Częściowy ślad

Lewa strona przedstawia macierz pełnej $gęstości$ . Częściowe śledzenie jest wykonywane w podsystemie o wymiarach 2 na 2 (macierz gęstości pojedynczego kubitu). Prawa strona pokazuje wynikową macierz o zmniejszonej gęstości 2 na 2 . ${\ displaystyle \ rho _ {A}}$ .

W algebrze liniowej i analizie funkcjonalnej ślad częściowy jest uogólnieniem śladu . Podczas gdy ślad jest skalarnych na operatorach, ślad częściowy jest funkcją o wartościach operatorowych . Częściowy ślad ma zastosowanie w informacji kwantowej i dekoherencji , która jest istotna dla pomiarów kwantowych , a tym samym dla dekoherentnych podejść do interpretacji mechaniki kwantowej , w tym spójnych historii oraz względna interpretacja stanu .

Detale

Załóżmy , że są skończenie wymiarowymi przestrzeniami wektorowymi nad $displaystyle$ o wymiarach odpowiednio $i$$m}$$\ displaystyle n}$ { . Dla dowolnej $niech$ oznacza przestrzeń $operatorów$ liniowych na $A$ } Częściowy ślad zakończony ${\ Displaystyle W}$ jest wtedy zapisywane jako ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Tr} _ {W}: \ nazwa operatora {L} (V \ otimes W) \do \nazwa_operatora {L} (V)}$ .

Jest zdefiniowany w $, \ ldots, e_ {m}}$$dla$$e_$ i ${\ Displaystyle f_ {1}, \ ldots, f_ {n}} , będą podstawami$ odpowiednio dla V i W ; wtedy T ma reprezentację macierzową

${\ Displaystyle \ {a_ {k \ ell, ij} \} \ quad 1 \ równoważnik k, i \ równoważnik m, \quad 1\równik \ell ,j\równik n}$

względem podstawy ${\ Displaystyle e_ {k} \ otimes f _ {\ ell}}$ V $\ Displaystyle V \ otimes W}$ .

Teraz dla indeksów k , i z przedziału 1, ..., m , rozważmy sumę

${\ Displaystyle b_ {k, i} = \ suma _ {j = 1} ^ {n} a_ {kj, ij}.}$

Daje to macierz b _{k , i} . Powiązany operator liniowy na V jest niezależny od wyboru zasad i jest z definicji śladem częściowym .

Wśród fizyków jest to często nazywane „śledzeniem” lub „śledzeniem” W , aby pozostawić tylko operatora na V w kontekście, w którym W i V to przestrzenie Hilberta powiązane z układami kwantowymi (patrz poniżej).

niezmienna definicja

Operator śladu częściowego można zdefiniować niezmiennie (to znaczy bez odniesienia do bazy) w następujący sposób: jest to unikalna mapa liniowa

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Tr} _ {W}: \ nazwa operatora {L} (V \ czasami W) \ strzałka w prawo \ nazwa operatora {L} (V) }$

takie że

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Tr} _ {W} (R \ otimes S) = \ nazwa operatora {Tr} (S) \, R \ quad \ forall R \ w \ nazwa operatora {L} (V) \ quad \ forall S \in \nazwa_operatora {L} (W).}$

$}$ warunki jednoznacznie określają częściowy ślad, niech tworzą podstawę dla $}$ , niech ${\ Displaystyle w_ {1}, \ ldots, w_ {n}}$ stanowią podstawę dla ${\ Displaystyle W}$ , niech ${\ Displaystyle E_ {ij} \ dwukropek V \do V}$ być mapą, która wysyła do (i wszystkich innych elementów bazowych do zera) i niech $fa$${} kl} \ dwukropek W \ do W}$$F_ {$ będzie mapą, która wysyła ${\ displaystyle w_ {k}}$ do ${\ displaystyle w_ {l}}$ . Ponieważ wektory ${\ Displaystyle v_ {i} \ otimes w_ {k}}$ tworzą podstawę dla ${\ Displaystyle V \ otimes W}$ , mapy mi $\ Displaystyle E_ {ij} \ otimes F_ {kl}}$ tworzą podstawę dla ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {L} (V \ otimes W)}$ .

Z tej abstrakcyjnej definicji wynikają następujące właściwości:

${\ Displaystyle \ operatorname {Tr} _ {W} (I_ {V \ otimes W}) = \ ciemny W \ I_ {V}}$

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Tr} _ {W} (T (I_ {V} \ otimes S)) = \ nazwa operatora {Tr} _ {W} ((I_ {V} \ otimes S) T) \ quad \ forall S\in \nazwa_operatora {L} (W)\quad \forall T\in \nazwa_operatora {L} (V\oraz W).}$

Pojęcie teorii kategorii

To właśnie częściowy ślad przekształceń liniowych jest przedmiotem pojęcia monoidalnej kategorii Traced autorstwa Joyala, Streeta i Verity . Śledzona kategoria monoidalna to kategoria monoidalna wraz z, dla obiektów ${\ Displaystyle (C, \ czasami, ja)}$ Y, U , funkcją zbiorów Hom, do

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Tr} _ {X, Y} ^ {U} \ okrężnica \ nazwa operatora { Hom} _{C}(X\otimes U,Y\otimes U)\to \operatorname {Hom} _{C}(X,Y)}$

spełniając pewne aksjomaty.

Inny przypadek tego abstrakcyjnego pojęcia śladu cząstkowego ma miejsce w kategorii zbiorów skończonych i bijekcji między nimi, w których iloczynem monoidalnym jest suma rozłączna. Można pokazać, że dla dowolnych skończonych zbiorów X, Y, U $+ U}$ bijekcji istnieje odpowiednia „częściowo prześledzona” bijekcja $Displaystyle$ .

Częściowy ślad dla operatorów na przestrzeniach Hilberta

Częściowy ślad uogólnia operatorów na nieskończenie wymiarowych przestrzeniach Hilberta. Załóżmy V , W są przestrzeniami Hilberta i niech

${\ Displaystyle \ {f_ {i} \} _ {i \ w ja}}$

będzie bazą ortonormalną dla W . Teraz istnieje izomorfizm izometryczny

${\ Displaystyle \ bigoplus _ {\ ell \ in I} (V \ otimes \ mathbb {C} f _ {\ ell}) \ rightarrow V \ otimes W}$

$ramach$ operator można nieskończoną macierz operatorów

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} T_ {11} i T_ {12} i \ ldots & T_ {1j} i \ ldots \\ T_ {21} i T_ {22} i \ ldots & T_ {2j} i \ ldots \\\ vdots &\vdots &&\vdots \\T_{k1}&T_{k2}&\ldots &T_{kj}&\ldots \\\vdots &\vdots &&\vdots \end{bmatrix}},}$

gdzie ${\ Displaystyle T _ {k \ ell} \ w \ nazwa operatora {L} (V)}$ .

Załóżmy najpierw, że T jest operatorem nieujemnym. W tym przypadku wszystkie elementy ukośne powyższej macierzy są operatorami nieujemnymi na V . Jeśli suma

${\ Displaystyle \ suma _ {\ ell} T _ {\ ell \ ell}}$

zbieżny w silnej topologii operatora L( V ), jest niezależny od wybranej bazy W . Częściowy ślad Tr _W ( T ) jest zdefiniowany jako ten operator. Częściowy ślad operatora samosprzężonego jest zdefiniowany wtedy i tylko wtedy, gdy zdefiniowane są częściowe ślady części dodatniej i ujemnej.

Obliczanie śladu częściowego

Załóżmy, że W ma bazę ortonormalną, którą oznaczamy notacją wektorową ket jako ${\ Displaystyle \ {|\ ell \ rangle \} _ {\ ell}}$ . Następnie

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Tr} _ {W} \ lewo (\ suma _ {k, \ ell} T ^ {(k \ ell)} \, \ czasami \, | k \ rangle \ langle \ ell | \ prawo )=\suma _{j}T^{(jj)}.}$

Indeksy górne w nawiasach nie reprezentują składników macierzy, ale zamiast tego oznaczają samą macierz.

Częściowy ślad i całkowanie niezmienne

W przypadku skończenie wymiarowych przestrzeni Hilberta istnieje użyteczny sposób patrzenia na częściowy ślad obejmujący całkowanie w odniesieniu do odpowiednio znormalizowanej miary Haara μ nad grupą unitarną U( W ) z W . Odpowiednio znormalizowana oznacza, że ​​μ jest miarą o całkowitej masie dim( W ).

Twierdzenie . Załóżmy V , W są skończonymi wymiarami przestrzeni Hilberta. Następnie

${\ Displaystyle \ int _ {\ nazwa operatora {U} (W)} (I_ {V} \ czasami U ^ {*})T(I_{V}\czasami U)\ d\mu (U)}$

$jest$$a$ wszystkimi postaci, wyjątkowo Operator R jest częściowym śladem T .

Ślad częściowy jako operacja kwantowa

Częściowy ślad można postrzegać jako operację kwantową . Rozważmy układ mechaniki $,$ jest iloczynem tensorowym przestrzeni Hilberta Stan mieszany jest opisany macierzą gęstości ρ, czyli nieujemnym operatorem śladu śladu 1 na iloczynie ${\ Displaystyle H_ {A} \ otimes H_ {B}.}$ Częściowy ślad ρ względem systemu B , oznaczony przez ${\ displaystyle \ rho ^ {A}}$ , nazywany jest zredukowanym stanem ρ w systemie A . w symbolach,

${\ Displaystyle \ rho ^ {A} = \ nazwa operatora {Tr} _ {B} \ rho.}$

Aby pokazać, że jest to rzeczywiście sensowny sposób przypisania stanu w podsystemie A do ρ, przedstawiamy następujące uzasadnienie. Niech M będzie obserwowalnym w podsystemie A , to odpowiednim obserwowalnym w systemie złożonym jest ${\ displaystyle M \ otimes I}$ . Niezależnie od tego $,$ czy zdecydujemy się zdefiniować stan zredukowany pomiarów powinny być spójne. Wartość oczekiwana M po przygotowaniu podsystemu A w ${\ Displaystyle \ rho ^ {A}}$ i że z ${\ displaystyle M \ czasami I},$ gdy system złożony jest przygotowywany w ρ, powinny być takie same, tj. powinna zachodzić następująca równość: ρ ZA {\ Displaystyle \ rho ^ {A}}

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Tr} (M \ cdot \ rho ^ {A}) = \ nazwa operatora {Tr} (M \ czasami I \ cdot \ rho).}$

Widzimy, że jest to spełnione, jeśli $zdefiniowano$ powyżej za pomocą częściowego śladu. Ponadto taka operacja jest wyjątkowa.

Niech T(H) będzie przestrzenią Banacha operatorów klasy śladowej na przestrzeni Hilberta H . Można łatwo sprawdzić, że ślad częściowy, widziany jako mapa

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Tr} _ {B}: T (H_ {A} \ czasami H_ {B}) \ strzałka w prawo T (H_ {A })}$

jest całkowicie pozytywny i zachowuje ślady.

Macierz gęstości ρ jest hermitowska , dodatnio półokreślona i ma ślad 1. Ma rozkład widmowy :

${\ Displaystyle \ rho = \ suma _ {m} p_ {m} | \ psi _ {m} \ rangle \ langle \ psi _ {m} |; \ 0 \ równoważnik p_{m}\równik 1,\ \sum _{m}p_{m}=1}$

Łatwo zauważyć, że częściowy ślad $również$ warunki. Na przykład dla dowolnego czystego stanu ${\ Displaystyle |\ psi _ {A} \ rangle}$ w mamy ${\ Displaystyle H_ {A}}$

${\ Displaystyle \ langle \ psi _ {A} | \ rho ^ {A} | \ psi _ {A} \ rangle = \ suma _ {m} p_ {m} \ operatorname {Tr} _ { B}[\langle \psi _{A}|\Psi _{m}\rangle \langle \Psi _{m}|\psi _{A}\rangle ]\geq 0}$

Zauważ, że termin ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Tr} _ {B} [\ langle \ psi _ {A} | \ Psi _ {m} \ rangle \ langle \ Psi _ {m} | \ psi _ {A} \ zakres ]}$ reprezentuje prawdopodobieństwo znalezienia stanu ${\ Displaystyle |\ psi _ {A} \ rangle}$ , gdy system złożony jest w stanie ${\ Displaystyle | \ Psi _ {m} \ rangle}$ . Dowodzi to pozytywnej półokreśloności ${\ displaystyle \ rho ^ {A}}$ .

Podana powyżej mapa śladu częściowego indukuje mapę podwójną między algebrami $Tr b ∗ {\ displaystyle \;$ * operatorów ograniczonych na $\; H_ { A}}$ i podane przez ${\ Displaystyle H_ {A} \ otimes H_ {B}}$

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Tr} _ {B} ^ {*} (A) = A \ czasami I.}$

${\ Displaystyle \ operatorname {Tr} _ {B} ^ {*}}$ odwzorowuje obserwowalne na obserwowalne i jest obrazową reprezentacją Heisenberga ${\ displaystyle \ operatorname {Tr} _ {B}}$ .

Porównanie z przypadkiem klasycznym

Załóżmy, że zamiast systemów mechaniki kwantowej dwa systemy A i B są klasyczne. Przestrzeń obserwabli dla każdego systemu to abelowe C*-algebry. Mają one odpowiednio postać C ( X ) i C ( Y ) dla przestrzeni zwartych X , Y. Przestrzeń stanów układu złożonego jest prosta

${\ Displaystyle C (X) \ czasami C (Y) = C (X \ razy Y).}$

Stan w układzie złożonym jest dodatnim elementem ρ liczby podwójnej C( X × Y ), który zgodnie z twierdzeniem Riesza-Markowa odpowiada regularnej mierze borelowskiej na X × Y . Odpowiedni stan zredukowany uzyskuje się przez rzutowanie miary ρ na X . Zatem ślad częściowy jest kwantowo-mechanicznym odpowiednikiem tej operacji.