Równanie Redfielda

W mechanice kwantowej równanie Redfielda jest głównym równaniem Markowa , które opisuje ewolucję w czasie macierzy o zmniejszonej gęstości ρ silnie sprzężonego układu kwantowego, który jest słabo sprzężony z otoczeniem. Równanie zostało nazwane na cześć Alfreda G. Redfielda, który jako pierwszy zastosował je, robiąc to w przypadku magnetycznego rezonansu jądrowego .

Istnieje ścisłe powiązanie z głównym równaniem Lindblada . Jeśli zostanie wykonane tak zwane przybliżenie świeckie, w którym zachowane zostaną tylko pewne interakcje rezonansowe z otoczeniem, każde równanie Redfielda przekształca się w równanie główne typu Lindblada.

Równania czerwonego pola zachowują ślady i prawidłowo tworzą stan termiczny dla propagacji asymptotycznej. Jednakże, w przeciwieństwie do równań Lindblada, równania Redfielda nie gwarantują dodatniej ewolucji czasowej macierzy gęstości. Oznacza to, że w trakcie ewolucji czasowej możliwe jest uzyskanie populacji ujemnych. Równanie Redfielda zbliża się do prawidłowej dynamiki dla wystarczająco słabego sprzężenia z otoczeniem.

Ogólna postać równania Redfielda to

$${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy t}} \ rho (t) = - {\ Frac {i} {\ hbar}} [H, \ rho (t)] - {\ Frac {1} {\hbar ^{2}}}\sum _{m}[S_{m},\Lambda _{m}\rho (t)-\rho (t)\Lambda _{m}^{\sztylet }] }$$

gdzie $są$$hamiltonianem$ hermitowskim i opisującymi Ich wyraźną formę podano w poniższym wyprowadzeniu.

Pochodzenie

Rozważmy układ kwantowy sprzężony ze środowiskiem o całkowitym hamiltonianie ${\ displaystyle H _ {\ tekst {tot}} = H + H _ {\ tekst {int}} + H _ {\ tekst {środ.}}}$ . Ponadto zakładamy, że hamiltonian interakcji można zapisać jako , gdzie H $\ displaystyle H _ {\ tekst {int}} = \ suma _ {n} S_ {n} E_ {n}}$ działają tylko na systemowe stopnie swobody, czyli $\ displaystyle S_ {n}}$ n ${\ displaystyle E_ {n}}$ tylko na stopniach swobody środowiska.

Punktem wyjścia teorii Redfielda jest równanie $P}}}$ – Zwanziga , w którym rzutuje się na operator gęstości równowagi środowiska i traktuje aż do ${\ displaystyle {\ mathcal {$ drugie zamówienie. Równoważne wyprowadzenie zaczyna się od $teorii$ zaburzeń w interakcji . W obu przypadkach otrzymane równanie ruchu dla operatora gęstości w obrazie interakcji (z ${\ Displaystyle H_ {0, S} = H + H _ {\ tekst {env}}}$ }

$${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy t}} \ rho _ {\ rm {ja}} (t) = - {\ Frac {1} {\ hbar ^ {2}}} \ suma _ { m,n}\int _{t_{0}}^{t}dt'{\biggl (}C_{mn}(tt'){\Bigl [}S_{m,\mathrm {I} }(t) ,S_{n,\mathrm {I} }(t')\rho _{\rm {I}}(t'){\Bigr ]}-C_{mn}^{\ast }(tt'){\ Bigl [}S_{m,\mathrm {I} }(t),\rho _{\rm {I}}(t')S_{n,\mathrm {I} }(t'){\Bigr ]} {\biggr)}}$$

Tutaj jest pewien czas początkowy, w ${\ Displaystyle C_ {mn} (t) = {\ tekst {tr}} (E_ {m, \ operatorname {I}} (t) E_ {n} \ rho _{\text{env,eq}})}$$do$ że całkowity stan systemu i kąpieli jest rozłożony na czynniki, i wprowadziliśmy funkcję korelacji kąpieli w kategoriach operatora gęstości środowiska w równowadze termicznej, $_ {\ tekst {env, eq}}}$ rho

To równanie jest nielokalne w czasie: aby otrzymać pochodną operatora zredukowanej gęstości w chwili t, potrzebujemy jego wartości we wszystkich momentach przeszłych. W związku z tym nie da się go łatwo rozwiązać. $rozwiązanie , należy pamiętać$ że istnieją dwie skale czasowe: typowy czas relaksacji, podaje skalę czasu, w której środowisko wpływa na ewolucję czasu systemu, oraz czas spójności środowisko, $korelacji$ daje typową skalę czasu, w której zanikają funkcje Jeśli relacja

$${\ Displaystyle \ tau _ {c} \ ll \ tau _ {r}}$$

zachodzi, wówczas całka staje się w przybliżeniu zerowa, zanim operator gęstości obrazu interakcji ulegnie znaczącej zmianie. W tym przypadku tak zwane przybliżenie Markowa ${\ Displaystyle \ rho _ {\ rm {I}} (t') \ około \ rho _ {\ rm {I} }(t)}$ trzyma. $całkującą$ przesuniemy $Redfielda$ otrzymujemy główne zmienną

$${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy t}} \ rho _ {\ rm {ja}} (t) = - {\ Frac {1} {\ hbar ^ {2}}} \ suma _ { m,n}\int _{0}^{\infty }d\tau {\biggl (}C_{mn}(\tau ){\Bigl [}S_{m,\mathrm {I} }(t), S_{n,\mathrm {I} }(t-\tau )\rho _{\rm {I}}(t){\Bigr ]}-C_{mn}^{\ast }(\tau ){\ Bigl [}S_{m,\mathrm {I} }(t),\rho _{\rm {I}}(t)S_{n,\mathrm {I} }(t-\tau ){\Bigr ] }{\biggr)}}$$

Możemy znacznie uprościć to równanie, jeśli użyjemy skrótu $\ displaystyle \ Lambda _ {m} = \ suma _ {n} \int _{0}^{\infty }d\tau C_{mn}(\tau )S_{n,\mathrm {I} }(-\tau )}$ . Na rysunku Schrödingera równanie brzmi:

$${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy t}} \ rho (t) = - {\ Frac {i} {\ hbar}} [H, \ rho (t)] - {\ Frac {1} {\hbar ^{2}}}\sum _{m}[S_{m},\Lambda _{m}\rho (t)-\rho (t)\Lambda _{m}^{\sztylet }] }$$

Przybliżenie świeckie

świeckie ( łac . Saeculum , dosł.   „Wiek”) jest przybliżeniem ważnym przez $czas$ . Ewolucja w czasie tensora relaksacji Redfielda jest zaniedbywana, ponieważ równanie Redfielda opisuje słabe sprzężenie z otoczeniem. Zakłada się zatem, że tensor relaksacji zmienia się powoli w czasie i można przyjąć, że jest on stały w czasie trwania oddziaływania opisanego hamiltonianem interakcji . Ogólnie rzecz biorąc, ewolucję czasową macierzy o zredukowanej gęstości można zapisać dla elementu ${\ displaystyle ab}$ jako

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy} } {\ częściowy t }}\rho _{ab}(t)=-i\omega _{ab}\rho _{ab}(t)-\sum _{cd}{\mathcal {R_{abcd}}}\rho _{ cd}(t)}$

 

 

 

 

()

gdzie $jest$ niezależnym od czasu tensorem relaksacji Redfielda

Biorąc pod uwagę, że rzeczywiste sprzężenie ze środowiskiem jest słabe (ale nie można go pominąć), tensor Redfielda jest małym zaburzeniem hamiltonianu układu i rozwiązanie można zapisać jako

$${\ Displaystyle \ rho _ {ab} (t) = e ^ {-i \ omega _ {ab} t} {\ rho }_{ab,\mathrm {I} }(t)}$$

gdzie nie $,$ odzwierciedlającą słabe sprzężenie z Jest to także forma obrazu interakcji , stąd indeks „I”.

Biorąc pochodną pochodnej $za$ podstawiając równanie ( ${\partial }{\partial t}}\rho _{ab}(t)}$ ) ∂ $displaystyle {$ , pozostaje nam tylko część równania relaksacyjna

$$e ^{i\omega _{ab}ti\omega _{cd}t}\rho _{cd,\mathrm {I} }(t)}$$

.

Możemy zintegrować to równanie pod warunkiem, że obraz interakcji macierzy o zmniejszonej gęstości $,$ jeśli ${\ displaystyle {\ mathcal {R}}}$ jest mały), to ${\ Displaystyle \ rho _ {ab, \ operatorname {I}} (t) \ około \rho _{ab,\mathrm {I} }(0)}$ , otrzymanie

$${\ Displaystyle \ rho _ {ab, \ operatorname {I}} (t) = \ rho _ {ab, \ operatorname {I}} (0) - \ suma _ {cd} \ int _ {0} ^ {t } d\tau {\mathcal {R_{abcd}}}e^{i\omega _{ab}\tau -i\omega _{cd}\tau }\rho _{cd,\mathrm {I} }( t)=\rho _{ab,\mathrm {I} }(0)-\sum _{cd}{\mathcal {R_{abcd}}}{\frac {(e^{i\Delta \omega t} -1)}{i\Delta \omega }}\rho _{cd,\mathrm {I} }(t)}$$

gdzie $\ Displaystyle \ Delta \ omega = \ omega _ {ab} - \ omega _ {cd}$ }

W granicy zbliżającej $omega t} - 1) {i \ Delta \ omega}}}$$t$ - zbliża się $t$ , dlatego udział jednego elementu macierzy o zmniejszonej gęstości w innym elemencie jest proporcjonalny do czasu (a zatem dominuje przez długi czas $\ displaystyle t} }$ ). W przypadku $do zera$$do$ udział jednego elementu macierzy o zmniejszonej gęstości w innym oscyluje z amplitudą (i dlatego jest nieistotny przez długi $czas$ . Dlatego właściwe jest pominięcie jakiegokolwiek wkładu elementów innych niż ukośne ( $cd$ innych elementów innych niż ukośne ( $}$$)$ elementów innych niż ukośne ( $elementów$ ukośnych ( , ponieważ $jest to jedyny$ różnych są równe, jest to przypadek degeneracji losowej . Zatem jedyne elementy, które pozostały w tensorze Redfielda do oceny po przybliżeniu Seculara, to:

• ${\ displaystyle {\ mathcal {R}} _ {aabb}}$ , przeniesienie populacji z jednego $do$ drugiego $)$ ;
• $\ displaystyle {\ mathcal {R}} _ {aaaa}}$ , stała depopulacji stanu ${\ displaystyle a}$ ; I
• ${\ Displaystyle {\ mathcal {R}} _ {abab}}$ , czyste odfazowanie elementu ${\ displaystyle \ rho _ {ab} (t)}$ (odfazowanie spójności ).

Linki zewnętrzne

• brmesolve Narzędzie do rozwiązywania równań Blocha-Redfielda z QuTiP .