Numeryczna kontynuacja analityczna

W fizyce wielu ciał problem kontynuacji analitycznej polega na numerycznym wyodrębnieniu gęstości widmowej funkcji Greena , biorąc pod uwagę jej wartości na osi urojonej. Jest to niezbędny krok przetwarzania końcowego do obliczania dynamicznych właściwości układów fizycznych na podstawie kwantowych symulacji Monte Carlo , które często obliczają wartości funkcji Greena tylko w czasach urojonych lub przy częstotliwościach Matsubary .

Matematycznie problem sprowadza się do rozwiązania równania całkowego Fredholma pierwszego rodzaju ze źle uwarunkowanym jądrem. W rezultacie jest to źle postawiony problem odwrotny bez unikalnego rozwiązania, w którym mały szum na wejściu prowadzi do dużych błędów w nieuregulowanym rozwiązaniu . Istnieją różne metody rozwiązania tego problemu, w tym metoda maksymalnej entropii, metoda średniego widma i metody aproksymacji Pade'a.

Przykłady

Częstym analitycznym problemem kontynuacji jest uzyskanie funkcji widmowej $mathcal {G}} (i \ omega _ {n})}$ $ZA$ częstotliwościach z wartości funkcji Greena . $n$ przy częstotliwościach Matsubary ${\ textstyle \ omega _ {n}}$ przez numeryczne odwrócenie równania całkowego

${\ Displaystyle {\ mathcal {G}} (i \ omega _ {n}) = \ int _ {- \infty }^{\infty}{\frac {d\omega }{2\pi}}{\frac {1}{i\omega _{n}-\omega }}\;A(\omega)}$

gdzie ${\ textstyle \ omega _ {n} = (2n + 1) \ pi / \ beta}$ dla systemów fermionowych lub ${\ textstyle \ omega _ {n}=2n\pi /\beta }$ dla bozonowych i ${\textstyle \beta =1/T}$ to temperatura odwrotna. Ta relacja jest przykładem Relacja Kramersa-Kroniga .

Funkcję widmową można również powiązać z funkcją Greena w czasie urojonym stosując odwrotną transformatę Fouriera do powyższego równania ${\ textstyle {\ mathcal {G}} (\ tau)}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {G}} (\ tau) \ \ dwukropek = {\ Frac {1} {\ beta}} \ suma _ {\ omega _ {n}} e ^ {-i \ omega _ {n }\tau }{\mathcal {g}}(i\omega _{n})=\int _{-\infty }^{\infty}}{\frac {d\omega}{2\pi}}A( \omega ){\frac {1}{\beta }}\sum _{\omega _{n}}{\frac {e^{-i\omega _{n}\tau }}{i\omega _{ n}-\omega}}}$

z ${\ textstyle \ tau \ w [0, \ beta]}$ . Ocena sumowania po częstotliwościach Matsubary daje pożądaną zależność

${\ Displaystyle {\ mathcal {G}} (\ tau) = \ int _ {- \ infty } ^{\infty }{\frac {d\omega }{2\pi }}{\frac {-e^{-\tau \omega }}{1\pm e^{-\beta \omega }}} A(\omega)}$

gdzie górny znak dotyczy układów fermionowych, a dolny znak bozonowych.

Innym przykładem kontynuacji analitycznej jest obliczenie przewodnictwa optycznego $prąd$ podstawie wartości funkcji korelacji prąd- $n})}$ $\ Displaystyle \ Pi (i \ omega$ na częstotliwościach Matsubary. Oba są powiązane w następujący sposób

${\ Displaystyle \ Pi (i \ omega _ {n}) = \ int _ {0} ^ {\ infty }{\frac {d\omega }{\pi }}{\frac {2\omega ^{2}}{\omega _{n}^{2}+\omega ^{2}}}\;A( \omega )}$

Oprogramowanie

Projekt Maxent : narzędzie typu open source do przeprowadzania analitycznej kontynuacji przy użyciu metody maksymalnej entropii.
Spektra : Darmowe narzędzie online do przeprowadzania analitycznej kontynuacji przy użyciu metody średniego widma.
SpM : rzadkie narzędzie do modelowania służące do analitycznej kontynuacji funkcji Greena w czasie urojonym.

Zobacz też