Rozbieżne szeregi geometryczne

W matematyce nieskończony ciąg geometryczny postaci

${\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} ar ^ {k} = a + ar + ar ^ {2}+ar^{3}+\cdots }$

jest rozbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy | r | ≥ 1 . Metody sumowania rozbieżnych szeregów są czasami przydatne i zwykle oceniają rozbieżne szeregi geometryczne do sumy zgodnej ze wzorem dla przypadku zbieżnego

${\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} ar ^ {k} = {\ frac {a} {1-r}}.}$

Dotyczy to każdej metody sumowania, która posiada właściwości regularności, liniowości i stabilności .

Przykłady

W kolejności rosnącej trudności sumowania:

• 1 − 1 + 1 − 1 + · · · , których wspólny stosunek wynosi −1
• 1 − 2 + 4 − 8 + · · · , których wspólny stosunek wynosi −2
• 1 + 2 + 4 + 8 + · · · , których wspólny stosunek wynosi 2
• 1 + 1 + 1 + 1 + · · · , których wspólny stosunek wynosi 1.

Motywacja do nauki

Przydatne jest ustalenie, które metody sumowania dają wzór na szereg geometryczny, dla których wspólnych stosunków. Jednym z zastosowań tej informacji jest tak zwana zasada Borela-Okady : jeśli metoda sumowania regularnego sumuje Σ z ⁿ do 1/(1 - z ) dla wszystkich z w podzbiorze S płaszczyzny zespolonej , biorąc pod uwagę pewne ograniczenia dotyczące S , wtedy metoda daje także analityczną kontynuację dowolnej innej funkcji f ( z ) = Σ a _n z ⁿ na przecięciu S z gwiazdą Mittaga-Lefflera dla f .

Summability według regionu

Otwórz dysk jednostkowy

Zwykłe sumowanie udaje się tylko dla wspólnych stosunków | z | < 1.

Zamknięty dysk jednostkowy

• Podsumowanie Cesaro
• Podsumowanie Abela

Większe dyski

• Podsumowanie Eulera

Półpłaszczyzna

Szereg jest sumowalny borelowsko dla każdego z z częścią rzeczywistą < 1. Każdy taki szereg jest również sumowalny uogólnioną metodą Eulera (E, a ) dla odpowiedniego a .

Zacieniony samolot

Niektóre metody stałych momentów oprócz sumowania Borela mogą sumować szeregi geometryczne na całej gwieździe Mittaga-Lefflera o funkcji 1/(1 - z ), to znaczy dla wszystkich z z wyjątkiem promienia z ≥ 1.

Notatki

•   Korevaar, Jakub (2004). Teoria Taubera: stulecie rozwoju . Skoczek. ISBN 3-540-21058-X .
• Moroz, Aleksander (1991). „Kwantowa teoria pola jako problem wznowienia”. arXiv : hep-th/9206074 .