Twierdzenie Choi o całkowicie dodatnich mapach

W matematyce twierdzenie Choi o całkowicie dodatnich mapach jest wynikiem, który klasyfikuje całkowicie dodatnie mapy między skończenie wymiarowymi (macierzowymi) C*-algebrami . Nieskończenie wymiarowe algebraiczne uogólnienie twierdzenia Choi jest znane jako Belavkina „ Radona – Nikodyma ” dla map całkowicie dodatnich.

Oświadczenie

Twierdzenie Choi. Niech ${\ Displaystyle \ Phi: \ mathbb {C} ^ {n \ razy n} \ do \ mathbb {C} ^ {m \ razy m}} będzie$ . Następujące są równoważne:

(i)

Φ

jest

n

-dodatnie (tj.

{\ Displaystyle \ lewo (\ operatorname {id} _ {n} \ czasami \ Phi \ prawo )(A)\in \mathbb {C} ^{n\times n}\otimes \mathbb {C} ^{m\times m}} jest dodatnie, gdy ZA

∈

Displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}\otimes \mathbb {C} ^{n\times n}}

jest dodatnie).

(ii) Macierz z wpisami operatorów

{\ Displaystyle C_ {\ Phi} = \ lewo (\ nazwa operatora {id} _ {n} \ otimes \ Phi \ po prawej) \ lewo (\ suma _ {ij} E_ {ij} \ otimes E_ {ij} \ po prawej) =\sum _{ij}E_{ij}\otimes \Phi (E_{ij})\in \mathbb {C} ^{nm\times nm}} jest dodatnie, gdzie

E

\ displaystyle E_{ij}\in \mathbb {C} ^{n\times n}}

to macierz z 1 w

ij

-tym wpisie i zerami w innych miejscach. (Macierz C _Φ jest czasami nazywana macierzą Choi

Φ

.)

(iii)

Φ

jest całkowicie dodatnia.

Dowód

(i) implikuje (ii)

Obserwujemy, że jeśli

\ Displaystyle E = \ suma _ {ij} E_ {ij} \ czasami E_ {ij},}

wtedy E = E ^* i E ² = nE , więc E = n ⁻¹ EE ^* co jest dodatnie. Zatem C _Φ =( I _n ⊗ Φ)( E ) jest dodatnie przez n -pozytywność Φ.

(iii) implikuje (i)

To jest trywialne.

(ii) implikuje (iii)

Wiąże się to głównie z poszukiwaniem różnych sposobów patrzenia na C ^{nm × nm} :

{\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {nm \ razy nm} \ cong \ mathbb {C} ^ {nm} \ otimes (\ mathbb {C} ^ {nm}) ^ {*} \ cong \ mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{m}\otimes (\mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{m})^{*}\cong \mathbb {C} ^{n}\otimes (\mathbb {C} ^{n})^{*}\otimes \mathbb {C} ^{m}\otimes (\mathbb {C} ^{m})^{*}\ cong \mathbb {C} ^{n\razy n}\orazy \mathbb {C} ^{m\razy m}.}

Niech rozkład wektora własnego C _Φ będzie

{\ Displaystyle C _ {\ Phi} = \ suma _ {i = 1} ^ {nm} \ lambda _ {i} v_ {i} v_ { i}^{*},}

$_$ wektory leżą C ^nm . Z założenia każda wartość własna $v$ , więc możemy wchłonąć wartości własne w wektorach własnych i przedefiniować tak, że $\ displaystyle v_ {i}}$

{\ Displaystyle \; C_ {\ Phi} = \ suma _ {i = 1} ^ {nm} v_ {i} v_ {i} ^ {*}.}

Przestrzeń wektorową C ^nm można postrzegać jako sumę bezpośrednią ${\ Displaystyle \ textstyle \ oplus _ {i = 1} ^ {n} \ mathbb {C} ^ {m}}$ zgodnie z powyższym identyfikacja ${\ Displaystyle \ textstyle \ mathbb {C} ^ {nm} \ cong \ mathbb {C} ^ {n} \ czasami \ mathbb {C} ^ {m}} i$ standard baza C ⁿ .

Jeśli P _k ∈ C ^{m × nm} jest rzutem na k -tą kopię C ^m , to P _k^* ∈ C ^{nm × m} jest włączeniem C ^m jako k -tej sumy sumy bezpośredniej i

{\ Displaystyle \; \ Phi (E_ {kl}) = P_ {k} \ cdot C_ {\ Phi} \ cdot P_ {l} ^ {*} = \ suma _ {i = 1} ^ {nm} P_ { k}v_{i}(P_{l}v_{i})^{*}.}

Teraz, jeśli operatory V _i ∈ C ^{m × n} są zdefiniowane na k -tym standardowym wektorze bazowym e _k od C ⁿ przez

{\ Displaystyle \; V_ {i} e_ {k} = P_ {k} v_ {i},}

Następnie

{\ Displaystyle \ Phi (E_ {kl}) = \ suma _ {i = 1} ^ {nm} P_ {k} v_ {i} (P_ {l} v_ {i}) ^ {*} = \ suma _ {i=1}^{nm}V_{i}e_{k}e_{l}^{*}V_{i}^{*}=\suma _{i=1}^{nm}V_{i} E_{kl}V_{i}^{*}.}

Rozszerzenie przez liniowość daje nam

{\ Displaystyle \ Phi (A) = \ suma _ {i = 1} ^ {nm} V_ {i} AV_ {i} ^ {*} }

dla dowolnego A ∈ do ^{n × n} . Każda mapa tej postaci jest oczywiście całkowicie dodatnia: mapa $całkowicie$ a suma (po $\displaystyle i}$ $jest$ ) operatorów całkowicie dodatnich jest znowu całkowicie dodatnie. Zatem $pozytywny$ , pożądany wynik.

Powyższe jest zasadniczo oryginalnym dowodem Choi. Znane są również dowody alternatywne.

Konsekwencje

Operatory Krausa

W kontekście kwantowej teorii informacji operatory { V _i } nazywane są operatorami Krausa (od nazwiska Karla Krausa ) funkcji Φ. Zauważ, biorąc pod uwagę całkowicie dodatnie Φ, jego operatory Krausa nie muszą być unikalne. Na przykład dowolna faktoryzacja „pierwiastka kwadratowego” macierzy Choi $C Φ = B * B$ daje zbiór operatorów Krausa.

Pozwalać

{\ Displaystyle B ^ {*} = [b_ {1}, \ ldots, b_ {nm}],}

gdzie b _i * to wektory wierszowe B , zatem

{\ Displaystyle C_ {\ Phi} = \ suma _ {i = 1} ^ {nm} b_ {i} b_ {i} ^ {*}.}

Odpowiednie operatory Krausa można uzyskać za pomocą dokładnie tego samego argumentu z dowodu.

Kiedy operatory Krausa są otrzymywane z rozkładu wektorów własnych macierzy Choi, ponieważ wektory własne tworzą zbiór ortogonalny, odpowiednie operatory Krausa są również ortogonalne w iloczynie wewnętrznym Hilberta – Schmidta . Na ogół nie jest to prawdą w przypadku operatorów Krausa uzyskanych z faktoryzacji pierwiastka kwadratowego. (Dodatnie półokreślone macierze generalnie nie mają unikalnego rozkładu pierwiastków kwadratowych).

Jeśli dwa zbiory operatorów Krausa { A _i } ₁^nm i { B _i } ₁^nm reprezentują tę samą całkowicie dodatnią mapę Φ, to istnieje macierz operatorów unitarnych

{\ Displaystyle \ {U_ {ij} \} _ {ij} \ w \ mathbb {C} ^ {nm ^ {2} \ razy nm ^ {2}} \ quad {\ tekst {taki, że}} \ quad A_ {i}=\suma _{j=1}U_{ij}B_{j}.}

Można to postrzegać jako szczególny przypadek wyniku odnoszącego się do dwóch minimalnych reprezentacji Stinespringa .

Alternatywnie istnieje skalarna macierz izometrii { u _ij } _ij ∈ C ^{nm × nm} taka, że

{\ Displaystyle A_ {i} = \ suma _ {j = 1} u_ {ij} B_ {j}.}

Wynika to z faktu, że dla dwóch macierzy kwadratowych M i N MM * = NN* wtedy i tylko wtedy, gdy M = NU dla pewnego unitarnego U .

Całkowicie kopozytywne mapy

Z twierdzenia Choi wynika natychmiast, że Φ jest całkowicie kopozytywna wtedy i tylko wtedy, gdy ma postać

{\ Displaystyle \ Phi (A) = \ suma _ {i} V_ {i} A ^ {T} V_ {i} ^ {*}.}

Mapy zachowujące hermit

Technikę Choi można wykorzystać do uzyskania podobnego wyniku dla bardziej ogólnej klasy map. Mówimy, że Φ jest hermitowskie, jeśli A jest hermitowskie, implikuje, że Φ( A ) jest również hermitowskie. Można pokazać, że Φ zachowuje hermitowsko wtedy i tylko wtedy, gdy ma postać

{\ Displaystyle \ Phi (A) = \ suma _ {i = 1} ^ {nm} \ lambda _ {i} V_ {i} AV_{i}^{*}}

gdzie λ _i są liczbami rzeczywistymi, wartościami własnymi C _Φ , a każdy V _i odpowiada wektorowi własnemu C _Φ . W przeciwieństwie do przypadku całkowicie dodatniego, C _Φ może nie być dodatnie. Ponieważ macierze hermitowskie ogólnie nie dopuszczają faktoryzacji postaci B * B , reprezentacja Krausa nie jest już możliwa dla danego Φ.

Zobacz też

M.-D. Choi, Całkowicie dodatnie mapy liniowe na złożonych macierzach , Algebra liniowa i jej zastosowania, 10, 285–290 (1975).
VP Belavkin, P. Staszewski, Twierdzenie Radona-Nikodyma dla map całkowicie dodatnich, Reports on Mathematical Physics, t. 24, nr 1, 49–55 (1986).
J. de Pillis, Transformacje liniowe, które zachowują hermitowskie i dodatnie operatory półokreślone , Pacific Journal of Mathematics, 23, 129–137 (1967).