Otwarty system kwantowy

W fizyce otwarty układ kwantowy jest układem kwantowo -mechanicznym, który oddziałuje z zewnętrznym układem kwantowym , znanym jako środowisko lub kąpiel . Ogólnie rzecz biorąc, te interakcje znacząco zmieniają dynamikę układu i skutkują rozproszeniem kwantowym , w taki sposób, że informacje zawarte w systemie są tracone w jego środowisku. Ponieważ żaden system kwantowy nie jest całkowicie odizolowany od otoczenia, ważne jest opracowanie ram teoretycznych do traktowania tych interakcji w celu uzyskania dokładnego zrozumienia systemów kwantowych.

Techniki opracowane w kontekście otwartych systemów kwantowych okazały się skuteczne w takich dziedzinach, jak optyka kwantowa , kwantowa teoria pomiarów , kwantowa mechanika statystyczna , kwantowa informatyka , termodynamika kwantowa , kosmologia kwantowa , biologia kwantowa i półklasyczne przybliżenia.

Układ kwantowy i środowisko

Pełny opis układu kwantowego wymaga uwzględnienia środowiska. Całkowite opisanie powstałego połączonego systemu wymaga następnie uwzględnienia jego środowiska, co skutkuje powstaniem nowego systemu, który można w pełni opisać tylko wtedy, gdy uwzględni się jego środowisko i tak dalej. $rezultatem$ tego procesu osadzania jest stan całego wszechświata opisany funkcją . Fakt, że każdy system kwantowy ma pewien stopień otwartości, oznacza również, że żaden system kwantowy nie może nigdy znajdować się w stanie czystym . Czysty stan jest jednostkowym odpowiednikiem temperatury zerowej stan podstawowy , zabroniony przez trzecią zasadę termodynamiki .

Przegroda łaźni systemowej

$go$ opisać funkcją , ogólnie podsystemu nie można opisać funkcją falową. Ta obserwacja zmotywowała formalizm macierzy gęstości lub operatorów gęstości wprowadzonych przez Johna von Neumanna w 1927 r. I niezależnie, ale mniej systematycznie przez Leva Landaua w 1927 r. I Felixa Blocha w 1946 r. Ogólnie stan podsystemu jest opisywany przez gęstość operator ${\ displaystyle \ rho}$ i wartość oczekiwana obserwowalnego przez iloczyn skalarny $)$$= {\ rm {{tr} \ {\ rho A\}}}}$ . Nie ma sposobu, aby wiedzieć, czy połączony system jest czysty na podstawie znajomości obserwowalnych elementów samego podsystemu. W szczególności, jeśli połączony system ma splątanie kwantowe , stan podsystemu nie jest czysty.

Dynamika

Ogólnie rzecz biorąc, ewolucję w czasie zamkniętych układów kwantowych opisują operatorzy unitarni działający na układ. Jednak w przypadku systemów otwartych interakcje między systemem a jego otoczeniem sprawiają, że dynamiki systemu nie można dokładnie opisać za pomocą samych operatorów unitarnych.

Ewolucję czasową układów kwantowych można określić rozwiązując efektywne równania ruchu, znane również jako równania nadrzędne , które regulują, w jaki sposób macierz gęstości opisująca system zmienia się w czasie oraz dynamikę obserwowalnych obiektów powiązanych z systemem. Generalnie jednak środowisko, które chcemy modelować jako część naszego systemu, jest bardzo duże i skomplikowane, co sprawia, że ​​znalezienie dokładnych rozwiązań równań głównych jest trudne, jeśli nie niemożliwe. Jako taka, teoria otwartych systemów kwantowych poszukuje ekonomicznego traktowania dynamiki systemu i jego obserwowalności. Typowe obserwable będące przedmiotem zainteresowania obejmują takie rzeczy, jak energia i solidność koherencji kwantowej (czyli miara spójności państwa). Utrata energii do otoczenia nazywana jest dyssypacją kwantową , natomiast utrata spójności nazywana jest dekoherencją kwantową .

Ze względu na trudność określenia rozwiązań równań głównych dla określonego systemu i środowiska opracowano różnorodne techniki i podejścia. Wspólnym celem jest uzyskanie zredukowanego opisu, w którym dynamika systemu jest rozpatrywana jawnie, a dynamika kąpieli jest opisana niejawnie. Głównym założeniem jest to, że cała kombinacja system-środowisko jest dużym systemem zamkniętym. Dlatego jego ewolucją w czasie rządzi jednostkowa transformacja generowana przez globalny hamiltonian . W scenariuszu połączonej kąpieli systemowej globalny hamiltonian można rozłożyć na:

${\ Displaystyle H = H _ {\ rm {S}} + H _ {\ rm {B}} + H _ {\ rm {SB}}}$

gdzie ${\ Displaystyle H _ {\ rm {S}}}$ jest hamiltonianem systemu, ${\ Displaystyle H _ {\ rm {B}}}$ jest hamiltonianem kąpieli i ${\ Displaystyle H _ {\ rm { SB}}}$ to interakcja system-kąpiel. Stan systemu można następnie uzyskać z częściowego śledzenia połączonego układu i kąpieli: ${\ Displaystyle \ rho _ {\ rm {S}} (t) = {\ rm {{tr} _ {\ rm {B}} \ {\ rho _ {SB} (t) \}}}}$ .

Innym powszechnym założeniem stosowanym w celu ułatwienia rozwiązywania systemów jest założenie, że stan systemu w następnej chwili zależy tylko od bieżącego stanu systemu. innymi słowy, system nie ma pamięci swoich poprzednich stanów. Systemy, które mają tę właściwość, są znane jako Markowa . To przybliżenie jest uzasadnione, gdy dany system ma wystarczająco dużo czasu, aby system mógł się zrelaksować do równowagi, zanim zostanie ponownie zakłócony interakcjami z otoczeniem. W przypadku systemów, które mają bardzo szybkie lub bardzo częste perturbacje związane z ich sprzężeniem z otoczeniem, to przybliżenie staje się znacznie mniej dokładne.

Równania Markowa

Kiedy interakcja między systemem a środowiskiem jest słaba, teoria zaburzeń zależnych od czasu wydaje się odpowiednia do leczenia ewolucji systemu. Innymi słowy, jeśli interakcja między systemem a jego otoczeniem jest słaba, wówczas wszelkie zmiany w połączonym systemie w czasie można w przybliżeniu uznać za pochodzące tylko z danego systemu. Innym typowym założeniem jest to, że system i kąpiel są początkowo nieskorelowane ${\ Displaystyle \ rho (0) = \ rho _ {\ rm {S}} \ otimes \ rho _ {\ rm {B }}}$ . Pomysł ten pochodzi od Felixa Blocha i został rozwinięty przez Alfreda Redfielda w jego wyprowadzeniu równania Redfielda . Równanie Redfielda jest głównym równaniem Markowa, które opisuje ewolucję w czasie macierzy gęstości połączonego układu. Wadą równania Redfielda jest to, że nie zachowuje ono dodatniej wartości operatora gęstości.

Formalna konstrukcja lokalnego równania ruchu z właściwością Markowa jest alternatywą dla zredukowanego wyprowadzenia. Teoria opiera się na podejściu aksjomatycznym. Podstawowym punktem wyjścia jest całkowicie pozytywna mapa . Założenie jest takie, że początkowy stan środowiska systemowego jest nieskorelowany ${\ Displaystyle \ rho (0) = \ rho _ {\ rm {S}} \ czasami \ rho _ {\ rm {B }}}$ , a połączona dynamika jest generowana przez operatora unitarnego . Taka mapa należy do kategorii Operator Krausa . Najbardziej ogólnym typem jednorodnego w czasie równania głównego z właściwością Markowa opisującą niejednolitą ewolucję macierzy gęstości ρ, która zachowuje ślady i jest całkowicie dodatnia dla dowolnego warunku początkowego, jest równanie Goriniego – Kossakowskiego – Sudarshana – Lindblada lub równanie GKSL :

${\ Displaystyle {\ kropka {\ rho}} _ {\ rm {S}} = - {i \ nad \ hbar} [ H_{\rm {S}},\rho _{\rm {S}}]+{\cal {L}}_{\rm {D}}(\rho _{\rm {S}})}$

${\ Displaystyle H _ {\ rm {S}}}$ jest ( hermitowską ) częścią Hamiltona i ${\ Displaystyle {\ cal {L}} _ {\ rm {D}}}$ :

${\ Displaystyle {\ cal {L}} _ {\ rm {D}} (\ rho _ {\ rm {S}}) = \ suma _ {n} \ lewo (V_ {n} \ rho _ {\ rm {S}}V_{n}^{\sztylet}-{\frac {1}{2}}\left(\rho _{\rm {S}}V_{n}^{\sztylet}V_{n} +V_{n}^{\sztylet}V_{n}\rho _{\rm {S}}\right)\right)}$

$gdzie$ jest częścią rozpraszającą, opisującą pośrednio przez operatorów systemu kąpieli na system Właściwość Markowa narzuca, że ​​system i kąpiel są przez cały czas nieskorelowane ${\ Displaystyle \ rho _ {\ rm {SB}} = \ rho _ {\ rm {S}} \ otimes \ rho _{\rm {B}}}$ . Równanie GKSL jest jednokierunkowe i prowadzi do dowolnego stanu początkowego ${\ Displaystyle \ rho _ {\ rm {S}}}$ do rozwiązania w stanie ustalonym, które jest niezmiennikiem równania ruchu ${\ Displaystyle {\ kropka {\ rho}} _ {\ rm {S}} (t \ rightarrow \ infty) = 0}$ . Rodzina map generowanych przez równanie GKSL tworzy dynamiczną półgrupę kwantową . W niektórych dziedzinach, takich jak optyka kwantowa , termin superoperator Lindblada jest często używany do wyrażenia głównego równania kwantowego dla układu dyssypacyjnego. EB Davis wyprowadził GKSL z właściwością Markowa równania wzorcowe z wykorzystaniem teorii zaburzeń i dodatkowych przybliżeń, takich jak wirująca fala lub świecka, naprawiając w ten sposób wady równania Redfielda . Konstrukcja Davisa jest zgodna z kryterium stabilności Kubo-Martina-Schwingera dla równowagi termicznej, czyli stanu KMS . Alternatywne podejście do naprawy Redfield zaproponowali J. Thingna, J.-S. Wang i P. Hänggi, który pozwala, aby interakcja system-łaźnia odgrywała rolę w równowadze różniącej się od stanu KMS.

W 1981 roku Amir Caldeira i Anthony J. Leggett zaproponowali upraszczające założenie, w którym kąpiel jest rozkładana na tryby normalne reprezentowane jako oscylatory harmoniczne liniowo sprzężone z systemem. W rezultacie wpływ kąpieli można podsumować funkcją widmową kąpieli. Ta metoda jest znana jako model Caldeiry – Leggetta lub model kąpieli harmonicznej. Aby kontynuować i uzyskać jednoznaczne rozwiązania, sformułowanie całki po ścieżce opisu mechaniki kwantowej jest zazwyczaj zatrudniony. Duża część mocy tej metody polega na tym, że oscylatory harmoniczne są stosunkowo dobrze rozumiane w porównaniu z prawdziwym sprzężeniem, które istnieje między systemem a kąpielą. Niestety, chociaż model Caldeiry-Leggetta prowadzi do fizycznie spójnego obrazu dyssypacji kwantowej, jego ergodyczne są zbyt słabe, więc dynamika modelu nie generuje splątania kwantowego na szeroką skalę między modami kąpieli.

Alternatywnym modelem kąpieli jest kąpiel wirowa. W niskich temperaturach i słabym sprzężeniu system-kąpiel modele Caldeira-Leggett i wirówki są równoważne. Jednak w przypadku wyższych temperatur lub silnego sprzężenia układu z kąpielą model kąpieli wirowej ma silne właściwości ergodyczne. Po sprzężeniu systemu między wszystkimi trybami generowane jest znaczne splątanie. Innymi słowy, model kąpieli wirowej może symulować model Caldeiry-Leggetta, ale sytuacja odwrotna nie jest prawdziwa.

Przykładem naturalnego systemu połączonego z kąpielą wirującą jest centrum azotu-wakancji (NV) w diamentach. W tym przykładzie ośrodkiem koloru jest układ, a kąpiel składa się z węgla-13 ( ¹³ C), które oddziałują z układem poprzez oddziaływanie dipol-dipol magnetyczny .

W przypadku otwartych układów kwantowych, w których kąpiel ma szczególnie szybkie oscylacje, możliwe jest ich uśrednienie, patrząc na wystarczająco duże zmiany w czasie. Jest to możliwe, ponieważ średnia amplituda szybkich oscylacji w dużej skali czasu jest równa wartości środkowej, którą zawsze można wybrać jako zero z niewielkim przesunięciem wzdłuż osi pionowej. Ta metoda upraszczania problemów jest znana jako przybliżenie sekularne.

Równania niemarkowskie

Otwarte układy kwantowe, które nie mają właściwości Markowa, są na ogół znacznie trudniejsze do rozwiązania. Wynika to w dużej mierze z faktu, że następny stan systemu niemarkowskiego jest określany przez każdy z jego poprzednich stanów, co szybko zwiększa wymagania pamięciowe do obliczenia ewolucji systemu. Obecnie metody leczenia tych układów wykorzystują tak zwane operatora projekcji . Techniki te wykorzystują operatora projekcji $.$ który skutecznie stosuje śledzenie w środowisku, jak opisano wcześniej Wynik zastosowania ${\ Displaystyle {\ mathcal {P}}}$ do ${\ Displaystyle \ rho}$ (tj. obliczanie $\ Displaystyle \ rho} P. ρ {\ Displaystyle {\ mathcal {P}}$ nazywa się odpowiednią częścią ρ $rho} }$ . Dla kompletności inny operator $jest$ zdefiniowany tak, że $}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}} + {\ mathcal {Q}} = {\ mathcal {$ gdzie ${\ displaystyle {\ mathcal {I}}}$ jest macierzą tożsamości. Wynik zastosowania $)$ ( tj. obliczenia $Q}}}$ jest nieistotną częścią ρ $\ displaystyle {\ mathcal$${\ displaystyle \ rho}$ . Głównym celem tych metod jest następnie wyprowadzenie głównego równania, które definiuje ewolucję ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} \ rho}$ .

Jedno takie wyprowadzenie przy użyciu techniki operatora projekcji skutkuje tak zwanym równaniem Nakajimy – Zwanziga . To wyprowadzenie podkreśla problem nielokalnego w czasie zredukowanej dynamiki:

${\ Displaystyle \ częściowe _ {t} {\ rho} _ {\ operatorname {S}} = {\ mathcal {P}} {\ cal {L}} {{\ rho} _ {\ operatorname {S}}} +\int _{0}^{t}{dt'{\mathcal {K}}({t}'){{\rho}_{\mathrm {S}}}(t-{t}')} .}$

Tutaj efekt kąpieli w czasie ewolucji systemu jest ukryty w jądrze pamięci ${\ displaystyle \ kappa (\ tau)}$ . Chociaż równanie Nakajimy-Zwanziga jest dokładnym równaniem, które obowiązuje dla prawie wszystkich otwartych układów kwantowych i środowisk, może być bardzo trudne do rozwiązania. Oznacza to, że generalnie należy wprowadzić przybliżenia, aby zredukować złożoność problemu do czegoś łatwiejszego do opanowania. Na przykład założenie o szybkiej kąpieli jest wymagane, aby doprowadzić do lokalnego równania czasowego: ${\ Displaystyle \ częściowe _ {t} \ rho _ {S} = {\ cal {L}} \ rho _ {S}}$ . Inne przykłady prawidłowych przybliżeń obejmują przybliżenie słabego sprzężenia i przybliżenie pojedynczego sprzężenia.

W niektórych przypadkach można zastosować technikę operatora projekcji, aby zmniejszyć zależność następnego stanu systemu od wszystkich jego poprzednich stanów. Ta metoda podejścia do otwartych układów kwantowych jest znana jako technika operatora projekcji bez splotu czasowego i służy do generowania równań głównych, które są z natury lokalne w czasie. Ponieważ te równania mogą pomijać większą część historii systemu, często są łatwiejsze do rozwiązania niż równanie Nakajima-Zwanzig.

Inne podejście wyłania się jako analogia klasycznej teorii dyssypacji opracowanej przez Ryogo Kubo i Y. Tanimurę. Podejście to wiąże się z hierarchicznymi równaniami ruchu , które osadzają operatora gęstości w większej przestrzeni operatorów pomocniczych tak, że uzyskuje się lokalne równanie czasowe dla całego zbioru, a ich pamięć zawiera się w operatorach pomocniczych.

Zobacz też

• Równanie Lindblada
• własności Markowa
• Równanie mistrzowskie
• Termodynamika kwantowa

Referencje niesklasyfikowane

•   Accardi, Luigi; Lu, gang Yun; Wołowicz, IV (2002). Teoria kwantowa i jej granica stochastyczna . Nowy Jork: Springer Verlag. ISBN 978-3-540-41928-0 .
•   Alicki, Robert; Lendi, Karl (1987). Kwantowe dynamiczne półgrupy i zastosowania . Berlin: Springer Verlag. ISBN 978-0-387-18276-6 .
•   Attal, Stéphane; Joye, Alain; Proszek, Claude-Alain (2006). Otwarte systemy kwantowe II: podejście Markowa . Skoczek. ISBN 978-3-540-30992-5 .
•   Davies, Edward Brian (1976). Kwantowa teoria systemów otwartych . Londyn: prasa akademicka. ISBN 978-0-12-206150-9 .
•   Ingarden, Roman S.; Kossakowski, A.; Ohya, M. (1997). Dynamika informacji i systemy otwarte: podejście klasyczne i kwantowe . Nowy Jork: Springer Verlag. ISBN 978-0-7923-4473-5 .
•   Lindblad, G. (1983). Entropia nierównowagowa i nieodwracalność . Dordrecht: Delta Reidel. ISBN 978-1-4020-0320-2 .
•   Okołowicz, J.; Płoszajczak, M.; Nazarewicz, W. (2012). „O pochodzeniu klastrów jądrowych”. Postęp dodatku do fizyki teoretycznej . 196 : 230–243. arXiv : 1202.6290 . Bibcode : 2012PThPS.196..230O . doi : 10.1143/PTPS.196.230 . S2CID 119109268 .
•   Tarasow, Wasilij E. (2008). Mechanika kwantowa systemów niehamiltonowskich i dyssypatywnych . Amsterdam, Boston, Londyn, Nowy Jork: Elsevier Science. ISBN 978-0-08-055971-1 .
•   Weiss, Ulrich (2012). Quantum Dissipative Systems (wyd. 4). Świat naukowy. ISBN 978-981-4374-91-0 .
•   Wiseman, Howard M.; Milburn, Gerard J. (2010). Pomiar i kontrola kwantowa . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. ISBN 978-0-521-80442-4 .

Linki zewnętrzne

• Materiały do ​​nauki związane z otwartymi systemami kwantowymi na Wikiwersytecie