Funkcja quasi-analityczna

W matematyce quasi -analityczna klasa funkcji jest uogólnieniem klasy rzeczywistych funkcji analitycznych opartym na następującym fakcie: Jeśli f jest funkcją analityczną na przedziale [ a , b ] ⊂ R , iw pewnym punkcie f jego pochodnych jest zerem, to f jest identycznie zerem na wszystkich [ a , b ]. Klasy quasi-analityczne to szersze klasy funkcji, dla których to stwierdzenie jest nadal prawdziwe.

Definicje

Niech ${\ Displaystyle M = \ {M_ {k} \} _ {k = 0} ^ {\ infty}}$ będzie ciągiem dodatnich liczb rzeczywistych. Wtedy klasa funkcji Denjoya-Carlemana C ^M ([ a , b ]) jest zdefiniowana jako te f ∈ C ^∞ ([ a , b ]), które spełniają

${\ Displaystyle \ lewo | {\ Frac {d ^ {k} f} {dx ^ {k}}} (x) \ prawo | \ równoważnik A ^ {k + 1} k! M_ {k}}$

dla wszystkich x ∈ [ a , b ], pewnej stałej A i wszystkich nieujemnych liczb całkowitych k . Jeśli M _k = 1 jest to dokładnie klasa rzeczywistych funkcji analitycznych na [ a , b ].

klasa C ^M ([ a , b ]) jest quasi-analityczna , jeśli kiedykolwiek f ∈ C ^M ([ a , b ]) i

${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {k} f} {dx ^ {k}}} (x) = 0}$

dla pewnego punktu x ∈ [ a , b ] i wszystkich k , to f jest identycznie równe zeru.

Funkcja f nazywana jest funkcją quasi-analityczną, jeśli f należy do jakiejś klasy quasi-analitycznej.

Quasi-analityczne funkcje wielu zmiennych

Dla funkcji ${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ do \ mathbb {R}}$ i wielu indeksach ${\ Displaystyle j = (j_ {1}, j_ {2}, \ ldots, j_ {n}) \ in \ mathbb {N} ^ {n}}$ , oznaczamy ${\ Displaystyle | j | = j_ {1} + j_ {2} + \ ldots + j_ {n}}$ i

${\ Displaystyle D ^ {j} = {\ Frac {\ częściowy ^ {j}}} {\ częściowy x_ {1} ^ { j_{1}}\częściowe x_{2}^{j_{2}}\ldots \częściowe x_{n}^{j_{n}}}}}$

${\ displaystyle j! = j_ {1}! j_ {2}! \ ldots j_ {n}!}$

I

${\ Displaystyle x ^ {j} = x_ {1} ^ {j_ {1}} x_ {2} ^ {j_ {2}} \ ldots x_ {n} ^ {j_ {n}}.}$

Wtedy ${\ displaystyle f}$ nazywa się quasi-analitycznym na zbiorze otwartym, $istnieje$ dla każdego zwartego $\ mathbb {R} ^ {n}}$$podzbiór$ stała taka, że ${\ displaystyle A}$

${\ Displaystyle \ lewo | D ^ {j} f (x) \ prawo | \ równoważnik A ^ {| j | + 1} j! M_ {| j|}}$

dla wszystkich wielu indeksów i wszystkich punktów $j \$$in \ mathbb {N} ^ {n$ .

$}^{M}(U)}$ funkcji Denjoy-Carlemana $}$$do$ sekwencji na zbiorze może być $Displaystyle$$\$ , chociaż istnieje wiele innych zapisów.

$, że$ klasa Denjoy-Carleman -analityczna, gdy jedyna w niej funkcja ma wszystkie pochodne cząstkowe jest funkcją identycznie równą zeru.

O funkcji kilku zmiennych mówi się, że jest quasi-analityczna, gdy należy do quasi-analitycznej klasy Denjoya-Carlemana.

Klasy quasi-analityczne ze względu na ciągi logarytmicznie wypukłe

$powyższych$$że$ można założyć, że nie jest

sekwencja jest logarytmicznie wypukła , jeśli ${\ displaystyle M_ {k}}$

${\ Displaystyle M_ {k + 1}/M_ {k}}$ rośnie.

Kiedy $^ {1/k}}$ { $}$ rośnie i

${\ Displaystyle M_ {r} M_ {s} \ równoważnik M_ {r + s}}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle (r, s) \ w \ matematykabb {N} ^{2}}$ .

Klasa quasi-analityczna $}$ odniesieniu do logarytmicznie wypukłej sekwencji spełnia: do ${\ displaystyle C_ {n} ^ {M$

• ${\ Displaystyle C_ {n} ^ {M}}$ jest pierścieniem. W szczególności jest domknięty podczas mnożenia.
• ${\ displaystyle C_ {n} ^ {M}}$ jest zamknięty w kompozycji. W szczególności, jeśli ${\ Displaystyle f = (f_ {1}, f_ {2}, \ ldots f_ {p}) \ w (C_ {n} ^ {M}) ^ {p}}$ i ${\ Displaystyle g \ w C_ {p} ^ {M}}$ , a następnie ${\ Displaystyle g \ circ f \ w C_ {n} ^ {M}}$ .

Twierdzenie Denjoya-Carlemana

Twierdzenie Denjoy-Carleman, udowodnione przez Carlemana (1926) po tym, jak ^Denjoy (1921) dało pewne wyniki częściowe, podaje kryteria dotyczące sekwencji M , w ramach której CM ([ a , b ]) jest klasą quasi-analityczną. Stwierdza, że ​​następujące warunki są równoważne:

• C ^M ([ a , b ]) jest quasi-analityczne.
• ${\ Displaystyle \ suma 1/L_ {j} = \ infty}$ gdzie ${\ Displaystyle L_ {j} = \ inf _ {k\geq j}(k\cdot M_{k}^{1/k})}$ .
• ${\ Displaystyle \ suma _ {j} {\ Frac {1} {j}} (M_ {j} ^ {*}) ^ {- 1 / j }=\infty }$ , gdzie M _j ^* jest największą logarytmiczną wypukłą sekwencją ograniczoną powyżej przez M _j .
• ${\ Displaystyle \ suma _ {j} {\ Frac {M_ {j-1} ^ {*}} {(j + 1) M_ {j} ^ {*}}} = \ infty.}$

Dowód, że dwa ostatnie warunki są równoważne drugiemu, wykorzystuje nierówność Carlemana .

Przykład: Denjoy (1921) wskazał, że jeśli M _n jest dane przez jeden z ciągów

${\ Displaystyle 1, \, {(\ ln n)} ^ {n}, \, {(\ ln n)} ^ {n} \, {(\ ln \ ln n)} ^ {n}, \, {(\ln n)}^{n}\,{(\ln \ln n)}^{n}\,{(\ln \ln \ln n)}^{n},\kropki ,}$

wtedy odpowiednia klasa jest quasi-analityczna. Pierwsza sekwencja daje funkcje analityczne.

Dodatkowe właściwości

Dla ciągu logarytmicznie wypukłego zachodzą następujące właściwości odpowiedniej klasy funkcji: ${\ displaystyle M}$

• $\ Displaystyle C ^ {M}}$ zawiera funkcje analityczne i jest mu równy wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle \ sup _ {j \ geq 1 }(M_{j})^{1/j}<\infty}$
• Jeśli jest kolejną logarytmicznie wypukłą sekwencją, z pewną $stałą dla$${\ Displaystyle M_ {j} \ równoważnik C ^ {j$ N_ $}$ } wtedy do $M} \ podzbiór C ^ {N}}$ .
• $\ Displaystyle C ^ {M}}$ jest stabilny przy różniczkowaniu wtedy i tylko wtedy ${\ Displaystyle \ sup _ {j \ geq 1} ( M_{j+1}/M_{j})^{1/j}<\infty}$ .
• $-$ dowolnej funkcji nieskończenie różniczkowalnej $pierścienie$ quasi $g \ w C ^ {M}}$ i elementy $sol$ i ${\ Displaystyle h \ w C ^ {N}}$ tak, że ${\ Displaystyle f = g + h}$ .

Oddział Weierstrassa

funkcja ${\ Displaystyle g: \ mathbb {R} ^ {n} \ do \ mathbb {R}}$ jest regularna rzędu ${\ displaystyle d}$ w odniesieniu do ${\ displaystyle x_ {n}}$ jeśli ${\ Displaystyle g (0, x_ {n}) = h (x_ {n}) x_ {n} ^ {d} }$ i ${\ displaystyle h (0) \ neq 0}$ . Biorąc pod uwagę $jeśli$$\ displaystyle$ re $}$$} ZA n {\ displaystyle a_ {$ w odniesieniu do , pierścień rzeczywistych lub złożonych funkcji ${\ displaystyle a_ {n}$$}$ Mówi się, że zmienne spełniają podział Weierstrassa względem ${\ displaystyle g},$ dla każdego ${\ displaystyle f \ in A_ {n}}$ jest ${\ Displaystyle q \ w ZA}$ i ${\ Displaystyle h_ {1}, h_ {2}, \ ldots, h_ { d-1}\w A_{n-1}}$ takie, że

${\ Displaystyle f = gq + h}$ z ${\ Displaystyle h (x ', x_ { n})=\suma _{j=0}^{d-1}h_{j}(x')x_{n}^{j}}$ .

Chociaż zarówno pierścień funkcji analitycznych, jak i pierścień formalnych szeregów potęgowych spełniają własność dzielenia Weierstrassa, to samo nie dotyczy innych klas quasi-analitycznych.

Jeśli jest logarytmicznie $M}$ i nie $nie$ równa klasie funkcji analitycznej, to spełnia Weierstrassa do $M$ sol ${\ Displaystyle g (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) =$ .

• Carleman, T. (1926), Funkcje quasi-analytiques , Gauthier-Villars
•     Cohen, Paul J. (1968), „Prosty dowód twierdzenia Denjoya-Carlemana”, The American Mathematical Monthly , Mathematical Association of America, 75 (1): 26–31, doi : 10.2307/2315100 , ISSN 0002-9890 , JSTOR 2315100 , MR 0225957
• Denjoy, A. (1921), „Sur les quasi-analytiques quasi-analytiques de variable réelle”, CR Acad. nauka Paryż , 173 : 1329-1331
•   Hörmander, Lars (1990), Analiza liniowych operatorów różniczkowych cząstkowych I , Springer-Verlag, ISBN 3-540-00662-1
• Leont'ev, AF (2001) [1994], "Klasa quasi-analityczna" , Encyklopedia matematyki , EMS Press
• Solomentsev, ED (2001) [1994], „Twierdzenie Carlemana” , Encyklopedia matematyki , EMS Press