Superoperator

W fizyce superoperator jest operatorem liniowym działającym na przestrzeni wektorowej operatorów liniowych .

Czasami termin ten odnosi się bardziej konkretnie do całkowicie pozytywnej mapy , która również zachowuje lub nie zwiększa śladu swojej argumentacji . To wyspecjalizowane znaczenie jest szeroko stosowane w dziedzinie obliczeń kwantowych , zwłaszcza programowania kwantowego , ponieważ charakteryzują one odwzorowania między macierzami gęstości .

Użycie superprzedrostka nie jest w żaden sposób związane z jego innym zastosowaniem w fizyce matematycznej. Oznacza to, że superoperatorzy nie mają związku z supersymetrią i superalgebrą , które są rozszerzeniami zwykłych pojęć matematycznych zdefiniowanych przez rozszerzenie pierścienia liczb tak, aby zawierał liczby Grassmanna . Ponieważ superoperatorzy sami są operatorami, użycie superprzedrostka służy do odróżnienia ich od operatorów, na których działają.

Mnożenie w lewo/w prawo

Definiowanie lewego i prawego superoperatora mnożenia przez ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} (A) [\ rho ] = A \ rho}$ i ${\ Displaystyle {\ mathcal {R}} (A) [\ rho ] = \ rho A}$ odpowiednio można wyrazić komutator jako

${\ Displaystyle [A, \ rho ] = {\ mathcal {L}} (A) [\ rho] - {\ mathcal {R}} (A) [\ rho].}$

Następnie wektoryzujemy macierz $odwzorowaniem$ która jest

${\ Displaystyle \ rho = \ suma _ {i, j} \ rho _ {ij} | i \ rangle \ langle j | \ do | \ rho \ rangle \ rangle = \ suma _ {i, j} \ rho _{ij}|i\rangle \czasami |j\rangle ,}$

gdzie ${\ Displaystyle | \ cdot \ rangle \ rangle}$ oznacza wektor w przestrzeni Focka-Liouville'a. Reprezentacja macierzowa jest następnie obliczana przy użyciu tego samego mapowania ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} (A)}$

${\ Displaystyle A \ rho = \ suma _ {i, j} \ rho _ {ij} A | i \ rangle \ langle j | \ do \ suma _ {i, j}\rho _{ij}(A|i\rangle )\otimes |j\rangle =\sum _{i,j}\rho _{ij}(A\otimes I)(|i\rangle \otimes | j\rangle )=(A\oraz I)|\rho \rangle \rangle ={\mathcal {L}}(A)[\rho ],}$

wskazując, że ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} (A) = A \ czasami ja}$ . Podobnie można pokazać, że ${\ Displaystyle {\ mathcal {R}} (A) = (ja \ czasami A ^ {T})}$ . Te reprezentacje pozwalają nam obliczyć takie rzeczy, jak wartości własne związane z superoperatorami. Te wartości własne są szczególnie przydatne w dziedzinie otwartych systemów kwantowych, gdzie rzeczywiste części superoperatora Lindblada wartości własne wskażą, czy układ kwantowy ulegnie relaksacji, czy nie.

Przykład równania von Neumanna

W mechanice kwantowej równanie Schrödingera wyraża ja $\ Displaystyle i \ hbar {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy t}} \ Psi = {\ kapelusz {H}} \ Psi$ } ewolucja w czasie wektora stanu $operatorem$ działanie hamiltonianu, $jest$ wektory stanu na wektory stanu.

W bardziej ogólnym sformułowaniu Johna von Neumanna stany i zespoły statystyczne są wyrażane przez operatory gęstości , a nie wektory stanów. W tym kontekście ewolucja w czasie operatora gęstości jest wyrażona za pomocą $równania$ von Neumanna, w którym na operatora gęstości działa superoperator odwzorowujący operatory na operatory Definiuje się go, biorąc komutator w odniesieniu do operatora Hamiltona:

${\ Displaystyle i \ hbar {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy t}} \ rho = {\ mathcal {H}} [\ rho]}$

Gdzie

${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} [\ rho] = [{\ kapelusz {H}}, \ rho] \ równoważnik {\ kapelusz {H}}\rho -\rho {\kapelusz {H}}}$

Ponieważ nawiasy komutatora są szeroko stosowane w QM, ta wyraźna prezentacja działania hamiltonianu przez superoperatora jest zwykle pomijana.

Przykładowe pochodne funkcji na przestrzeni operatorów

${\ Displaystyle {\ kapelusz {H}} = {\ kapelusz {H}} ({\ kapelusz {P}$ } } $hat { H}}}{\Delta {\hat {P}}}}}$ {\ jako superoperator odwzorowujący operatora na operatora.

Na przykład, jeśli ${\ Displaystyle H (P) = P ^ {3} = PPP},$ to jego pochodną operatora jest superoperator zdefiniowany przez:

${\ Displaystyle {\ Frac {\ Delta H} {\ Delta P}} [X] = XP ^ {2} + PXP + P ^ {2}X}$

Ta „pochodna operatora” jest po prostu jakobianową macierzą funkcji (operatorów), w której po prostu traktuje się dane wejściowe i wyjściowe operatora jako wektory i rozszerza przestrzeń operatorów w jakiejś bazie. Macierz Jakobianu jest wtedy operatorem (na jednym wyższym poziomie abstrakcji) działającym na tej przestrzeni wektorowej (operatorów).

Zobacz też

Superoperator Lindblada