Wzór dyfrakcyjny Kirchhoffa

Wzór na dyfrakcję Kirchhoffa (również wzór na dyfrakcję Fresnela-Kirchhoffa ) może być użyty do modelowania propagacji światła w szerokim zakresie konfiguracji, analitycznie lub przy użyciu modelowania numerycznego . Daje wyrażenie na zaburzenie falowe, gdy monochromatyczna fala sferyczna jest falą nadchodzącą w rozważanej sytuacji. Formuła ta pochodzi z zastosowania twierdzenia całkowego Kirchhoffa , które wykorzystuje drugą tożsamość Greena wyprowadzić rozwiązanie równania jednorodnej fali skalarnej , do fali sferycznej z pewnymi przybliżeniami.

Huygensa -Fresnela wywodzi się ze wzoru dyfrakcyjnego Fresnela-Kirchhoffa.

Wyprowadzenie wzoru dyfrakcyjnego Kirchhoffa

Twierdzenie o całce Kirchhoffa , czasami nazywane twierdzeniem o całce Fresnela-Kirchhoffa , wykorzystuje drugą tożsamość Greena do wyprowadzenia rozwiązania jednorodnego skalarnego równania falowego w dowolnej pozycji przestrzennej P pod względem rozwiązania równania falowego i jego pochodnej pierwszego rzędu w wszystkie punkty na dowolnej zamkniętej powierzchni $tym$ granica pewnej objętości, w P .

Rozwiązaniem zapewnianym przez twierdzenie o całkach dla źródła monochromatycznego jest

$${\ Displaystyle U ({\ textbf {P}}) = {\frac {1}{4\pi}}\int _{S}\left[U{\frac {\częściowy}}{\częściowy {\textbf {n}}}}\left({\frac {e^ {iks}}{s}}\right)-{\frac {e^{iks}}{s}}{\frac {\częściowe U}{\częściowe {\textbf {n}}}}\right]dS ,}$$

gdzie jest przestrzenną częścią rozwiązania jednorodnego skalarnego równania falowego (tj. $t)=U(\mathbf {r} )e^{-i\omega t}}$${\ Displaystyle V (\ mathbf {r}, U {\ displaystyle$$U$ jako jednorodne skalarne rozwiązanie równania falowego), k to liczba falowa , a s to odległość od P do (nieskończenie małego) integralnego elementu powierzchniowego i $wzdłuż$ zróżnicowanie integralnego elementu powierzchniowego normalnego wektora jednostkowego $displaystyle n}$ normalna pochodna ), tj. ${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe f} {\ częściowe n}} = \ nabla f \ cdot n}$ . Zauważ, że normalna powierzchnia lub kierunek ${\ displaystyle n}$ jest w kierunku wnętrza zamkniętej objętości w tej całce; jeśli używana jest bardziej zwykła normalna wskazująca na zewnątrz , całka będzie miała przeciwny znak. Należy również zauważyć, że w pokazanym tutaj twierdzeniu o całkach $P$ są wielkościami wektorowymi , podczas gdy inne wyrazy są wielkościami skalarnymi .

W poniższych przypadkach przyjęto następujące podstawowe założenia.

• Odległość między punktowym źródłem fal a obszarem całki, odległość między obszarem całki a punktem obserwacyjnym P oraz wymiar otworu S są znacznie większe niż długość $fali$ .
• ${\ Displaystyle U}$ i ${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe U} {\ częściowe n}} = \ nabla U \ cdot n} są$ nieciągłe na granicach otworu, zwane warunkami brzegowymi Kirchhoffa . Może to być związane z innym założeniem, że fale na szczelinie (lub otwartej przestrzeni) są takie same jak fale, które byłyby obecne, gdyby nie było dla fal przeszkody.

Punkt żródłowy

Układ geometryczny użyty do wyprowadzenia wzoru dyfrakcji Kirchhoffa. Obszar oznaczony przez A ₁ to szczelina (otwór), obszary oznaczone przez A ₂ to obszary nieprzezroczyste, a A ₃ to półkula jako część zamkniętej powierzchni integralnej (składającej się z obszarów A ₁ , A ₂ i A ₃ ) dla twierdzenia całkowego Kirchhoffa .

₀ Rozważ monochromatyczne źródło punktowe w punkcie P , które oświetla otwór w ekranie. Intensywność , więc amplituda spada jako odwrotność odległości. Złożona amplituda zakłócenia na odległość jest dana przez ${\ displaystyle r}$

$${\ Displaystyle U (r) = {\ Frac {ae ^ {ikr}} {r}}}$$

gdzie $reprezentuje$ wielkość zakłócenia w punktowym.

Zakłócenie w położeniu przestrzennym P można znaleźć, stosując twierdzenie o całkach Kirchhoffa do zamkniętej powierzchni utworzonej przez przecięcie kuli o promieniu R z ekranem. Całkowanie odbywa się po obszarach A ₁ , A ₂ i A ₃ , dając

$${\ Displaystyle U (P) = {\ Frac {1} {4 \ pi}} \ lewo [\ int _ {A_ {1}} + \ int _ {A_ {2}} + \ int _ {A_ {3} }}\right]\left(U{\frac {\częściowy }{\częściowy n}}\left({\frac {e^{iks}}{s}}\right)-{\frac {e^{ iks}}{s}}{\frac {\częściowe U}{\częściowe n}}\right)dS.}$$

$}$ , zakłada się, że wartości obszarze apertury 1 _są same $displaystyle U$ \ tak jak wtedy, gdy nie ma ekranu, więc w pozycji Q ,

$${\ Displaystyle U_ {A_ {1}} = {\ Frac {ae ^ {ikr}} {r}}}$$

$${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe U_ {A_ {1} }}{\częściowy n}}=\nabla U_{A_{1}}\cdot n={\frac {ae^{ikr}}{r}}\left[ik-{\frac {1}{r} }\prawo]\cos(n,r),}$$

₀ gdzie jest długością linii prostej $kątem$ Q ₀ P $i$ jest między prosto rozciągniętą wersją ( do wewnątrz otwór. Zauważ, że ${\ Displaystyle 0 <(n, r) <{\ Frac {\ pi} {2}}}$ więc ${\ Displaystyle \ cos (n, r)}$ jest dodatnią liczbą rzeczywistą na A ₁ .

W Q mamy również

$${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy}} {\ częściowy n}} \ lewo ( {\frac {e^{iks}}{s}}\right)={\frac {e^{iks}}{s}}\left[ik-{\frac {1}{s}}\right] \cos(n,s),}$$

gdzie $PQ$ długością linii prostej i jest $s}$ między prosto rozciągniętą wersją ( do wewnątrz) normalną do apertury s { . $) <{\ Frac {3 \ pi} {2}}}$ s więc ${\ Displaystyle \ cos (n, s)}$ jest ujemną liczbą rzeczywistą na ZA ₁ .

Przyjmuje się jeszcze dwa następujące założenia.

• zakłada się, że terminy w obu nawiasach kwadratowych są $frac {1} {r}}}$ r \ $\$$k = {\ Frac {2 \ pi} {\ lambda}}}$ Displaystyle oznacza, że $\ displaystyle r}$ { i ${\ displaystyle s}$ są znacznie większe niż długość fali ${\ Displaystyle \ lambda}$ .
• $,$ zakłada że ​​wartości na _oznaczonych przez $wynoszą$ 2 . Oznacza to $,$$nieciągłe$ i _na krawędzi 1 Tak nie jest i jest to jedno z przybliżeń użyte do wyprowadzenia wzoru dyfrakcyjnego Kirchhoffa. Założenia te są czasami określane jako warunki brzegowe Kirchhoffa .

udział półkuli A ₃ w całce będzie równy zeru i można to uzasadnić jednym z następujących powodów.

1. Przyjmij założenie, że źródło zaczyna promieniować w określonym czasie, a następnie ustaw R na tyle duże, aby przy rozważaniu zakłócenia w punkcie P żaden wkład z A ₃ nie dotarł tam. Taka fala nie jest już monochromatyczna , ponieważ fala monochromatyczna musi istnieć przez cały czas, ale to założenie nie jest konieczne i wyprowadzono bardziej formalny argument unikający jej użycia.
2. Oczekuje się, że fala emanująca z otworu A1 będzie ewoluować w kierunku fali kulistej w miarę rozchodzenia się (przykłady fal wodnych można znaleźć na wielu obrazach przedstawiających falę wodną przechodzącą przez stosunkowo _{wąski otwór).} Tak więc, jeśli R jest wystarczająco duże, to całka po A ₃ ma postać
   $${\ Displaystyle U (P) \ sim - {\ Frac {ia} {2 \lambda }}\int _{A_{3}}{\frac {e^{2ik(r')}}{r'^{2}}}[\cos(n,r')-\cos(n ,r')]d{A_{3}}=-{\frac {ia}{2\lambda}}\int _{A_{3}}e^{2ik(r')}[\cos(n, r')-\cos(n,r')]d{\Omega}=0}$$
   gdzie $odpowiednio$ są to odległość od środka otworu $A$ 1 _do integralnego elementu powierzchniowego i kąt bryłowy w sferycznym .

W rezultacie ostatecznie powyższa całka, która reprezentuje złożoną amplitudę w P , staje się

$${\ Displaystyle U (P) = - {\ Frac {ia} {2 \ lambda}} \ int _ {A_ {1}} {\ Frac {e ^ {ik (r + s)}} {rs}} [ \cos(n,r)-\cos(n,s)]d{A_{1}}.}$$

To jest wzór dyfrakcyjny Kirchhoffa lub Fresnela-Kirchhoffa .

Równoważność z zasadą Huygensa-Fresnela

Układ geometryczny użyty do wyrażenia wzoru Kirchhoffa w formie podobnej do Huygensa-Fresnela

₀₀₀ Huygensa -Fresnela można wyprowadzić, całkując po innej zamkniętej powierzchni (granica pewnej objętości z punktem obserwacyjnym P ). Obszar A ₁ powyżej jest zastąpiony przez część czoła fali (emitowaną z P ) w r , która jest najbliżej otworu, oraz część stożka z wierzchołkiem w P , który jest oznaczony jako A ₄ po prawej stronie diagram. Jeśli czoło fali jest ustawione w taki sposób, że znajduje się bardzo blisko krawędzi szczeliny, wówczas udział A _{0 4} można pominąć (zakładając tutaj). Na tym nowym ZA ₁ , wewnętrzna (w kierunku objętości zamkniętej przez zamkniętą powierzchnię całkową, a więc w kierunku prawej strony na diagramie) normalna $do$ 1 jest _wzdłuż kierunku promieniowego od P , tj. Kierunek prostopadle do czoła fali. W rezultacie kąt ${\ Displaystyle (n, r) = 0}$ i kąt ${\ Displaystyle (n, s)}$ jest powiązany z kątem (kąt zdefiniowany w zasadzie Huygensa-Fresnela ) jako ${\ Displaystyle \ chi}$

$${\ Displaystyle (n, s) = \ pi - \ chi.}$$

₀ Złożona amplituda czoła fali w r jest dana przez

$${\ Displaystyle U (r_ {0}) = {\ Frac {ae ^ {ikr_ {0}}} {r_ {0}}}.}$$

Tak więc formuła dyfrakcyjna staje się

$${\ Displaystyle U (P) = - {\ Frac {i} {2 \ lambda }}{\frac {ae^{ikr_{0}}}{r_{0}}}\int _{S}{\frac {e^{iks}}{s}}(1+\cos \chi )dS,}$$

₀ gdzie całka jest wykonywana po części czoła fali w r , która jest najbliższa aperturze na schemacie. Ta całka prowadzi do Huygensa-Fresnela (ze współczynnikiem nachylenia ${\ textstyle {\ frac {1+ \ cos \ chi}} {2}}})$ .

₀₀ W wyprowadzeniu tej całki, zamiast geometrii przedstawionej na prawym diagramie, można zastosować podwójne kule wyśrodkowane w P z wewnętrznym promieniem kuli r i nieskończonym zewnętrznym promieniem kuli. W tej geometrii punkt obserwacyjny P znajduje się w objętości zamkniętej przez dwie kule, więc wzór dyfrakcyjny Fresnela-Kirchhoffa jest zastosowany do dwóch kul. (Powierzchnie normalne na tych powierzchniach całkowych są, powiedzmy ponownie, skierowane w kierunku zamkniętej objętości w powyższym wzorze dyfrakcyjnym). W zastosowaniu wzoru całka na zewnętrznej kuli wynosi zero z podobnego powodu całki na półkuli jak zero powyżej .

Rozszerzone źródło

₀ Załóżmy, że apertura jest oświetlona przez rozciągniętą falę źródłową. Zespolona amplituda przy aperturze jest określona przez U ( r ).

$}$ się, jak poprzednio, że wartości i w obszarze A ₁ takie same jak w przypadku $U {$ ekran nie jest obecny, że wartości $} {\ częściowe n}}}$ { \ _Displaystyle { \ $U$ że wkład z A ₃ do całki są również zerowe. Zakłada się również, że 1/ s jest pomijalne w porównaniu z k . Mamy wtedy

$${\ Displaystyle U (P) = {\ Frac {1} {4 \ pi}} \ int _ {A_ {1}} {\ Frac {e ^ {iks}} {s}} \ lewo [ikU_ {0} (r) \ cos (n, s) - {\ frac {\ częściowe U_ {0} (r)} {\ częściowe n}} \ prawo] \, dS.}$$

Jest to najbardziej ogólna postać wzoru dyfrakcyjnego Kirchhoffa. Aby rozwiązać to równanie dla rozszerzonego źródła, wymagana byłaby dodatkowa integracja w celu zsumowania wkładów poszczególnych punktów w źródle. Jeśli jednak założymy, że światło ze źródła w każdym punkcie apertury ma dobrze określony kierunek, co ma miejsce, gdy odległość między źródłem a aperturą jest znacznie większa niż długość fali, to możemy napisać

$$\ Displaystyle U_ {0} (r) \ w przybliżeniu a (r) e ^ {ikr},}$$

gdzie a ( r ) jest wielkością zaburzenia w punkcie r w otworze. Mamy wtedy

$${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe {U_ {0} (r)}} {\ częściowe n}} = ika (r )\cos(n,r)}$$

a zatem

$${\ Displaystyle U (P) = - {\ Frac {i} {2 \ lambda}} \ int _ {S} a (r) {\ Frac {e ^ {iks}} {s}} [\ cos \ chi +\cos(n,r)]\,dS.}$$

Równania dyfrakcyjne Fraunhofera i Fresnela

Pomimo różnych przybliżeń, jakich dokonano dochodząc do wzoru, jest on adekwatny do opisania większości problemów optyki instrumentalnej. Dzieje się tak głównie dlatego, że długość fali światła jest znacznie mniejsza niż wymiary napotkanych przeszkód. Rozwiązania analityczne nie są możliwe dla większości konfiguracji, ale dyfrakcyjne Fresnela i równania dyfrakcyjne Fraunhofera , które są przybliżeniami wzoru Kirchhoffa dla pola bliskiego i dalekiego , można zastosować w bardzo szerokim zakresie układów optycznych.

₀ Jednym z ważnych założeń przyjętych przy obliczaniu wzoru dyfrakcyjnego Kirchhoffa jest to, że r i s są znacznie większe niż λ. Można dokonać innego przybliżenia, które jeszcze bardziej upraszcza równanie: polega na tym, że odległości P Q i QP są znacznie większe niż wymiary otworu. Pozwala to na dokonanie dwóch dalszych przybliżeń:

• ₀₀ cos( n, r ) − cos( n, s ) jest zastępowane przez 2cos β, gdzie β jest kątem między P P a normalną do apertury. Współczynnik 1/ rs zostaje zastąpiony przez 1/ r ' s ' , gdzie r ' i s ' to odległości od P i P do początku układu współrzędnych, który znajduje się w otworze. Złożona amplituda staje się wtedy:
  $${\ Displaystyle U (P) = - {\ Frac {ia \ cos \ beta} {\ lambda r'}} \ int _ {S} e ^ {ik (r + s)} \, ds.}$$
• ₀₀₀₀ Załóżmy, że apertura leży w płaszczyźnie xy , a współrzędne P , P i Q (ogólny punkt w aperturze) to ( x , y , z ), ( x , y , z ) i ( x ' , y ' , 0) odpowiednio. Mamy wtedy:

  ${\ Displaystyle ~ r ^ {2} = (x_ {0} -x') ^ {2} + (y_ {0} -y') ^ {2} + z_ {0 } ^ {2},}$

  ${\ Displaystyle ~ s ^ {2} = (xx ') ^ {2} + (yy ')^{2}+z^{2},}$

  ${\ Displaystyle ~ r' ^ {2} = x_ {0} ^ {2} + y_ {0} ^ {2} + z_ {0} ^ {2},}$

  ${\ Displaystyle ~ s' ^ {2} = x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}.}$

Możemy wyrazić r i s w następujący sposób:

$${\ Displaystyle r = r '\ lewo [1- {\ frac {2(x_{0}x'+y_{0}y')}{r'^{2}}}+{\frac {x'^{2}+y'^{2}}{r' ^{2}}}\prawo]^{1/2},}$$

$${\ Displaystyle s = s '\ lewo [1- {\ Frac {2 (xx' + yy')} {s' ^ {2}}} + {\ Frac {x' ^ {2} + y' ^ { 2}}{s'^{2}}}\right]^{1/2}.}$$

Można je rozwinąć jako szeregi potęgowe :

$${\ Displaystyle r = r '\ lewo [1- {\ Frac {1} {2r' ^ {2}}} \ lewo [2 (x_ {0} x'+y_{0}y')-(x'^{2}+y'^{2})\right]+{\frac {1}{8r'^{4}}}\left[2( x_{0}x'+y_{0}y')-(x'^{2}+y'^{2})\right]^{2}+\cdots \right],}$$

$${\ Displaystyle s = s '\ lewo [1- {\ Frac {1} {2s' ^ {2}}} \ lewo [2 (xx '+ yy') - (x' ^ {2} + y' ^ {2})\right]+{\frac {1}{8s'^{4}}}\left[2(xx'+yy')-(x'^{2}+y'^{2}) \right]^{2}+\cdots \right].}$$

Złożoną amplitudę w P można teraz wyrazić jako

$${\ Displaystyle U (P) = - {\ Frac {i \ cos \ beta}} {\ lambda}} {\ Frac {ae ^ {ik (r'+s')}}}} \ int _ { S}e^{ikf(x',y')}\,dx'dy',}$$

gdzie f ( x ' , y ' ) obejmuje wszystkie wyrazy z powyższych wyrażeń dla s i r oprócz pierwszego wyrazu w każdym wyrażeniu i można je zapisać w postaci

$$\ Displaystyle f (x', y') =c_{1}x'+c_{2}y'+c_{3}x'^{2}+c_{4}y'^{2}+c_{5}x'y'\cdots ,}$$

gdzie c _i są stałymi.

Dyfrakcja Fraunhofera

Główny artykuł: dyfrakcja Fraunhofera

₀ Jeśli wszystkie wyrazy z f ( x ' , y ' ) można pominąć z wyjątkiem wyrazów z x ' i y ' , mamy równanie dyfrakcyjne Fraunhofera . Jeśli cosinusy kierunku P Q i PQ są

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} l_ {0} & = - x_ {0} / r ', \ \ m_ {0} & = - y_ {0} / r ', \\ l & = x / s', \\m&=y/s'.\end{wyrównane}}}$$

Równanie dyfrakcyjne Fraunhofera jest wtedy

$${\ Displaystyle U (P) = C \ int _ {S} e^{ik[(l_{0}-l)x'+(m_{0}-m)y']}\,dx'dy',}$$

gdzie C jest stałą. Można to również zapisać w formularzu

$$\ Displaystyle U (P) = C \ int _ {S} e ^ {i (\ mathbf {k} _ {0 }-\mathbf {k} )\cdot \mathbf {r} '}\,dr',}$$

₀₀ gdzie k i k są wektorami falowymi fal przemieszczających się odpowiednio od P do apertury i od apertury do P , a r ' jest punktem w aperturze.

₀ Jeśli źródło punktowe zostanie zastąpione przez źródło rozszerzone, którego zespolona amplituda przy aperturze jest określona przez U ( r' ), wówczas równanie dyfrakcyjne Fraunhofera wygląda następująco:

$${\ Displaystyle U (P) \ propto \ int _ {S} a_ {0} (\ mathbf {r } ')e^{i(\mathbf {k} _{0}-\mathbf {k} )\cdot \mathbf {r} '}\,dr',}$$

₀ gdzie a ( r' ) jest, jak poprzednio, wielkością zaburzenia na otworze.

Oprócz przybliżeń dokonanych przy wyprowadzaniu równania Kirchhoffa zakłada się, że

• r i s są znacznie większe niż rozmiar otworu,
• wyrażenia drugiego i wyższego rzędu w wyrażeniu f ( x ' , y ' ) można pominąć.

Dyfrakcja Fresnela

Główny artykuł: dyfrakcja Fresnela

Kiedy nie można zaniedbać wyrazów kwadratowych, ale można pominąć wyrazy wyższego rzędu, równanie staje się równaniem dyfrakcji Fresnela . Stosowane są przybliżenia równania Kirchhoffa, a dodatkowe założenia to:

• r i s są znacznie większe niż rozmiar otworu,
• wyrażenia trzeciego i wyższego rzędu w wyrażeniu f ( x ' , y ' ) można pominąć.

Dalsza lektura

• Piekarz, BB; Copson, ET (1939, 1950). Matematyczna teoria zasady Huygensa . Oksford.
•   Woan, Graham (2000). Cambridge Handbook of Physics Formuły . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. ISBN 9780521575072 .
•   J. Goodmana (2005). Wprowadzenie do optyki Fouriera (wyd. 3). Wydawcy Roberts & Co. ISBN 978-0-9747077-2-3 .
•   Griffiths, David J. (2012). Wprowadzenie do elektrodynamiki . Pearson Education, Limited. ISBN 978-0-321-85656-2 .
•   Zespół, Yehuda B. (2006). Światło i materia: elektromagnetyzm, optyka, spektroskopia i lasery . John Wiley & Synowie . ISBN 978-0-471-89931-0 .
•   Kenyon, Ian (2008). Światło fantastyczne: nowoczesne wprowadzenie do optyki klasycznej i kwantowej . Oxford University Press . ISBN 978-0-19-856646-5 .
•   Lerner, Rita G .; George L., Trigg (1991). Encyklopedia fizyki . VCH. ISBN 978-0-89573-752-6 .
•   Sybil P., Parker (1993). MacGraw-Hill Encyklopedia fizyki . McGraw-Hill Ryerson, Limited. ISBN 978-0-07-051400-3 .