} {\ częściowe t ^ {\ alfa}}} = \ lim _ {t_ {1} \ rightarrow t} {\ Frac {f (t_ {1}) - f(t)}{t_{1}^{\alfa}-t^{\alfa}}}\ ={\frac {df(t)}{dt}}{\frac {1}{\alfa t^ {\alpha -1}}},\quad \alpha >0}

.

Jednak ze względu na różniczkowalność całki pochodne ułamkowe są różniczkowalne, dlatego wprowadzono następującą nową koncepcję

Następujące operatory różniczkowe zostały wprowadzone i zastosowane bardzo niedawno. Zakładając, że y ( t ) będzie ciągłe i fraktalne różniczkowalne na ( a , b ) z rzędem β , kilka definicji fraktalno-ułamkowej pochodnej y ( t ) zachodzi z rzędem α w sensie Riemanna – Liouville'a :

Mając jądro typu power law:

${\ Displaystyle ^ {FFP} D_ {0, t} ^ {\ alfa, \ beta}} {\ Duży (} y (t) {\ Duży)} = {\ dfrac {1} {\ Gamma (m- \ alfa )}}{\dfrac {d}{dt^{\beta}}}\int _{0}^{t}(ts)^{m-\alpha -1}y(s)ds}$

Mając wykładniczo rozkładające się jądro typu:

${\ Displaystyle ^ {FFE} D_ {0, t} ^ {\ alfa, \ beta} {\ duży (} y (t) {\ duży)} = {\ dfrac {M (\ alfa)} {1- \ alpha }}{\dfrac {d}{dt^{\beta}}}\int _{0}^{t}\exp {\Duży (}-{\dfrac {\alpha}}{1-\alpha}} (ts){\Duży}}y(s)ds}$ ,

Po uogólnieniu jądra typu Mittaga-Lefflera:

${\ Displaystyle {} _ {a} ^ {FFM} D_ {t} ^ {\ alfa} f (t) = {\ Frac {AB (\ alfa)} {1-\ alfa}} {\ Frac {d} {dt^{\beta}}}\int _{a}^{t}f(\tau)E_{\alpha}\left(-\alpha {\frac {\left(t-\tau \right)^ {\alpha}}{1-\alpha}}\right)\,d\tau \,.}$

Każdy z powyższych operatorów różniczkowych ma powiązany operator całki fraktalno-ułamkowej, jak następuje:

Jądro typu prawa potęgowego:

${\ Displaystyle ^ {FFP} J_ { 0,t}^{\alpha ,\beta }{\Big (}y(t){\Big )}={\dfrac {\beta}}{\Gamma (\alpha)}}\int _{0}^ {t}(ts)^{\alpha -1}s^{\beta -1}y(s)ds}$

Wykładniczo rozkładające się jądro typu:

${\ Displaystyle ^ {FFE} J_ {0, t} ^ {\ alfa, \ beta}} {\ Duży (} y (t) {\ Duży)} = {\ dfrac {\ alfa \ beta} {M (\ alfa )}}\int _{0}^{t}s^{\beta -1}y(s)ds+{\dfrac {\beta (1-\alpha )t^{\beta -1}y(t) }{M(\alfa)}}}$ .

Uogólnione jądro typu Mittaga-Lefflera:

${\ Displaystyle ^ {FFM} J_ {0, t} ^ {\ alfa, \ beta} {\ duży (} y (t) {\ duży)} = {\ dfrac { \alpha \beta }{AB(\alpha )}}\int _{0}^{t}s^{\beta -1}y(s)(ts)^{\alpha -1}ds+{\dfrac { \beta (1-\alfa )t^{\beta -1}y(t)}{AB(\alfa)}}}$ . FFM jest określany jako fraktal-ułamek z uogólnionym jądrem Mittaga-Lefflera.

Fraktalny rachunek nielokalny

Fraktalny odpowiednik prawostronnej całki ułamkowej Riemanna-Liouville'a rzędu f jest zdefiniowany przez: ${\ Displaystyle \ beta \ in \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle {x} {\ mathcal {I}} _ {b} ^ {\ beta} f (x) = {\ Frac {1} {\ Gamma (\ beta)}} \ int _ {x} ^ { b} {\frac {f(t)}{(S_{F}^{\alfa}(t)-S_{F}^{\alfa}(x))^{1-\beta}}}d_{ F} ^ {\ alfa } t}$ .

Fraktalny odpowiednik lewostronnej całki ułamkowej Riemanna-Liouville'a rzędu f jest zdefiniowany przez: ${\ Displaystyle \ beta \ in \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle {a} {\ mathcal {I}} _ {x} ^ {\ beta} f (x) = {\ Frac {1} {\ Gamma (\ beta)}} \ int _ {a} ^ { x}{\frac {f(t)}{(S_{F}^{\alfa}(x)-S_{F}^{\alfa}(t))^{1-\beta}}}d_{ F}^{\alfa}t.}$

Fraktalny odpowiednik prawostronnej pochodnej ułamkowej Riemanna-Liouville'a rzędu f jest zdefiniowany przez: ${\ Displaystyle \ beta \ in \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle {x} {\ mathcal {D}} _ {b} ^ {\ beta} f (x) = {\ Frac {1} {\ Gamma (n- \ beta)}} (-D_ { F}^{\alfa})^{n}\int _{x}^{b}{\frac {f(t)}{(S_{F}^{\alfa}(t)-S_{F} ^{\alfa}(x))^{-n+\beta +1}}}d_{F}^{\alfa}t}$

Fraktalny odpowiednik lewostronnej pochodnej ułamkowej Riemanna-Liouville'a rzędu f jest zdefiniowany przez: ${\ Displaystyle \ beta \ in \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle {a} {\ mathcal {D}} _ {x} ^ {\ beta} f (x) = {\ Frac {1} {\ Gamma (n- \ beta)}} (D_ {F} ^{\alpha})^{n}\int _{a}^{x}{\frac {f(t)}{(S_{F}^{\alpha}(x)-S_{F}^{ \alpha }(t))^{-n+\beta +1}}}d_{F}^{\alpha }t}$

Fraktalny odpowiednik prawostronnej pochodnej ułamkowej Caputo rzędu f jest zdefiniowany przez: ${\ Displaystyle \ beta \ in \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle {x} ^ {C} {\ mathcal {D}} _ {b} ^ {\ beta} f (x) = {\ Frac {1} {\ Gamma (n- \ beta)}} \int _{x}^{b}(S_{F}^{\alpha}(t)-S_{F}^{\alpha}(x))^{n-\beta -1}(-D_{ F}^{\alfa})^{n}f(t)d_{F}^{\alfa}t}$

Fraktalny odpowiednik lewostronnej pochodnej ułamkowej Caputo rzędu f jest zdefiniowany przez: ${\ Displaystyle \ beta \ in \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle {a} ^ {C} {\ mathcal {D}} _ {x} ^ {\ beta} f (x) = {\ Frac {1} {\ Gamma (n- \ beta)}} \ int _{a}^{x}(S_{F}^{\alfa}(x)-S_{F}^{\alfa}(t))^{n-\beta -1}(D_{F} ^{\alfa})^{n}f(t)d_{F}^{\alfa}t}$

Zobacz też

Chen, W. (2006). „Tkanina czasoprzestrzenna leżąca u podstaw anomalnej dyfuzji”. Chaos, solitony i fraktale . 28 (4): 923–929. arXiv : matematyka-ph/0505023 . Bibcode : 2006CSF....28..923C . doi : 10.1016/j.chaos.2005.08.199 . S2CID 18369880 .
Kanno, R. (1998). „Reprezentacja błądzenia losowego we fraktalnej czasoprzestrzeni”. Fizyka A. 248 (1–2): 165–175. Bibcode : 1998PhyA..248..165K . doi : 10.1016/S0378-4371(97)00422-6 .
Chen, W.; Słońce, HG; Zhang, X.; Korośak, D. (2010). „Modelowanie anomalnej dyfuzji za pomocą pochodnych fraktalnych i ułamkowych” . Komputery i matematyka z aplikacjami . 59 (5): 1754–8. doi : 10.1016/j.camwa.2009.08.020 .
Słońce, HG; Meerschaert, MM; Zhang, Y.; Zhu, J.; Chen, W. (2013). „Równanie fraktalne Richardsa do uchwycenia nie-Boltzmanna skalowania transportu wody w ośrodkach nienasyconych” . Postępy w zasobach wodnych . 52 (52): 292-5. Bibcode : 2013AdWR...52..292S . doi : 10.1016/j.advwaters.2012.11.005 . PMC 3686513 . PMID 23794783 .
Cushman, JH; O'Malley, D.; Park, M. (2009). „Anomalna dyfuzja modelowana przez niestacjonarne rozszerzenie ruchu Browna”. fizyka Wielebny E. 79 (3): 032101. Bibcode : 2009PhRvE..79c2101C . doi : 10.1103/PhysRevE.79.032101 . PMID 19391995 .
Mainardi, F.; Mura, A.; Pagniniego, G. (2010). „Funkcja M-Wrighta w procesach dyfuzji ułamkowej w czasie: ankieta samouczka” . Międzynarodowy Dziennik Równań Różniczkowych . 2010 : 104505. arXiv : 1004,2950 . Bibcode : 2010arXiv1004.2950M . doi : 10.1155/2010/104505 . S2CID 37271918 .

Linki zewnętrzne