Funkcja Greena (teoria wielu ciał)

W teorii wielu ciał termin funkcja Greena (lub funkcja Greena ) jest czasami używany zamiennie z funkcją korelacji , ale odnosi się konkretnie do korelatorów operatorów pola lub operatorów kreacji i anihilacji .

Nazwa pochodzi od funkcji Greena służących do rozwiązywania niejednorodnych równań różniczkowych , z którymi są luźno powiązane. (W szczególności tylko dwupunktowe „funkcje Greena” w przypadku systemu nieoddziałującego są funkcjami Greena w sensie matematycznym; operator liniowy, który odwracają, to operator Hamiltona , który w przypadku nieoddziałującym jest kwadratowy w pola.)

Przestrzennie jednolity przypadek

Podstawowe definicje

Rozważamy teorię wielu ciał z operatorem pola (operator anihilacji zapisany w podstawie pozycji). ${\ Displaystyle \ psi (\ mathbf {x})}$ .

Operatory Heisenberga można zapisać w kategoriach operatorów Schrödingera jako

$${\ Displaystyle \ psi (\ mathbf {x}, t) = e ^ {iKt} \ psi (\ mathbf {x}) e^{-iKt},}$$

a operator tworzenia to ${\ sztylet}$${\ Displaystyle {\ bar {\ psi}} (\ mathbf {x}, t) = [\ psi (\ mathbf { x},$ t ) $kanonu$ gdzie wielkiego .

Podobnie dla operatorów czasu urojonego ,

$${\ Displaystyle \ psi (\ mathbf {x}, \ tau) = e ^ {K \ tau} \ psi (\ mathbf {x}) e^{-K\tau}}$$

$${\ Displaystyle {\ bar {\ psi}} (\ mathbf {x}, \ tau) = e ^ {K \ tau} \ psi ^ {\ sztylet} (\ mathbf {x}) e ^ {- K \ tau }.}$$

[ Zauważ $,$ że operator tworzenia w ${\ Displaystyle \ psi (\ mathbf {x}, \ tau)}$ nie .]

W czasie rzeczywistym $punktu$ jest definiowana przez

$${\ Displaystyle G ^ {(n)} (1 \ ldots n \ mid 1' \ ldots n') = i ^ {n} \ langle T \ psi (1) \ ldots \ psi (n) {\ bar {\ psi }}(n')\ldots {\bar {\psi}}(1')\rangle ,}$$

gdzie użyliśmy skondensowanej notacji, w której oznacza $($${\ Displaystyle (\ mathbf {x} _ {j}, t_ {j})}$ jot $displaystyle j „}$ oznacza ${\ Displaystyle (\ mathbf {x} _ {j} ', t_ {j}')}$ . Operator $_$ uporządkowanie czasu i wskazuje, że następujące po nim operatory pól mają być uporządkowane w taki sposób, że ich argumenty czasu rosną od prawej do lewej.

W czasie urojonym odpowiednia definicja to

$${\ Displaystyle {\ mathcal {G }}^{(n)}(1\ldots n\mid 1'\ldots n')=\langle T\psi (1)\ldots \psi (n){\bar {\psi }}(n') \ldots {\bar {\psi}}(1')\rangle ,}$$

gdzie ${\ Displaystyle j}$ oznacza ${\ Displaystyle \ mathbf {x} _ {j}, \ tau _ {j}}$ . (Zmienne w czasie urojonym $displaystyle$${\ textstyle \ beta = {\ frac {1 }{k_{\text{B}}T}}}$ do zakresu od {\ $0}$ do temperatury odwrotnej .)

Uwaga dotycząca znaków i normalizacji używanych w tych definicjach: Znaki funkcji Greena zostały tak dobrane, że transformata Fouriera dwupunktowej ( ) termicznej funkcji Greena dla cząstki swobodnej wynosi ${\ displaystyle n = 1}$

$${\ Displaystyle {\ mathcal {G}} (\ mathbf {k}, \ omega _ {n}) = {\ Frac {1} {- i\omega _{n}+\xi _{\mathbf {k}}}},}$$

a opóźniona funkcja Greena to

$$\ Displaystyle G ^ {\ operatorname {R}} (\ mathbf {k}, \ omega) = {\ Frac {1} -(\omega +i\eta )+\xi _{\mathbf {k}}}},}$$

Gdzie

$${\ Displaystyle \ omega _ {n} = {\ Frac {[2n + \ teta (- \ zeta)] \ pi} {\ beta}}}$$

jest częstotliwością Matsubary .

${\ Displaystyle \ zeta}$ jest ${\ Displaystyle + 1}$ dla bozonów i ${\ Displaystyle -1}$ dla fermionów i [ $\ Displaystyle [\ ldots ,\ldots ]=[\ldots ,\ldots ]_{-\zeta }}$ oznacza odpowiednio komutator lub antykomutator.

( Szczegółowe informacje znajdują się poniżej ).

Funkcje dwupunktowe

$dwupunktową$ parą argumentów ( ) jest nazywana funkcją propagatorem W obecności symetrii translacyjnej zarówno przestrzennej, jak i czasowej, zależy to tylko od różnicy jej argumentów. Biorąc transformatę Fouriera w odniesieniu zarówno do przestrzeni, jak i czasu daje

$${\ Displaystyle {\ mathcal {G}} (\ mathbf {x} \ tau \ mid \ mathbf {x} '\ tau ') = \ int _ {\ mathbf {k}} d \ mathbf {k} {\ frac {1}{\beta}}\sum _{\omega _{n}}{\mathcal {G}}(\mathbf {k} ,\omega _{n})e^{i\mathbf {k} \ cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')-i\omega _{n}(\tau -\tau ')},}$$

$($ suma przekracza odpowiednie Matsubary współczynnik , jak

W czasie rzeczywistym jednoznacznie wskażemy funkcję uporządkowaną w czasie z indeksem górnym T:

$${\ Displaystyle G ^ {\ operatorname {T}} (\ mathbf {x} t \ mid \ mathbf {x} 't') = \ int _ {\ mathbf {k}} d \ mathbf {k} \ int { \frac {d\omega }{2\pi}}G^{\mathrm {T}}(\mathbf {k} ,\omega)e^{i\mathbf {k} \cdot (\mathbf {x} - \mathbf {x} ')-i\omega (tt')}.}$$

Dwupunktową funkcję Greena w czasie rzeczywistym można zapisać w kategoriach „opóźnionych” i „zaawansowanych” funkcji Greena, które okażą się mieć prostsze właściwości analityczne. Opóźnione i zaawansowane funkcje Greena są zdefiniowane przez

$${\ Displaystyle G ^ {\ operatorname {R}} (\ mathbf {x} t \ mid \ mathbf {x} 't') = -i \ langle [\ psi (\ mathbf {x}, t), {\ bar {\psi}}(\mathbf {x} ',t')]_{\zeta}\rangle \Theta (tt')}$$

I

$${\ Displaystyle G ^ {\ operatorname {A}} (\ mathbf {x} t \ mid \ mathbf {x} 't') = i \ langle [\ psi (\ mathbf {x}, t), {\ bar {\psi}}(\mathbf {x} ',t')]_{\zeta}\rangle \Theta (t'-t),}$$

odpowiednio.

Są one powiązane z uporządkowaną w czasie funkcją Greena przez

$${\ Displaystyle G ^ {\ operatorname {T}} (\mathbf {k},\omega)=[1+\zeta n(\omega)]G^{\mathrm {R}}(\mathbf {k},\omega)-\zeta n(\omega)G ^{\mathrm {A}}(\mathbf {k},\omega),}$$

Gdzie

$${\ Displaystyle n (\ omega) = {\ Frac {1} {e ^ {\ beta \ omega} - \ zeta}}}$$

jest dystrybuantą Bosego – Einsteina lub Fermiego – Diraca .

Uporządkowanie w czasie urojonym i okresowość β

Termiczne funkcje Greena są zdefiniowane tylko wtedy, gdy oba argumenty czasu urojonego mieszczą się w zakresie do $\ beta}$$displaystyle$ . Dwupunktowa funkcja Greena ma następujące właściwości. (Argumenty pozycji lub pędu są pomijane w tej sekcji).

Po pierwsze, zależy to tylko od różnicy urojonych czasów:

$${\ Displaystyle {\ mathcal {G}} (\ tau, \ tau ') = {\ mathcal {G}} (\ tau - \ tau ').}$$

Argument ${\ Displaystyle \ tau - \ tau '}$ może działać od ${\ Displaystyle - \ beta}$ do ${\ Displaystyle \ beta}$ .

Po drugie, jest (anty) okresowe z przesunięciami $\ Displaystyle {$$mathcal {G}} (\ tau)}$ . Ze względu na małą domenę, w której funkcja jest zdefiniowana, oznacza to po prostu

$${\ Displaystyle {\ mathcal {G}} (\ tau - \ beta) = \ zeta {\ mathcal {G}} (\ tau),}$$

dla ${\ Displaystyle 0 <\ tau <\ beta}$ . Uporządkowanie czasowe ma kluczowe znaczenie dla tej właściwości, co można w prosty sposób udowodnić, wykorzystując cykliczność operacji śledzenia.

Te dwie właściwości pozwalają na reprezentację transformacji Fouriera i jej odwrotność,

$${\ Displaystyle {\ mathcal {G}} (\ omega _ {n}) = \ int _ {0} ^ {\ beta} d \ tau \, {\ mathcal {G}} (\ tau) \, e ^ {i\omega _{n}\tau}.}$$

$}$ zauważ, że ma nieciągłość w ${\ Displaystyle {\ mathcal {G}} (\ tau)$ ; jest to zgodne z zachowaniem ${\ Displaystyle {\ mathcal {G}} (\ omega _ {n}) \ sim 1 / | \ omega _ {n} |}$ .

Widmowa reprezentacja

Propagatory w czasie rzeczywistym i urojonym można powiązać zarówno z gęstością widmową (lub wagą widmową), określoną przez

$${\ Displaystyle \ rho (\ mathbf {k}, \ omega) = {\ Frac {1} {\ mathcal {Z}}} \ suma _ {\ alfa, \ alfa '} 2 \ pi \ delta ( E_{\alpha }-E_{\alpha '}-\omega )|\langle \alpha \mid \psi _{\mathbf {k} }^{\sztylet }\mid \alpha '\rangle |^{2} \left(e^{-\beta E_{\alpha '}}-\zeta e^{-\beta E_{\alpha }}\right),}$$

gdzie | α ⟩ odnosi się do stanu własnego (wielu ciał) wielkiego kanonicznego hamiltonianu H - μN , z wartością własną E _α .

Propagator czasu urojonego jest wtedy dany przez

$${\ Displaystyle {\ mathcal {G}} (\ mathbf {k}, \ omega _{n})=\int _{-\infty }^{\infty}{\frac {d\omega '}{2\pi}}{\frac {\rho (\mathbf {k} ,\omega ')}{-i\omega _{n}+\omega '}}~,}$$

i opóźniony propagator wg

$${\ Displaystyle G ^ {\ operatorname {R}} (\ mathbf {k},\omega)=\int _{-\infty}^{\infty}{\frac {d\omega '}{2\pi}}{\frac {\rho (\mathbf {k},\ omega ')}{-(\omega +i\eta )+\omega '}},}$$

implikowana jest granica jako ${\ displaystyle \ eta \ do 0 ^ {+}} .$

$mianownikiem$ jest określony tym samym wyrażeniem, .

$G ^ {\ operatorname {R}}}$ czasie można znaleźć pod względem i sol ${\$ displaystyle Jak stwierdzono powyżej, ${\ Displaystyle G ^ {\ operatorname {R}} (\ omega)}$$G ^ {\ operatorname {A}} (\ omega)}$ ( ω proste właściwości analityczne: pierwsza (ostatnia) ma wszystkie swoje bieguny i nieciągłości w dolnej (górnej) półpłaszczyźnie.

Propagator $ma$ wszystkie swoje $bieguny$

Gęstość widmową można znaleźć bardzo prosto na $.$ twierdzenia Sokhatsky'ego –

$${\ Displaystyle \ lim _ {\ eta \ do 0 ^ {+}} {\ Frac {1} {x \ pm ja \ eta }}=P{\frac {1}{x}}\mp i\pi \delta (x),}$$

gdzie P oznacza część główną Cauchy'ego . To daje

$${\ Displaystyle \ rho (\ mathbf {k}, \ omega) = 2 \ operatorname {Im} G ^ {\ operatorname {R}} (\ mathbf {k}, \ omega).}$$

$:$ ponadto, że przestrzega następującej relacji między jego

$${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Re} G ^ {\ operatorname {R}} (\ mathbf {k}, \ omega) = -2P \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ Frac {d \ omega '}{2\pi}}{\frac {\operatorname {Im} G^{\mathrm {R}}(\mathbf {k} ,\omega ')}{\omega -\omega '}},}$$

gdzie $.$ główną wartość całki

Gęstość widmowa podlega zasadzie sumy,

$${\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ Frac {d \ omega} {2 \ pi}} \ rho ( \mathbf {k} ,\omega )=1,}$$

co daje

$${\ Displaystyle G ^ {\ operatorname {R}} (\ omega) \ sim {\ Frac {1} {| \ omega |}}}$$

jako ${\ Displaystyle | \ omega | \ do \ infty}$ .

Transformacja Hilberta

Podobieństwo reprezentacji widmowych funkcji Greena w czasie urojonym i rzeczywistym pozwala nam zdefiniować funkcję

$${\ Displaystyle G (\ mathbf {k}, z) = \ int _ {- \ infty} ^ { \infty }{\frac {dx}{2\pi}}{\frac {\rho (\mathbf {k},x)}{-z+x}},}$$

co jest związane z ${\ Displaystyle {\ mathcal {G}}}$ i ${\ Displaystyle G ^ {\ operatorname {R}}}$

$${\ Displaystyle {\ mathcal {G}} (\ mathbf {k}, \ omega _ {n}) = G (\ mathbf {k}, ja \omega_{n})}$$

I

$${\ Displaystyle G ^ {\ operatorname {R}} (\ mathbf {k}, \ omega) = G (\ mathbf {k}, \ omega + i \ eta).}$$

Podobne wyrażenie oczywiście $.$ do

sol $G (\ mathbf {k}, z)}$${\ Displaystyle \ rho (\ mathbf {k}, x)}$ i jest określany jako Transformacja Hilberta .

Dowód reprezentacji widmowej

Pokazujemy dowód reprezentacji widmowej propagatora w przypadku termicznej funkcji Greena, zdefiniowanej jako

$${\ Displaystyle {\ mathcal {G}} (\ mathbf {x}, \ tau \ mid \ mathbf {x} ', \ tau ') = \ langle T \ psi (\ mathbf {x}, \ tau) {\ słupek {\psi}}(\mathbf {x} ',\tau')\rangle .}$$

$_$ względu jest ${\ Displaystyle \ tau > 0}$ podane przez

$${\ Displaystyle {\ mathcal {G}} (\ mathbf {x}, \ tau \ mid \ mathbf {0}, 0) = {\ Frac {1} {\ mathcal {Z}}} \ suma _ {\ alfa '}e^{-\beta E_{\alpha '}}\langle \alpha '\mid \psi (\mathbf {x},\tau){\bar {\psi}}(\mathbf {0},0 )\mid \alpha '\rangle .}$$

Wstawienie pełnego zestawu stanów własnych daje

$${\ Displaystyle {\ mathcal {G}} (\ mathbf {x}, \ tau \ mid \ mathbf {0}, 0) = {\ Frac {1} {\ mathcal {Z}}} \ suma _ {\ alfa ,\alpha '}e^{-\beta E_{\alpha '}}\langle \alpha '\mid \psi (\mathbf {x} ,\tau )\mid \alpha \rangle \langle \alpha \mid { \bar {\psi}}(\mathbf {0},0)\mid \alpha '\rangle .}$$

Od ${\ Displaystyle |\ alpha \ rangle}$ i ${\ Displaystyle |\ alfa '\ rangle}$$własnymi$ operatory Heisenberga przepisać w kategoriach operatorów Schrödingera, dając

$${\ Displaystyle {\ mathcal {G}} (\ mathbf {x}, \ tau | \ mathbf {0}, 0) = {\ Frac {1} {\ mathcal {Z}}} \ suma _ {\ alfa, \alpha '}e^{-\beta E_{\alpha '}}e^{\tau (E_{\alpha '}-E_{\alpha})}\langle \alpha '\mid \psi (\mathbf { x} )\mid \alpha \rangle \langle \alpha \mid \psi ^{\sztylet }(\mathbf {0} )\mid \alpha '\rangle .}$$

Wykonanie transformaty Fouriera daje wtedy

$${\ Displaystyle {\ mathcal {G}} (\ mathbf {k}, \ omega _ {n}) = {\ Frac {1} {\ mathcal {Z}}} \ suma _ {\ alfa, \ alfa '} e^{-\beta E_{\alpha '}}{\frac {1-\zeta e^{\beta (E_{\alpha '}-E_{\alpha})}}{-i\omega _{n }+E_{\alpha }-E_{\alpha '}}}\int _{\mathbf {k} '}d\mathbf {k} '\langle \alpha \mid \psi (\mathbf {k})\ mid \alpha '\rangle \langle \alpha '\mid \psi ^{\sztylet }(\mathbf {k} ')\mid \alpha \rangle .}$$

Zachowanie pędu pozwala zapisać ostateczny wyraz jako (do możliwych współczynników objętości)

$${\ Displaystyle | \ langle \ alfa '\ mid \ psi ^ {\ sztylet} (\ mathbf {k}) \ mid \ alpha \ rangle | ^ {2},}$$

co potwierdza wyrażenia dla funkcji Greena w reprezentacji widmowej.

Regułę sumy można udowodnić, biorąc pod uwagę wartość oczekiwaną komutatora,

$${\ Displaystyle 1 = {\ Frac {1} {\ mathcal {Z}} }\sum _{\alpha }\langle \alpha \mid e^{-\beta (H-\mu N)}[\psi _{\mathbf {k} },\psi _{\mathbf {k} } ^{\sztylet}]_{-\zeta}\mid \alpha \rangle ,}$$

a następnie wstawienie pełnego zestawu stanów własnych do obu terminów komutatora:

$${\ Displaystyle 1 = {\ Frac {1} {\ mathcal {Z}}} \ suma _ {\ alfa, \ alfa '} e ^ {- \ beta E _ {\ alfa}} \ lewo (\ langle \ alfa \ mid \psi _{\mathbf {k} }\mid \alpha '\rangle \langle \alpha '\mid \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha \rangle -\zeta \ langle \alpha \mid \psi _{\mathbf {k}}^{\sztylet}\mid \alpha '\rangle \langle \alpha '\mid \psi _{\mathbf {k} }\mid \alpha \rangle \Prawidłowy).}$$

Zamiana etykiet w pierwszym terminie daje

$${\ Displaystyle 1 = {\ Frac {1} {\ mathcal {Z}}} \ suma _ {\ alfa, \ alfa '} \ lewo (e ^ {- \ beta E _ {\ alfa '}} - \ zeta e ^{-\beta E_{\alpha }}\right)|\langle \alpha \mid \psi _{\mathbf {k} }^{\sztylet }\mid \alpha '\rangle |^{2}~, }$$

co jest dokładnie wynikiem całkowania ρ .

Nieinterakcyjna obudowa

W przypadku braku interakcji ${\ Displaystyle \ psi _ {\ mathbf {k}} ^ {\ sztylet} \ mid \ alfa '\ rangle} jest stanem$ własnym z energią (wielkokanoniczną) ${\ Displaystyle E _ {\ alfa '} + \ xi _ {\ mathbf {k}}}$ , gdzie ${\ Displaystyle \ xi _ {\ mathbf {k}} = \epsilon _ {\mathbf {k}}-\mu}$ jest relacją dyspersji pojedynczych cząstek mierzoną w odniesieniu do potencjału chemicznego. W związku z tym gęstość widmowa staje się

$${\ Displaystyle \ rho _ {0} (\ mathbf {k}, \ omega) = {\ Frac {1} {\ mathcal {Z}}} \, 2 \ pi \ delta (\ xi _ {\ mathbf {k } }-\omega )\sum _{\alpha '}\langle \alpha '\mid \psi _{\mathbf {k} }\psi _{\mathbf {k}}^{\sztylet}\mid \alpha '\rangle (1-\zeta e^{-\beta \xi _{\mathbf {k}}})e^{-\beta E_{\alpha '}}.}$$

Z relacji komutacyjnych,

$$\ Displaystyle \ langle \ alfa '\ mid \ psi _ {\ mathbf { k} }\psi _{\mathbf {k} }^{\sztylet}\mid \alpha '\rangle =\langle \alpha '\mid (1+\zeta \psi _{\mathbf {k} }^{ \sztylet }\psi _{\mathbf {k}})\mid \alpha '\rangle ,}$$

ponownie z możliwymi współczynnikami objętości. Suma, która obejmuje średnią termiczną operatora liczbowego, daje po prostu ${\ Displaystyle [1 + \ zeta n (\ xi _ {\ mathbf {k}})] { \mathcal {Z}}}$ , wychodząc

$${\ Displaystyle \ rho _ {0} (\ mathbf {k}, \ omega) = 2 \ pi \ delta (\ xi _ {\ mathbf {k}} - \ omega).}$$

Propagator czasu urojonego jest taki

$${\ Displaystyle {\ mathcal {G}} _ {0} (\ mathbf {k}, \ omega) = {\ Frac {1} {-i \ omega _{n}+\xi _{\mathbf {k}}}}}$$

a opóźniony propagator jest

$${\ Displaystyle G_ {0} ^ {\ operatorname {R}} (\ mathbf {k}, \ omega) = {\ Frac {1} {- (\ omega + i \ eta) + \ xi _ {\ mathbf { k} }}}.}$$

Limit temperatury zerowej

Gdy β → ∞ , gęstość widmowa staje się

$${\ Displaystyle \ rho (\ mathbf {k}, \ omega) = 2 \ pi \ suma _ {\ alfa} \ lewo [\ delta (E_ {\ alfa} -E_ {0} - \ omega) \ lewo |\left\langle \alpha \mid \psi _{\mathbf {k} }^{\sztylet}\mid 0\right\rangle \right|^{2}-\zeta \delta (E_{0}-E_ {\alpha }-\omega )\left|\left\langle 0\mid \psi _{\mathbf {k} }^{\sztylet}\mid \alpha \right\rangle \right|^{2}\right ]}$$

gdzie α = 0 odpowiada stanowi podstawowemu. Zauważ, że tylko pierwszy (drugi) składnik bierze udział, gdy ω jest dodatnie (ujemne).

Sprawa ogólna

Podstawowe definicje

Możemy użyć „operatorów pola”, jak powyżej, lub operatorów kreacji i anihilacji związanych z innymi stanami pojedynczej cząstki, być może stanami własnymi (nieoddziałującej) energii kinetycznej. Następnie używamy

$${\ Displaystyle \ psi (\ mathbf {x}, \ tau) = \ varphi _ {\ alfa} (\ mathbf {x}) \ psi _{\alpha}(\tau),}$$

gdzie jest $i$$\$ pojedynczej cząstki φ $\ varphi _ {\ alfa} (\ mathbf {x} )}$ jest funkcją falową tego stanu w podstawie pozycji. To daje

$${\ Displaystyle {\ mathcal {G}} _ {\ alfa _ {1} \ ldots \ alfa _ {n} | \ beta _ {1} \ ldots \beta _{n}}^{(n)}(\tau _{1}\ldots \tau _{n}|\tau _{1}'\ldots \tau _{n}')=\langle T \psi _{\alpha _{1}}(\tau _{1})\ldots \psi _{\alpha _{n}}(\tau _{n}){\bar {\psi}}_{ \beta _{n}}(\tau _{n}')\ldots {\bar {\psi}}_{\beta _{1}}(\tau _{1}')\rangle }$$

z podobnym wyrażeniem dla ${\ Displaystyle G ^ {(n)}}$ .

Funkcje dwupunktowe

Zależą one tylko od różnicy ich argumentów czasowych, tak że

$${\ Displaystyle {\ mathcal {G}} _ {\ alfa \ beta} (\tau \mid \tau ')={\frac {1}{\beta}}\sum _{\omega _{n}}{\mathcal {G}}_{\alpha \beta}(\omega _ {n})\,e^{-i\omega _{n}(\tau -\tau ')}}$$

I

$${\ Displaystyle G _ {\ alfa \ beta} (t \ mid t ') = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ Frac {d \ omega} {2 \ pi}} \, G_ {\ alpha \beta }(\omega )\,e^{-i\omega (tt')}.}$$

Możemy ponownie zdefiniować opóźnione i zaawansowane funkcje w oczywisty sposób; są one powiązane z funkcją uporządkowaną w czasie w taki sam sposób jak powyżej.

Te same właściwości okresowości, jak opisano powyżej, mają zastosowanie do ${\ displaystyle {\ mathcal {G}} _ {\ alfa \ beta}}$ . Konkretnie,

$${\ Displaystyle {\ mathcal {G}} _ {\ alfa \ beta} (\ tau \ mid \ tau ') = {\ mathcal { G}}_{\alfa \beta}(\tau -\tau ')}$$

I

$${\ Displaystyle {\ mathcal {G}} _ {\ alfa \ beta} (\ tau) = {\ mathcal {G}} _ {\ alfa \ beta }(\tau +\beta ),}$$

dla ${\ Displaystyle \ tau <0}$ .

Widmowa reprezentacja

W tym przypadku,

$${\ Displaystyle \ rho _ {\ alfa \ beta} (\ omega) = {\ Frac {1} {\ mathcal {Z}}} \ suma _ {m, n} 2 \ pi \ delta (E_ {n}-E_{m}-\omega )\;\langle m\mid \psi _{\alpha }\mid n\rangle \langle n\mid \psi _{\beta }^{\sztylet }\mid m\rangle \left(e^{-\beta E_{m}}-\zeta e^{-\beta E_{n}}\right),}$$

gdzie i $są$$wielociałowymi$ .

Wyrażenia dla funkcji Greena są modyfikowane w oczywisty sposób:

$${\ Displaystyle {\ mathcal {G}} _ {\ alfa \ beta} (\ omega _{n})=\int _{-\infty}^{\infty}{\frac {d\omega '}{2\pi}}{\frac {\rho _{\alpha \beta}(\ omega ')}{-i\omega _{n}+\omega '}}}$$

I

$${\ Displaystyle G _ {\ alfa \ beta} ^ {\ operatorname {R}} (\ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ Frac {d \ omega '} {2 \ pi} }{\frac {\rho _{\alpha \beta}(\omega ')}{-(\omega +i\eta)+\omega'}}.}$$

Ich właściwości analityczne są identyczne. Dowód przebiega dokładnie w ten sam sposób, z wyjątkiem tego, że dwa elementy macierzy nie są już złożonymi koniugatami.

Obudowa nieinteraktywna

Jeśli wybrane stany pojedynczej cząstki są „stanami własnymi energii pojedynczej cząstki”, tj.

$${\ Displaystyle [H- \ mu N, \ psi _ {\ alfa} ^ {\ sztylet}] = \ xi _ {\ alfa} \ psi _{\alfa}^{\sztylet},}$$

wtedy dla ${\ Displaystyle | n \ rangle}$ stan własny:

$${\ Displaystyle (H- \ mu N) \ mid n \ rangle = E_ {n} \ mid n \ rangle,}$$

$\ psi _ {\ alfa} \ mid n \ rangle}$ Displaystyle :

$${\ Displaystyle (H- \ mu N) \ psi _ {\ alfa} \ mid n \ rangle = (E_ {n}-\xi _{\alpha})\psi _{\alpha}\mid n\rangle,}$$

${\ Displaystyle \ psi _ {\ alfa} ^ {\ sztylet} \ mid n \ rangle$ } :

$${\ Displaystyle (H- \ mu N) \ psi _ {\ alfa} ^ {\ sztylet} \ mid n \ rangle = (E_ {n} + \ xi _ {\ alfa}) \ psi _ {\ alfa} ^ {\sztylet}\mid n\rangle.}$$

Dlatego mamy

$${\ Displaystyle \ langle m \ mid \ psi _ {\ alfa} \ mid n \ rangle \ langle n \ mid \ psi _ {\ beta} ^ {\ sztylet} \ mid m \ rangle = \ delta _ {\ xi _ {\alpha },\xi _{\beta }}\delta _{E_{n},E_{m}+\xi _{\alpha }}\langle m\mid \psi _{\alpha }\mid n \rangle \langle n\mid \psi _{\beta}^{\sztylet}\mid m\rangle .}$$

Następnie przepisujemy

$${\ Displaystyle \ rho _ {\ alfa \ beta} (\ omega) = {\ Frac {1} {\ mathcal {Z}}} \ suma _ {m, n} 2 \ pi \delta (\xi _{\alpha }-\omega )\delta _{\xi _{\alpha },\xi _{\beta }}\langle m\mid \psi _{\alpha }\mid n\ rangle \langle n\mid \psi _{\beta }^{\sztylet}\mid m\rangle e^{-\beta E_{m}}\left(1-\zeta e^{-\beta \xi _ {\alpha}}\right),}$$

W związku z tym

$$\ Displaystyle \ rho _ {\ alfa \ beta} (\ omega) = {\ Frac {1} {\ mathcal {Z}}} \ suma _ {m} 2 \ pi \ delta (\ xi _ {\alpha}-\omega)\delta _{\xi _{\alpha},\xi _{\beta}}\langle m\mid \psi _{\alpha}\psi _{\beta}^{\ sztylet }e^{-\beta (H-\mu N)}\mid m\rangle \left(1-\zeta e^{-\beta \xi _{\alpha }}\right),}$$

używać

$${\ Displaystyle \ langle m \ środkowy \ psi _ {\ alfa} \ psi _ {\ beta }^{\sztylet }\mid m\rangle =\delta _{\alpha ,\beta }\langle m\mid \zeta \psi _{\alpha }^{\sztylet }\psi _{\alpha}+ 1\mid m\rangle }$$

oraz fakt, że średnia termiczna operatora liczbowego daje funkcję rozkładu Bosego – Einsteina lub Fermiego – Diraca.

Wreszcie gęstość widmowa upraszcza podanie

$${\ Displaystyle \ rho _ {\ alfa \ beta} = 2 \ pi \ delta (\ xi _ {\ alfa} - \ omega) \ delta _ {\Alpha beta },}$$

tak, że termiczna funkcja Greena jest

$${\ Displaystyle {\ mathcal {G}} _ {\ alfa \ beta} (\ omega _ {n}) = {\ Frac {\ delta _{\alpha \beta}}{-i\omega _{n}+\xi _{\beta}}}}$$

a opóźniona funkcja Greena to

$${\ Displaystyle G _ {\ alfa \ beta} (\ omega) = {\ Frac {\ delta _ {\ alfa \ beta}} {- (\ omega + i \ eta) + \ xi _ {\ beta}}}. }$$

Zauważ, że nieinterakcyjna funkcja Greena jest ukośna, ale nie będzie to prawdą w przypadku interakcji.

Zobacz też

• Twierdzenie o fluktuacji
• Relacje Green – Kubo
• Liniowa funkcja odpowiedzi
• Równanie Lindblada
• Propagator
• Funkcja korelacji (kwantowa teoria pola)
• Numeryczna kontynuacja analityczna

Książki

• Bonch-Bruevich VL, Tyablikov SV (1962): Metoda funkcji zielonej w mechanice statystycznej. North Holland Publishing Co.
• Abrikosov, AA, Gorkov, LP i Dzialoshinski, IE (1963): Metody kwantowej teorii pola w fizyce statystycznej Englewood Cliffs: Prentice-Hall.
• Negele, JW i Orland, H. (1988): Quantum Many-Particle Systems AddisonWesley.
•   Zubarev DN , Morozov V., Ropke G. (1996): Statystyczna mechanika procesów nierównowagowych: podstawowe pojęcia, teoria kinetyczna (tom 1). John Wiley & Synowie. ISBN 3-05-501708-0 .
•   Mattuck Richard D. (1992), Przewodnik po diagramach Feynmana w problemie wielu ciał , Dover Publications, ISBN 0-486-67047-3 .

Dokumenty tożsamości

• Bogolyubov NN , Tyablikov SV Opóźnione i zaawansowane funkcje Greena w fizyce statystycznej, fizyka radziecka Doklady, tom. 4 , str. 589 (1959).
• Zubarev DN , Podwójne funkcje Greena w fizyce statystycznej , Soviet Physics Uspekhi 3 (3), 320–345 (1960).

Linki zewnętrzne

•   Linear Response Functions w Eva Pavarini, Erik Koch, Dieter Vollhardt i Alexander Lichtenstein (red.): DMFT at 25: Infinite Dimensions, Verlag des Forschungszentrum Jülich, 2014 ISBN 978-3-89336-953-9