Całkowicie pozytywna mapa

W matematyce mapa dodatnia to mapa między C*-algebrami , która wysyła elementy dodatnie do elementów dodatnich. Całkowicie pozytywna mapa to taka, która spełnia silniejszy, solidniejszy warunek.

Definicja

Niech ${\ displaystyle A}$ i ${\ displaystyle B}$ będą C * -algebrami . Mapa liniowa $jest$ mapą $displaystyle$ , jeśli odwzorowuje elementy pozytywne pozytywne: $za$ .

Każda mapa liniowa ${\ Displaystyle \ phi: A \ do B}$ indukuje inną mapę

$^ {k \ razy k} \ otimes A \ do \ mathbb {C} ^{k\razy k}\orazy B}$

w naturalny sposób. $Displaystyle \ mathbb {C} ^ {k \ razy k} \ otimes A}$ ZA { jest utożsamiany z C * -algebrą ${\ Displaystyle A ^ {k \ razy k}}$ k ${\ Displaystyle k \ razy k} -$ z wpisami w ${\ Displaystyle A}$ , a następnie ${\ Displaystyle {\ textrm {id}} \ otimes \ phi$ }

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} a_ {11} & \ cdots & a_ {1k} \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_ {k1} & \ cdots & a_ {kk} \ koniec {pmatrix}} \ mapsto {\begin{pmatrix}\phi (a_{11})&\cdots &\phi (a_{1k})\\\vdots &\ddots &\vdots \\\phi (a_{k1})&\cdots &\phi (a_{kk})\end{pmacierz}}.}$

Mówimy, że ${$ k -dodatnie , jeśli $\ mathbb {C} ^ {k \ razy k}} \ otimes \ phi}$ jest mapą dodatnią i nazywa się ją całkowicie dodatnią , jeśli jest k-dodatnia dla wszystkich k. $}$$\ displaystyle \ phi$

Nieruchomości

• $_ (a_ {2})}$ tj dla wszystkich elementów samosprzężonych ${\ Displaystyle a_ {1}, a_ {2} \ w A_ {sa}}$ .
• ponieważ ${\ Displaystyle - \ | a \ | _ {A} 1_ {A} \ równoważnik a \ równoważnik \| a \ | _ {A} 1_ { A}}$ dla wszystkich $norma$ elementów każda odniesieniu do C * -norm, a jej jest równa ${\ Displaystyle \|\ phi (1_ {A}) \|_ {B}}$ . Podobne stwierdzenie z przybliżonymi jednostkami odnosi się do algebr niejednostkowych.
• Zbiór dodatnich funkcjonałów $ZA$$\ displaystyle A}$ stożkiem stożka dodatnich elementów z .

Przykłady

• Każdy *- homomorfizm jest całkowicie dodatni.
• ${\ Displaystyle L (H_ {1}) \ do L (H_ {2}), \ A \ mapsto VAV ^ {\ ast}}$ każdego mapa $L$ jest całkowicie pozytywne. Twierdzenie Stinespringa mówi, że wszystkie odwzorowania całkowicie dodatnie są złożeniem *-homomorfizmów i tych odwzorowań specjalnych.
• $jest$ dodatni funkcjonał w szczególności każdy ) dodatni.
• Każda mapa dodatnia jest całkowicie dodatnia do $\ do C (Y)} .$
• Transpozycja macierzy jest standardowym przykładem pozytywnej mapy, która nie jest 2-dodatnia. Niech T oznacza tę mapę na $\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n \ razy n}}$ . Poniżej znajduje się macierz dodatnia w ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {2 \ razy 2} \ otimes \ mathbb {C} ^ {2 \ razy 2}}$ :
  $${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} {\ rozpocząć {pmatrix} 1 i 0 \\ 0 i 0 \ koniec {pmatrix}} i {\ rozpocząć {pmatrix} 0 i 1 \\ 0 i 0 \ koniec {pmatrix}} \\ {\ rozpocząć {pmatrix} 0&0\\1&0\end{pmatrix}}&{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&1 \\\koniec{bmacierzy}}.}$$
  Obraz tej macierzy pod to $\ otimes T}$ {2}
  $${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} {\ rozpocząć {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \ koniec {pmatrix} }^{T}&{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}^{T}\\{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}^{T}&{ \begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}^{T}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}} ,}$$
  co wyraźnie nie jest dodatnie, mając wyznacznik -1. Ponadto wartości własne tej macierzy wynoszą 1,1,1 i −1. (Tak się składa, że ​​ta macierz jest w rzeczywistości macierzą Choi T ). Nawiasem mówiąc , mówi się, że mapa Φ jest $dodatni$ , jeśli skład T jest . Sama mapa transpozycji jest mapą kopozytywną.

Zobacz też

• Twierdzenie Choi o całkowicie dodatnich mapach