Rozpraszanie kwantowe

Rozpraszanie kwantowe to dział fizyki zajmujący się badaniem kwantowych odpowiedników procesu nieodwracalnej utraty energii obserwowanego na poziomie klasycznym. Jego głównym celem jest wyprowadzenie praw klasycznego rozpraszania z zakresu mechaniki kwantowej . Ma wiele cech wspólnych z przedmiotami dekoherencji kwantowej i kwantowej teorii pomiaru .

Modele

Typowe podejście do opisu rozpraszania polega na podzieleniu całego systemu na dwie części: układ kwantowy, w którym zachodzi rozpraszanie, oraz tak zwane środowisko lub kąpiel, do której będzie płynęła energia tego pierwszego. Sposób sprzężenia obu układów zależy od szczegółów modelu mikroskopowego, a co za tym idzie od opisu wanny. Uwzględnienie nieodwracalnego przepływu energii (tj. uniknięcie nawrotów Poincarégo , w których energia ostatecznie wraca do układu), wymaga, aby kąpiel zawierała nieskończoną liczbę stopni swobody. Zauważ, że na mocy zasady uniwersalności oczekuje się, że konkretny opis kąpieli nie będzie miał wpływu na istotne cechy procesu rozpraszania, o ile model zawiera minimalną ilość składników zapewniających efekt.

Najprostszy sposób modelowania kąpieli zaproponowali Feynman i Vernon w przełomowej pracy z 1963 roku. W tym opisie kąpiel jest sumą nieskończonej liczby oscylatorów harmonicznych, co w mechanice kwantowej reprezentuje zbiór wolnych cząstek bozonowych.

Model wanny Caldeira-Leggett lub harmonijny

W 1981 roku Amir Caldeira i Anthony J. Leggett zaproponowali prosty model umożliwiający szczegółowe zbadanie sposobu, w jaki powstaje rozproszenie z kwantowego punktu widzenia. Opisuje cząstkę kwantową w jednym wymiarze połączoną z kąpielą. Hamiltonian brzmi:

${\ Displaystyle H = {\ Frac {P ^ {2}} {2M}} + V (X) + \ suma _ {i} \ lewo ({\ Frac {p_ {i} ^ {2}} 2m_{i}}}+{\frac {1}{2}}m_{i}\omega _{i}^{2}q_{i}^{2}\right)-X\suma _{i} {C_{i}q_{i}}+X^{2}\sum _{i}{\frac {C_{i}^{2}}{2m_{i}\omega _{i}^{2} }}}$ ,

$\$$odpowiadają$ hamiltonianowi cząstki kwantowej o masie i pędzie w potencjale w pozycji $M}$$displaystyle$ Trzeci termin opisuje kąpiel jako nieskończoną sumę oscylatorów harmonicznych o masach $q_ {$$}$ w q ja $}$ . $.$ częstotliwościami oscylatorów harmonicznych Kolejny termin opisuje sposób łączenia systemu i wanny. W modelu Caldeiry – Leggetta kąpiel jest powiązana z położeniem cząstki. $są współczynnikami, które zależą od$ . Ostatni człon jest przeciw-terminem, który należy uwzględnić, aby zapewnić równomierne rozproszenie w całej przestrzeni. Ponieważ kąpiel łączy się z pozycją, jeśli ten termin nie jest uwzględniony, model nie jest translacyjno-niezmienniczy , w tym sensie, że sprzężenie jest inne gdziekolwiek znajduje się cząstka kwantowa. Prowadzi to do niefizycznej renormalizacji potencjału, która może zostać stłumiona poprzez wykorzystanie rzeczywistych potencjałów.

Aby zapewnić dobry opis mechanizmu rozpraszania, odpowiednią wielkością jest funkcja widmowa kąpieli, zdefiniowana w następujący sposób:

${\ Displaystyle J (\ omega) = {\ Frac {\ pi} {2}} \ suma _ {i} \frac {C_{i}^{2}}{m_{i}\omega _{i}}}\delta (\omega -\omega _{i})}$

Funkcja widmowa kąpieli zapewnia ograniczenie w wyborze współczynników. do $\ displaystyle C_ {i}}$ . Kiedy ta $,$ postać ] wykazać, że odpowiedni klasyczny Bardziej ogólna forma to ${\ displaystyle J (\ omega) \ propto \ omega ^ {s}}$ . $tym$ przypadku, jeśli rozproszenie nazywa się „super-omowym”, $jeśli$ omowe Przykładem kąpieli superomowej jest pole elektromagnetyczne występujące w pewnych okolicznościach.

Jak wspomniano, główną ideą w dziedzinie rozpraszania kwantowego jest wyjaśnienie sposobu, w jaki można opisać rozpraszanie klasyczne z punktu widzenia mechaniki kwantowej. Aby uzyskać klasyczną granicę modelu Caldeiry – Leggetta, należy zintegrować (lub wyśledzić ) kąpiel, co można rozumieć jako wzięcie średniej ze wszystkich możliwych realizacji kąpieli i zbadanie efektywnej dynamiki układu kwantowego. W drugim kroku należy przyjąć granicę, aby odzyskać mechanikę klasyczną ${\ displaystyle \ hbar \rightarrow 0}$ . Aby matematycznie kontynuować te kroki techniczne, zwykle stosuje się integralny opis ścieżki mechaniki kwantowej . Powstałe klasyczne równania ruchu to:

${\ Displaystyle M {\ Frac {d ^ {2}} {dt ^ {2}}} X (t) = - {\ Frac {\ częściowe V (X)} {\ częściowe X}} - \ int _ { 0}^{T}dt'\alfa (tt')(X(t)-X(t'))}$

Gdzie:

${\ Displaystyle \ alfa (tt ') = {\ Frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {\ infty} J (\ omega) e ^ {- \ omega | tt'| } d\omega }$

jest jądrem charakteryzującym siłę efektywną wpływającą na ruch cząstki w obecności rozproszenia. Dla tzw. kąpieli Markowa, które nie przechowują pamięci interakcji z układem oraz dla rozpraszania omowego, równania ruchu upraszczają się do klasycznych równań ruchu cząstki z tarciem:

${\ Displaystyle M {\ Frac {d ^ {2}} {dt ^ {2}}} X (t) = - {\ Frac {\ częściowe V (X)} {\ częściowe X}} - \ eta {\ Frac {dX (t)} {dt}}}$

Można zatem zobaczyć, jak model Caldeiry – Leggetta spełnia cel, jakim jest uzyskanie klasycznego rozproszenia ze struktury mechaniki kwantowej. Model Caldeiry – Leggetta jest używany do badania związanych z rozpraszaniem kwantowym od czasu jego wprowadzenia w 1981 r., a także jest szeroko stosowany w dziedzinie dekoherencji kwantowej .

Rozpraszający system dwupoziomowy

Rozpraszający układ dwupoziomowy jest szczególną realizacją modelu Caldeiry – Leggetta, który zasługuje na szczególną uwagę ze względu na jego zainteresowanie dziedziną obliczeń kwantowych . Celem modelu jest zbadanie skutków rozproszenia w dynamice cząstki, która może przeskakiwać pomiędzy dwoma różnymi pozycjami, a nie ciągłym stopniem swobody. Ta zredukowana przestrzeń Hilberta pozwala opisać problem za pomocą operatorów ½- spinu . W literaturze nazywa się to czasami modelem spin-bozonu i jest on ściśle powiązany z modelem Jaynesa-Cummingsa .

Hamiltonian dla rozpraszającego systemu dwupoziomowego brzmi:

${\ Displaystyle H = \ Delta {\ Frac {\ sigma _{x}}} }m_{i}\omega _{i}^{2}q_{i}^{2}\right)+{\frac {\sigma _{z}}{2}}\sum _{i}{C_ {i}q_{i}}}$ ,

gdzie i $,$ Pauliego $a$ to $. Zauważ$ między dwiema pozycjami $,$ że w tym modelu przeciwtermin nie jest już potrzebny, ponieważ sprzężenie z jednorodne rozproszenie.

Model ma wiele zastosowań. W rozpraszaniu kwantowym wykorzystuje się go jako prosty model do badania dynamiki cząstki rozpraszającej zamkniętej w potencjale podwójnej studni. W kontekście obliczeń kwantowych reprezentuje kubit połączony ze środowiskiem, które może wytworzyć dekoherencję . W badaniu ciał amorficznych stanowi podstawę standardowej teorii opisującej ich właściwości termodynamiczne.

Rozpraszający układ dwupoziomowy stanowi także paradygmat w badaniu kwantowych przejść fazowych . Dla wartości krytycznej sprzężenia z kąpielą widać przejście fazowe z reżimu, w którym cząstka jest przemieszczona pomiędzy dwoma pozycjami, do takiego, w którym jest zlokalizowana tylko w jednym z nich. Przejście jest Kosterlitza-Thoulessa , jak można zobaczyć, wyprowadzając równania przepływu grupowego renormalizacji dla członu przeskoku.

Rozpraszanie energii w formalizmie Hamiltona

Innym podejściem do opisu rozpraszania energii jest uwzględnienie hamiltonianów zależnych od czasu. Wbrew powszechnemu nieporozumieniu, wynikająca z tego jednostkowa dynamika może opisywać rozpraszanie energii, ponieważ pewne stopnie swobody tracą energię, a inne zyskują energię. Jednakże stan mechaniki kwantowej układu pozostaje czysty , dlatego takie podejście nie może opisać rozfazowania , chyba że zostanie wybrany podsystem i przeanalizowana zostanie macierz o zmniejszonej gęstości tego otwartego układu kwantowego. Defazowanie prowadzi do dekoherencji kwantowej lub rozproszenia informacji i często jest ważne przy opisie otwarte układy kwantowe . Jednak takie podejście jest zwykle stosowane np. w opisie eksperymentów optycznych. Tam impuls świetlny (opisany przez zależny od czasu półklasyczny hamiltonian) może zmienić energię w układzie poprzez stymulowaną absorpcję lub emisję.

Zobacz też

• Model rozpraszania cząstki w pierścieniu
• Model rozpraszania dla rozszerzonego środowiska
• Model rozpraszania w środowisku chaotycznym
• Modelowanie rozpraszania w teorii macierzy losowych
• Model Jaynesa-Cummingsa
• Otwarty układ kwantowy
• Równanie Lindblada
• Dekoherencja kwantowa
• Defazowanie

Źródła

• U. Weiss, Quantum Dissipative Systems (1992), World Scientific.
•   Leggett, AJ; Chakravarty, S.; Dorsey, Kalifornia; Fisher, Matthew PA; Garg, Anupam; Zwerger, W. (1 grudnia 1986). „Dynamika rozpraszającego systemu dwupaństwowego”. Recenzje fizyki współczesnej . Amerykańskie Towarzystwo Fizyczne (APS). 59 (1): 1–85. doi : 10.1103/revmodphys.59.1 . hdl : 2142/94708 . ISSN 0034-6861 .
• P. Hänggi i GL Ingold, Podstawowe aspekty kwantowych ruchów Browna , Chaos, tom. 15, ARTN 026105 (2005); http://www.physik.uni-augsburg.de/theo1/hanggi/Papers/378.pdf

Linki zewnętrzne

• Wizualizacja dynamiki kwantowej: hamiltonian spinu bozonu , Jared Ostmeyer i Julio Gea-Banacloche, University of Arkansas.
• Wizualizacja dynamiki kwantowej: model Jaynesa-Cummingsa , Jared Ostmeyer i Julio Gea-Banacloche, University of Arkansas.