Lindbladianin

W mechanice kwantowej równanie Goriniego – Kossakowskiego – Sudarshana – Lindblada ( równanie GKSL , nazwane na cześć Vittorio Goriniego , Andrzeja Kossakowskiego , George'a Sudarshana i Göran Lindblada ), równanie główne w postaci Lindblada , kwantowe Liouvillian lub Lindbladian jest jedną z ogólnych form Równania główne Markowa i jednorodne w czasie opisujące (ogólnie niejednolitą) ewolucję macierzy gęstości ρ który zachowuje prawa mechaniki kwantowej (tj. zachowuje ślady i jest całkowicie dodatni dla dowolnego warunku początkowego).

Równanie Schrödingera jest szczególnym przypadkiem bardziej ogólnego równania Lindblada, co doprowadziło do spekulacji, że mechanikę kwantową można produktywnie rozszerzyć i rozszerzyć poprzez dalsze zastosowanie i analizę równania Lindblada. Równanie Schrödingera dotyczy wektorów stanu , które mogą opisywać tylko czyste stany kwantowe , a zatem są mniej ogólne niż macierze gęstości , które mogą również opisywać stany mieszane .

Motywacja

W kanonicznym sformułowaniu mechaniki kwantowej ewolucją systemu w czasie rządzi jednostkowa dynamika. Oznacza to, że nie ma rozpadu, a spójność faz jest utrzymywana przez cały proces i jest konsekwencją faktu, że uwzględniane są wszystkie uczestniczące stopnie swobody. Jednak żaden rzeczywisty system fizyczny nie jest całkowicie odizolowany i będzie wchodzić w interakcje ze swoim otoczeniem. To oddziaływanie z zewnętrznymi w stosunku do układu stopniami swobody powoduje rozproszenie energii do otoczenia, powodując zanik i randomizację fazy. Co więcej, zrozumienie interakcji układu kwantowego z jego otoczeniem jest niezbędne do zrozumienia wielu powszechnie obserwowanych zjawisk, takich jak spontaniczna emisja światła ze wzbudzonych atomów lub działanie wielu kwantowych urządzeń technologicznych, takich jak laser.

Pewne techniki matematyczne zostały wprowadzone do badania interakcji układu kwantowego z jego otoczeniem. Jednym z nich jest użycie macierzy gęstości i powiązanego z nią równania głównego. Chociaż w zasadzie to podejście do rozwiązywania dynamiki kwantowej jest równoważne z obrazem Schrödingera lub obrazem Heisenberga , pozwala na łatwiejsze włączenie niespójnych procesów, które reprezentują interakcje środowiskowe. Operator gęstości ma tę właściwość, że może reprezentować klasyczną mieszaninę stanów kwantowych, dlatego jest niezbędny do dokładnego opisu dynamiki tak zwanych otwartych układów kwantowych.

Definicja

Mówiąc bardziej ogólnie, główne równanie Lindblada dla macierzy gęstości ρ systemu N - wymiarowego można zapisać jako (we wprowadzeniu pedagogicznym można się do niego odnieść)

${\ Displaystyle {\ kropka {\ rho}} = - {i \ nad \ hbar} [H, \ rho] + \ suma _ {n, m = 1} ^ {N ^ {2} -1} h_ {nm }\left(A_{n}\rho A_{m}^{\sztylet}-{\frac {1}{2}}\left\{A_{m}^{\sztylet }A_{n},\rho \prawo\}\prawo)}$

gdzie H jest ( hermitowską ) częścią Hamiltona i $jest$ dowolną ortonormalną operatorów Hilberta -Schmidta w przestrzeni Hilberta z zastrzeżeniem ZA _{N ²} jest proporcjonalne do operatora tożsamości (tj. ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {tr} \ {A_ {m} ^ {\ sztylet} A_ {n} \} = \ delta _ {mn}})$ . Nasza konwencja implikuje, że pozostałe Am są bezśladowe i zauważmy _, że sumowanie prowadzi tylko do   N ² − 1 , wykluczając w ten sposób jedyną macierz bazową z niezerowym śladem. Macierz współczynników h wraz z hamiltonianem określa dynamikę układu. Macierz h musi być dodatnia, półokreślona , ​​aby zapewnić, że równanie zachowuje ślad i jest całkowicie dodatnie. Antykomutator jest zdefiniowany jako ${\ Displaystyle \ {a, b \} = ab + ba.}$

Jeśli wszystkie h _mn są równe zero, to sprowadza się to do kwantowego równania Liouville'a dla układu zamkniętego, ${\ Displaystyle {\ kropka {\ rho}} = - ( ja /\hbar )[H,\rho ]}$ . Jest to również znane jako równanie von Neumanna i jest kwantowym odpowiednikiem klasycznego równania Liouville'a .

Ponieważ macierz h jest dodatnio półokreślona, ​​można ją diagonalizować za pomocą przekształcenia jednostkowego u :

${\ Displaystyle u ^ {\ sztylet} hu = {\ rozpocząć {bmatrix} \ gamma _ {1} i 0 i \ cdots & 0 \\0&\gamma _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\gamma _{N^{2}-1}\end{bmatrix}} }$

gdzie wartości własne γ _i są nieujemne. Jeśli zdefiniujemy inną bazę operatora ortonormalnego

${\ Displaystyle L_ {i} = \ suma _ {j = 1} ^ {N ^ {2} -1} u_ {ji} A_ {j} }$

możemy przepisać równanie Lindblada w postaci ukośnej

${\ Displaystyle {\ kropka {\ rho}} = - {i \ ponad \ hbar} [H, \ rho] + \ suma _ {i = 1} ^ {N ^ {2} -1} \ gamma _ {i }\left(L_{i}\rho L_{i}^{\sztylet}-{\frac {1}{2}}\left\{L_{i}^{\sztylet }L_{i},\rho \prawo\}\prawo).}$

Nowi operatorzy Li _są powszechnie nazywani operatorami Lindblada lub operatorami skoku systemu.

Kwantowa półgrupa dynamiczna

Główny artykuł: półgrupa Quantum Markowa

$czasów są zbiorczo$ jako półgrupa dynamiczna kwantowa - rodzina dynamicznych map kwantowych na przestrzeni macierzy gęstości indeksowanych przez pojedynczy parametr czasu ${\ displaystyle t \ geq 0}$ , które są zgodne z właściwością półgrupy

${\ Displaystyle \ phi _ {s} (\ phi _ {t} (\ rho)) = \ phi _ { t+s}(\rho ),\qquad t,s\geq 0.}$

Równanie Lindblada można uzyskać przez

${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} (\ rho) = \ operatorname {lim} _ {\ Delta t \ do 0}{\frac {\phi _{\Delta t}(\rho )-\phi _{0}(\rho)}{\Delta t}}}$

$który$ przez liniowość jest liniowym Półgrupę można odzyskać jako

${\ Displaystyle \ fi _ {t + s} (\ rho) = e ^ {{\ mathcal {L}} s} \ fi _ {t} (\ rho).}$

Właściwości niezmienności

Równanie Lindblada jest niezmienne przy dowolnej transformacji jednostkowej v operatorów i stałych Lindblada,

$\ gamma _ {i}}} L_ {i} \ do { \sqrt {\gamma _{i}'}}L_{i}'=\suma _{j=1}^{N^{2}-1}v_{ij}{\sqrt {\gamma_{j} }}L_{j},}$

a także w ramach transformacji niejednorodnej

${\ Displaystyle L_ {i} \ do L_ {i} '= L_ {i} + a_ {i} ja,}$

${\ Displaystyle H \ do H '= H + {\ Frac {1} {2i}} \ suma _ {j = 1} ^ {N ^ {2} -1} \ gamma _ {j} \ lewo (a_ {j}^{*}L_{j}-a_{j}L_{j}^{\sztylet}\right)+bI,}$

gdzie a _i to liczby zespolone, a b to liczba rzeczywista. Jednak pierwsza transformacja niszczy ortonormalność operatorów L _i (chyba że wszystkie γ _i są równe), a druga transformacja niszczy bezśladowość. Dlatego aż do degeneracji wśród γ _i , Li _. diagonalnej postaci równania Lindblada są jednoznacznie określone przez dynamikę, o ile wymagamy, aby były ortonormalne i bezśladowe

obraz Heisenberga

Ewolucję macierzy gęstości typu Lindblada na obrazie Schrödingera można równoważnie opisać na obrazie Heisenberga za pomocą następującego (przekątnego) równania ruchu dla każdego obserwowalnego kwantowego X :

${\ Displaystyle {\ kropka {X}} = {\ Frac {i} {\ hbar}} [H, X] + \ suma _ {i = 1} ^ {N ^ {2} -1} \ gamma _ { i}\left(L_{i}^{\sztylet }XL_{i}-{\frac {1}{2}}\left\{L_{i}^{\sztylet }L_{i},X\right \}\Prawidłowy).}$

Podobne równanie opisuje ewolucję w czasie wartości oczekiwanych obserwowalnych, określonych przez twierdzenie Ehrenfesta . Zgodnie z właściwością zachowania śladu równania Lindblada z obrazem Schrödingera, równanie z obrazem Heisenberga jest jednościowe , tj. zachowuje operator identyczności.

Wyprowadzenie fizyczne

Główne równanie Lindblada opisuje ewolucję różnych typów otwartych układów kwantowych, np. układu słabo sprzężonego ze zbiornikiem Markowa. Należy zauważyć, że H pojawiające się w równaniu niekoniecznie jest równe hamiltonianowi samego układu, ale może również obejmować efektywną dynamikę jednostkową wynikającą z interakcji system-środowisko.

Wyprowadzenie heurystyczne, np . w notatkach Preskilla , zaczyna się od bardziej ogólnej postaci otwartego układu kwantowego i przekształca ją w postać Lindblada, przyjmując założenie Markowa i rozszerzając w krótkim czasie. Bardziej motywowane fizycznie standardowe traktowanie obejmuje trzy powszechne typy wyprowadzeń Lindbladianu, zaczynając od hamiltonianu działającego zarówno na system, jak i środowisko: granicę słabego sprzężenia (szczegółowo opisaną poniżej), przybliżenie małej gęstości i granicę sprzężenia osobliwego. Każdy z nich opiera się na określonych fizycznych założeniach dotyczących np. funkcji korelacji środowiska. Na przykład w wyprowadzaniu granicy słabego sprzężenia zwykle zakłada się, że (a) korelacje systemu z otoczeniem rozwijają się powoli, (b) wzbudzenia środowiska spowodowane szybkim rozpadem systemu oraz (c) szybko oscylujące wyrazy w porównaniu z interesującą nas skalą czasową systemu można pominąć. Te trzy przybliżenia nazywane są odpowiednio Bornem, Markowem i falą wirującą.

Wyprowadzenie granicy słabego sprzężenia zakłada układ kwantowy o skończonej liczbie stopni swobody sprzężony z kąpielą zawierającą nieskończoną liczbę stopni swobody. Zarówno system, jak i łaźnia posiadają hamiltonian zapisany w kategoriach operatorów działających tylko na odpowiednią podprzestrzeń całkowitej przestrzeni Hilberta. Te hamiltoniany rządzą wewnętrzną dynamiką niezwiązanego układu i kąpieli. Istnieje trzeci hamiltonian, który zawiera iloczyny operatorów systemu i łaźni, łącząc w ten sposób system i kąpiel. Najbardziej ogólną formą tego hamiltonianu jest

${\ Displaystyle H = H_ {S} + H_ {B} + H_ {BS} \,}$

Dynamikę całego układu można opisać równaniem ruchu Liouville'a . ${\ Displaystyle {\ kropka {\ chi}} = -i [H, \ chi]}$ . To równanie, zawierające nieskończoną liczbę stopni swobody, jest niemożliwe do rozwiązania analitycznego, z wyjątkiem bardzo szczególnych przypadków. Co więcej, przy pewnych przybliżeniach nie trzeba uwzględniać stopni swobody kąpieli, a efektywne równanie główne można wyprowadzić na podstawie macierzy gęstości systemu, ${\ Displaystyle \ rho = \ operatorname {tr} _ {B} \ chi}$ . Problem można łatwiej przeanalizować, przechodząc do obrazu interakcji, zdefiniowanego przez transformację jednostkową ${\ Displaystyle {\ tylda {M}} = U_ {0} MU_ {0} ^ {\ sztylet} }$ , gdzie jest $dowolnym$ operatorem i $) T}}$ . $jest$ również zauważyć, że systemu Łatwo jest potwierdzić, że równanie Liouville'a staje się

${\ Displaystyle {\ kropka {\ tylda {\ chi}}} = -i [{\ tylda {H}} _ {BS}, {\ tylda { \chi }}]\,}$

gdzie Hamiltonian ${\ Displaystyle {\ tylda {H}} _ {BS} = e ^ { i(H_{S}+H_{B})t}H_{BS}e^{-i(H_{S}+H_{B})t}} jest$ jawnie zależne od czasu. Ponadto, zgodnie z obrazem interakcji, ${\ Displaystyle {\ tylda {\ chi}} = U_ {BS} (t, t_ {0}) \ chi U_ {BS} ^ {\ sztylet} (t t_ {0})}$ , gdzie ${\ Displaystyle U_ {BS} = U_ {0} ^ {\ sztylet} U (t, t_ {0})}$ . To równanie można zintegrować bezpośrednio, aby dać

${\ Displaystyle {\ tylda {\ chi}} (t) = { \tylda {\chi}}(0)-i\int _{0}^{t}dt'[{\tylda {H}}_{BS}(t'),{\tylda {\chi}}( T')]}$

To domniemane równanie dla można wstawić z powrotem do równania Liouville'a, aby uzyskać dokładne równanie różniczkowo-całkowe ${\ Displaystyle {\ tylda {\ chi}}}$

${\ Displaystyle {\ kropka {\ tylda {\ chi}}} = - i [{\ tylda {H}} _ {BS}, {\ tylda {\ chi}} (0)] - \ int _ {0} ^{t}dt'[{\tylda {H}}_{BS}(t),[{\tylda {H}}_{BS}(t'),{\tylda {\chi}}(t' )]]}$

Kontynuujemy wyprowadzenie, zakładając, że interakcja jest inicjowana w ${\ displaystyle t = 0}$ iw tym czasie nie ma korelacji między systemem a kąpielą. Oznacza to, że warunek początkowy można rozłożyć na czynniki , gdzie ${\ Displaystyle \ chi (0) = \ rho (0) R_ {0}$$to$ gęstość początkowo operator łaźni.

Śledzenie stopni swobody kąpieli, ${\ Displaystyle \ operatorname {tr} _ {R} {\ tylda {\ chi}} = {\ tylda {\ rho}}} wyżej$ wymienionego wydajności równań różniczkowo-całkowych

${\ Displaystyle {\ kropka {\ tylda {\ rho}}} = - \ int _ {0} ^ {t} dt '\ nazwa operatora {tr} _ {R} \ {[{\ tylda {H}} _ { BS}(t),[{\tylda {H}}_{BS}(t'),{\tylda {\chi}}(t')]]\}}$

To równanie jest dokładne dla dynamiki czasowej macierzy gęstości układu, ale wymaga pełnej znajomości dynamiki kąpieli stopni swobody. Upraszczające założenie zwane przybliżeniem Borna opiera się na wielkości kąpieli i względnej słabości sprzężenia, co oznacza, że ​​sprzężenie układu z kąpielą nie powinno znacząco zmieniać stanów własnych kąpieli. W tym przypadku macierz pełnej gęstości jest rozkładana na czynniki przez cały czas, ponieważ ${\ Displaystyle {\ tylda {\ chi}} (t) = {\ tylda {\ rho}} (t )R_{0}}$ . Równanie główne staje się

${\ Displaystyle {\ kropka { \tylda {\rho}}}=-\int _{0}^{t}dt'\operatorname {tr} _{R}\{[{\tylda {H}}_{BS}(t),[ {\tylda {H}}_ {BS}(t'), {\tylda {\rho}}(t')R_{0}]]\}}$

Równanie jest teraz wyraźne w systemie stopni swobody, ale jest bardzo trudne do rozwiązania. Ostatnim założeniem jest przybliżenie Borna-Markowa, że ​​pochodna czasowa macierzy gęstości zależy tylko od jej stanu obecnego, a nie od jej przeszłości. To założenie jest ważne przy dynamice szybkiej kąpieli, w której korelacje w kąpieli są tracone niezwykle szybko i sprowadza się do zastąpienia ${\ Displaystyle \ rho (t') \ rightarrow \ rho (t)}$ po prawej stronie równania.

${\ Displaystyle {\ kropka {\ tylda {\ rho}}} = - \ int _ {0} ^ {t} dt '\ nazwa operatora {tr} _ {R} \ {[{\ tylda {H}} _ { BS}(t),[{\tylda {H}}_{BS}(t'),{\tylda {\rho}}(t)R_{0}]]\}}$

Jeśli przyjmuje się, że hamiltonian interakcji ma postać

${\ Displaystyle H_ {BS} = \ suma _ {i} \ alfa _ {i} \ Gamma _ {i}}$

dla operatorów systemu i operatorów łaźni ${\ Displaystyle {\ tylda {H}}_{BS}=\sum _{i}{\tylda {\alfa}}_{i}{\tylda {\Gamma}}_{i}}$$Displaystyle \ Gamma _ {i}$$}$ następnie . Równanie główne staje się

${\ Displaystyle {\ kropka {\ tylda {\ rho}}} = - \ suma _ {i} \ int _ {0} ^ {t} dt '\ operatorname {tr} _ {R} \ {[{ \tylda {\alpha}}_{i}(t){\tylda {\Gamma}}_{i}(t),[{\tylda {\alpha}}_{j}(t'){\tylda {\Gamma}}_ {j}(t'), {\tylda {\rho}}(t)R_{0}]]\}}$

które można rozszerzyć jako

${\ Displaystyle {\ kropka {\ tylda {\ rho}}} = - \ suma _ {i} \ int _ {0} ^ {t} dt '\ lewo [\ lewo ({\ tylda {\ alfa}} _ {i}(t){\tylda {\alfa}}_{j}(t'){\tylda {\rho}}(t)-{\tylda {\alfa}}_{i}(t){ \tylda {\rho}}(t){\tylda {\alpha}}_{j}(t')\right)\langle {\tylda {\Gamma}}_{i}(t){\tylda { \Gamma}}_ {j}(t')\rangle +\left({\tylda {\rho}}(t){\tylda {\alpha}}_{j}(t'){\tylda {\ alfa }} _ {i} (t) - {\ tylda {\ alfa}} _ {j} (t') {\ tylda {\ rho}} (t) {\ tylda {\ alfa}} _ {i} (t)\right)\langle {\tylda {\Gamma}}_ {j}(t'){\tylda {\Gamma}}_{i}(t)\rangle \right]}$

⟨ $rangle = \ operatorname {tr} \ {\ Gamma _ { i}\Gamma _{j}R_{0}\}}$ odnoszą się do stopni swobody kąpieli. Zakładając szybki zanik tych korelacji (idealnie ${\ Displaystyle \ langle \ Gamma _ {i} (t) \ Gamma _ {j} (t') \ rangle \ propto \ delta (tt')} ), osiąga się powyższą postać superoperatora Lindblada$ L .

Przykłady

Dla jednego operatora skoku $,$ superoperator Lindblada , działający na macierzy gęstości to ${\ displaystyle \ rho}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} [F] (\ rho) = {F \ rho fa ^ {\sztylet}}-{\frac {1}{2}}\left(F^{\sztylet}F\rho +\rho F^{\sztylet}F\prawo)}$

Taki termin regularnie występuje w równaniu Lindblada używanym w optyce kwantowej , gdzie może wyrażać absorpcję lub emisję fotonów ze zbiornika. Jeśli ktoś chce mieć zarówno absorpcję, jak i emisję, potrzebny byłby operator skoku dla każdego. Prowadzi to do najpowszechniejszego równania Lindblada opisującego tłumienie kwantowego oscylatora harmonicznego (reprezentującego np. wnękę Fabry'ego-Perota ) sprzężonego z kąpielą termalną , z operatorami skoku

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} F_ {1} & = a, & \ gamma _ {1} & = {\ tfrac {\ gamma} {2}} \ lewo ({\ overline {n}} + 1 \ po prawej),\\F_{2}&=a^{\sztylet},&\gamma _{2}&={\tfrac {\gamma }{2}}{\overline {n}}.\end{wyrównane }}}$

Tutaj $γ$ średnia liczba wzbudzeń w zbiorniku tłumiących oscylator, a to zaniku. Jeśli dodamy również dodatkową ewolucję jednostkową generowaną przez kwantowy oscylator harmoniczny hamiltonian z częstotliwością $do {\ Displaystyle \ omega _ {c}}$ otrzymamy

${\ Displaystyle {\ kropka {\ rho}} = -i [\ omega _ {c} a ^ {\ sztylet} a, \ rho] + \ gamma _ {1} {\ mathcal {D}} [F_ {1 }](\rho )+\gamma _{2}{\mathcal {D}}[F_{2}](\rho).}$

Można uwzględnić dodatkowych operatorów Lindblada w celu modelowania różnych form odfazowania i relaksacji wibracyjnej. Metody te zostały włączone do macierzy gęstości opartych na siatce .

Zobacz też

• Kwantowe równanie główne
• Równanie Redfielda
• Otwarty system kwantowy
• Metoda skoku kwantowego

•   Chruściński, Dariusz; Pascazio, Saverio (2017). „Krótka historia równania GKLS”. Systemy otwarte i dynamika informacji . 24 (3). ar Xiv : 1710.05993 . Bibcode : 2017OSID...2440001C . doi : 10.1142/S1230161217400017 . S2CID 90357 .
• Kossakowski A. (1972). „O kwantowej mechanice statystycznej układów niehamiltonowskich”. Reprezentant matematyki. fizyka . 3 (4): 247. Bibcode : 1972RpMP....3..247K . doi : 10.1016/0034-4877(72)90010-9 .
• Belavin, AA; Zel'dovich, B. Ya.; Perełomow, AM; Popow, VS (1969). „Relaksacja systemów kwantowych z równoodległymi widmami” . JETP . 29 : 145. Bibcode : 1969JETP...29..145B .
•   Lindblad, G. (1976). „O generatorach półgrup dynamicznych kwantowych” . Komuna. Matematyka fizyka . 48 (2): 119. Bibcode : 1976CMaPh..48..119L . doi : 10.1007/BF01608499 . S2CID 55220796 .
• Gorini, V.; Kossakowski, A.; Sudarshan, EKG (1976). „Całkowicie pozytywne dynamiczne półgrupy systemów N-poziomowych”. J. Matematyka. fizyka . 17 (5): 821. Bibcode : 1976JMP....17..821G . doi : 10.1063/1.522979 .
•   Banki, T.; Susskind, L.; Peskin, ME (1984). „Trudności w ewolucji stanów czystych w stany mieszane”. Fizyka Jądrowa B. 244 (1): 125–134. Bibcode : 1984NuPhB.244..125B . doi : 10.1016/0550-3213(84)90184-6 . OSTI 1447054 .
•   Accardi, Luigi; Lu, gang Yun; Wołowicz, IV (2002). Teoria kwantowa i jej granica stochastyczna . Nowy Jork: Springer Verlag. ISBN 978-3-5404-1928-0 .
•    Alicki, Robert (2002). „Zaproszenie do półgrup dynamicznych kwantowych”. Dynamika rozpraszania . Notatki z wykładów z fizyki. 597 : 239. arXiv : quant-ph/0205188 . Bibcode : 2002LNP...597..239A . doi : 10.1007/3-540-46122-1_10 . ISBN 978-3-540-44111-3 . S2CID 118089738 .
•   Alicki, Robert; Lendi, Karl (1987). Kwantowe dynamiczne półgrupy i zastosowania . Berlin: Springer Verlag. ISBN 978-0-3871-8276-6 .
•   Attal, Stéphane; Joye, Alain; Proszek, Claude-Alain (2006). Otwarte systemy kwantowe II: podejście Markowa . Skoczek. ISBN 978-3-5403-0992-5 .
•   Gardiner, CW; Zoller, Piotr (2010). Hałas kwantowy . Seria Springera w Synergetics (wyd. 3). Berlin Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-3-642-06094-6 .
•   Ingarden, Roman S.; Kossakowski, A.; Ohya, M. (1997). Dynamika informacji i systemy otwarte: podejście klasyczne i kwantowe . Nowy Jork: Springer Verlag. ISBN 978-0-7923-4473-5 .

•   Tarasow, Wasilij E. (2008). Mechanika kwantowa systemów niehamiltonowskich i dyssypatywnych . Amsterdam, Boston, Londyn, Nowy Jork: Elsevier Science. ISBN 978-0-0805-5971-1 .
• Pearle, P. (2012). „Proste wyprowadzenie równania Lindblada”. Europejski Dziennik Fizyki , 33 (4), 805.

Linki zewnętrzne

• Quantum Optics Toolbox dla Matlaba
• mcsolve Quantum jump (monte carlo) solver z QuTiP.
• QuantumOptics.jl zestaw narzędzi optyki kwantowej w Julii.
• Główne równanie Lindblada