Moduł ciągłości

W analizie matematycznej moduł ciągłości jest funkcją ω : [0, ∞] → [0, ∞] używaną do ilościowego pomiaru jednolitej ciągłości funkcji. Zatem funkcja f : I → R dopuszcza ω jako moduł ciągłości wtedy i tylko wtedy, gdy

{\ Displaystyle | f (x) -f (y) | \ równoważnik \ omega (| xy |),}

dla wszystkich x i y w domenie f . Ponieważ wymagane jest, aby moduły ciągłości były nieskończenie małe w 0, funkcja okazuje się jednostajnie ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy dopuszcza moduł ciągłości. Co więcej, znaczenie dla tego pojęcia wynika z faktu, że zbiory funkcji o tym samym module ciągłości są rodzinami dokładnie równociągłymi . Na przykład moduł ω( t ) := kt opisuje k- funkcje Lipschitza , moduły ω( t ) := kt ^α opisują ciągłość Höldera , moduł ω( t ) := kt (|log t |+1) opisuje klasę prawie Lipschitza i tak dalej. Ogólnie rzecz biorąc, rolą ω jest ustalenie pewnej wyraźnej funkcjonalnej zależności ε od δ w (ε, δ) definicji jednolitej ciągłości . Te same pojęcia w naturalny sposób uogólniają się na funkcje między przestrzeniami metrycznymi . Ponadto odpowiednia lokalna wersja tych pojęć pozwala na ilościowe opisanie ciągłości w punkcie za pomocą modułów ciągłości.

Szczególną rolę odgrywają wklęsłe moduły ciągłości, zwłaszcza w związku z właściwościami rozciągłości oraz z aproksymacją funkcji jednostajnie ciągłych. W przypadku funkcji między przestrzeniami metrycznymi równoważne jest przyjęcie modułu ciągłości, który jest albo wklęsły, albo subaddytywny, albo jednostajnie ciągły, albo podliniowy (w sensie wzrostu ). W rzeczywistości istnienie takich specjalnych modułów ciągłości dla funkcji jednostajnie ciągłej jest zawsze zapewnione, gdy dziedzina jest albo zwartym, albo wypukłym podzbiorem przestrzeni unormowanej. Jednak jednostajnie ciągła funkcja w ogólnej przestrzeni metrycznej dopuszcza wklęsły moduł ciągłości wtedy i tylko wtedy, gdy stosunki

{\ Displaystyle {\ Frac {d_ {Y} (f (x), f (x '))} {d_ {X }(x,x')}}}

są jednostajnie ograniczone dla wszystkich par ( x , x ′ ) ograniczonych od przekątnej X x X . Funkcje o tej ostatniej własności stanowią specjalną podklasę funkcji jednostajnie ciągłych, które dalej nazywamy specjalnymi jednostajnie ciągłymi . Specjalne funkcje jednostajnie ciągłe o wartościach rzeczywistych w przestrzeni metrycznej X można również scharakteryzować jako zbiór wszystkich funkcji, które są ograniczeniami X funkcji jednostajnie ciągłych w dowolnej przestrzeni znormalizowanej zawierającej izometrycznie X . Można to również scharakteryzować jako równomierne domknięcie funkcji Lipschitza na X .

Definicja formalna

Formalnie modułem ciągłości jest dowolna rosnąca funkcja o wartości rzeczywistej rozszerzonej ω : [0, ∞] → [0, ∞], znikająca w 0 i ciągła w 0, to znaczy

{\ Displaystyle \ lim _ {t \ do 0} \ omega (t) = \ omega (0) = 0.}

Moduły ciągłości są używane głównie do ilościowego ujęcia zarówno ciągłości w punkcie, jak i ciągłości jednolitej dla funkcji między przestrzeniami metrycznymi, zgodnie z poniższymi definicjami.

Funkcja f : ( X , d _X ) → ( Y , d _Y ) dopuszcza ω jako (lokalny) moduł ciągłości w punkcie x w X wtedy i tylko wtedy, gdy,

{\ Displaystyle \ forall x '\ in X: d_ {Y} (f (x), f (x')) \ równoważnik \ omega (d_ {X} (x, x')).}

Również f dopuszcza ω jako (globalny) moduł ciągłości wtedy i tylko wtedy, gdy

{\ Displaystyle \ forall x, x '\ in X: d_ {Y} (f (x), f (x')) \ równoważnik \ omega (d_ {X} (x, x')).}

Równoważnie mówi się, że ω jest modułem ciągłości (odpowiednio w x ) dla f , lub w skrócie f jest ω-ciągłym (odpowiednio w x ). Tutaj zajmujemy się głównie pojęciem globalnym.

Podstawowe fakty

Jeśli f ma ω jako moduł ciągłości i ω ₁ ≥ ω, to f przyjmuje również ω ₁ jako moduł ciągłości.
Jeśli f : X → Y i g : Y → Z są funkcjami między przestrzeniami metrycznymi o modułach odpowiednio ω ₁ i ω ₂ , to mapa składu ma ${\ Displaystyle g \ circ f: X \ do Z}$ moduł ciągłości ${\ Displaystyle \ omega _ {2} \ circ \ omega _ {1}}$ .
Jeżeli f i g są funkcjami z przestrzeni metrycznej X do przestrzeni Banacha Y , o modułach odpowiednio ω ₁ i ω ₂ , to każda kombinacja liniowa af + bg ma moduł ciągłości | za |ω ₁ +| b |ω ₂ . W szczególności zbiór wszystkich funkcji od X do Y , które mają ω jako moduł ciągłości, jest wypukłym podzbiorem przestrzeni wektorowej C ( X , Y ), zamknięte przy zbieżności punktowej .
Jeśli f i g są ograniczonymi funkcjami o wartościach rzeczywistych w przestrzeni metrycznej X , z modułami odpowiednio ω ₁ i ω ₂ , to iloczyn punktowy fg ma moduł ciągłości ${\ Displaystyle \|g\|_{\infty }\omega _{1}+\|f\|_{\infty}\omega _{2}}$ .
Jeśli $o$ wartościach rzeczywistych w przestrzeni ze ω następnie odpowiednio dolna koperta ${\ Displaystyle \ inf _ {\ lambda \ in \ Lambda} f_ {\ lambda}} λ$ , odpowiednio, górna koperta $\ Displaystyle \ sup _ {\ lambda \in \Lambda }f_{\lambda }}$ , jest funkcją o wartościach rzeczywistych z modułem ciągłości ω, pod warunkiem, że jest skończona w każdym punkcie. Jeśli ω ma wartość rzeczywistą, wystarczy, aby obwiednia była skończona przynajmniej w jednym punkcie X.

Uwagi

Niektórzy autorzy nie wymagają monotoniczności, a niektórzy wymagają dodatkowych właściwości, takich jak ciągłość ω. Jeśli jednak f dopuszcza moduł ciągłości w słabszej definicji, dopuszcza również moduł ciągłości rosnący i nieskończenie różniczkowalny w ]0, ∞[. Na przykład, ${\ Displaystyle \ omega _ {1} (t): = \ sup _ {s \ równoważnik t} \ omega (s)}$ rośnie, a ω ₁ ≥ ω; ${\ Displaystyle \ omega _ {2} (t): = {\ Frac {1} {t}} \ int _ {t} ^{2t}\omega_{1}(s)ds}$
jest również ciągła i ω ₂ ≥ ω ₁ , a odpowiedni wariant powyższej definicji również czyni ω ₂ nieskończenie różniczkowalnym w ]0, ∞[.
Każda jednostajnie ciągła funkcja dopuszcza minimalny moduł ciągłości ω _f , który jest czasami określany jako (optymalny) moduł ciągłości f : ${\ Displaystyle \ omega _ {f} (t): = \ sup \ {d_ {Y} (f (x), f (x ')): x \ w X, x '\ w X, d_ {X} (x,x')\równoważnik t\},\quad \forall t\geq 0.}$ Podobnie, każda funkcja ciągła w punkcie x dopuszcza minimalny moduł ciągłości w x , ω _f ( t ; x ) ( (optymalny) moduł ciągłości f w x ): ${\ Displaystyle \ omega _ {f} (t; x): = \ sup \ {d_ {Y} (f (x), f (x ')): x '\ w X, d_ {X} (x, x')\leq t\},\quad \forall t\geq 0.}$ Jednak te ograniczone pojęcia nie są tak istotne, ponieważ w większości przypadków optymalnego modułu f nie można obliczyć wprost, a jedynie ograniczyć z góry (przez dowolny moduł ciągłości f ). Co więcej, główne własności modułów ciągłości dotyczą bezpośrednio nieograniczonej definicji.
Ogólnie rzecz biorąc, moduł ciągłości funkcji jednostajnie ciągłej w przestrzeni metrycznej musi przyjąć wartość +∞. Na przykład funkcja f : N → N taka, że f ( n ) := n ² jest jednostajnie ciągła względem metryki dyskretnej na N , a jej minimalny moduł ciągłości wynosi ω _f ( t ) = +∞ dla dowolnego t ≥1 i ω _f ( t ) = 0 inaczej. Jednak sytuacja jest inna w przypadku funkcji jednostajnie ciągłych zdefiniowanych na zwartych lub wypukłych podzbiorach przestrzeni znormalizowanych.

Specjalne moduły ciągłości

Specjalne moduły ciągłości odzwierciedlają również pewne globalne właściwości funkcji, takie jak rozszerzalność i jednolite przybliżenie. W tej sekcji zajmujemy się głównie modułami ciągłości, które są wklęsłe , subaddytywne , jednostajnie ciągłe lub podliniowe. Te właściwości są zasadniczo równoważne, ponieważ dla modułu ω (dokładniej jego ograniczenie do [0, ∞ [) każdy z poniższych implikuje następny:

ω jest wklęsły;
ω jest subaddytywne;
ω jest jednostajnie ciągłe;
ω jest podliniowe, to znaczy , że istnieją stałe aib takie, że ω( t ) ≤ at + b dla wszystkich t ;
$t)\leq {\tylda {\omega}}(t)}$ przez wklęsły moduł, to znaczy istnieje wklęsły moduł ciągłości $taki,$ że ${\ Displaystyle \ omega$ dla wszystkich t .

Zatem dla funkcji f między przestrzeniami metrycznymi równoważne jest przyjęcie modułu ciągłości, który jest wklęsły, subaddytywny, jednostajnie ciągły lub podliniowy. W tym przypadku funkcja f jest czasami nazywana specjalną jednostajnie ciągłą mapą. Jest to zawsze prawdziwe w przypadku domen zwartych lub wypukłych. Rzeczywiście, jednostajnie ciągła mapa f : C → Y zdefiniowana na zbiorze wypukłym C przestrzeni znormalizowanej E zawsze dopuszcza poddodatek moduł ciągłości; w szczególności o wartościach rzeczywistych jako funkcja ω : [0, ∞[ → [0, ∞[. Rzeczywiście, natychmiast można sprawdzić, czy zdefiniowany powyżej optymalny moduł ciągłości ω _f jest subaddytywny, jeśli dziedzina f jest wypukła: mamy dla wszystkich s i t :

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ omega _ {f} (s + t) & = \ sup _ {| xx '| \ równoważnik t + s} d_ {Y} (f (x), f (x ' ))\\&\leq \sup _{|xx'|\leq t+s}\left\{d_{Y}\left(f(x),f\left(xt{\frac {xx'}{ |xx'|}}\right)\right)+d_{Y}\left(f\left(xt{\frac {xx'}{|xx'|}}\right),f(x')\right )\right\}\\&\leq \omega _{f}(t)+\omega _{f}(s).\end{aligned}}}

na wypukłym podzbiorze przestrzeni znormalizowanej ma wzrost podliniowy: istnieją stałe aib takie , że | fa ( x )| ≤ za | x |+ b dla wszystkich x . Jednak funkcja jednostajnie ciągła w ogólnej przestrzeni metrycznej dopuszcza wklęsły moduł ciągłości wtedy i tylko wtedy, gdy stosunki ${\ Displaystyle d_ {Y} (f (x), f (x ')) / d_ {X} (x, x ')} są równomiernie$ ograniczone dla wszystkich par ( x , x ′) z odległością ograniczoną od zera; warunek ten jest z pewnością spełniony przez każdą ograniczoną jednostajnie ciągłą funkcję; stąd w szczególności przez dowolną funkcję ciągłą w zwartej przestrzeni metrycznej.

Moduły podliniowe i perturbacje ograniczone z Lipschitza

Podliniowy moduł ciągłości można łatwo znaleźć dla dowolnej funkcji jednostajnie ciągłej, która jest ograniczonym zaburzeniem funkcji Lipschitza: jeśli f jest funkcją jednostajnie ciągłą z modułem ciągłości ω, a g jest funkcją k Lipschitza o jednakowej odległości r od f , wtedy f dopuszcza podliniowy moduł ciągłości min{ω( t ), 2 r + kt }. I odwrotnie, przynajmniej w przypadku funkcji o wartościach rzeczywistych, każda specjalna jednostajnie ciągła funkcja jest ograniczonym, jednostajnie ciągłym zaburzeniem jakiejś funkcji Lipschitza; rzeczywiście więcej jest prawdą, jak pokazano poniżej (przybliżenie Lipschitza).

Subaddytywne moduły i rozszerzalność

Powyższa właściwość dla funkcji jednostajnie ciągłej w dziedzinach wypukłych dopuszcza coś w rodzaju odwrotności przynajmniej w przypadku funkcji o wartościach rzeczywistych, to znaczy każdej specjalnej funkcji o wartościach rzeczywistych jednostajnie ciągłej f : X → R zdefiniowanej w przestrzeni metrycznej X , która jest metryczną podprzestrzenią znormalizowanej przestrzeni E , dopuszcza rozszerzenia nad E , które zachowują dowolny subaddytywny moduł ω f . Najmniejsze i największe z takich rozszerzeń to odpowiednio:

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} f_ {*} (x) i: = \ sup _ {y \ w X} \ lewo \ {f (y) - \ omega (| xy |) \ prawo \}, \ \f^{*}(x)&:=\inf _{y\in X}\left\{f(y)+\omega (|xy|)\right\}.\end{aligned}}}

Jak zauważono, każdy subaddytywny moduł ciągłości jest jednostajnie ciągły: w rzeczywistości przyjmuje się jako moduł ciągłości. Dlatego f _∗ i f* są odpowiednio niższymi i wyższymi obwiedniami rodzin ω-ciągłych; stąd nadal ω-ciągłe. Nawiasem mówiąc, według Kuratowskiego osadzenie dowolnej przestrzeni metrycznej jest izometryczne z podzbiorem przestrzeni unormowanej. Stąd specjalne jednostajnie ciągłe funkcje o wartościach rzeczywistych są zasadniczo ograniczeniami funkcji jednostajnie ciągłych w przestrzeniach znormalizowanych. W szczególności ta konstrukcja zapewnia szybki dowód twierdzenia o rozszerzeniu Tietze na zwartych przestrzeniach metrycznych. Jednak w przypadku odwzorowań z wartościami w bardziej ogólnych przestrzeniach Banacha niż R sytuacja jest dość skomplikowana; pierwszym nietrywialnym wynikiem w tym kierunku jest twierdzenie Kirszbrauna .

Moduły wklęsłe i przybliżenie Lipschitza

Każda specjalna jednostajnie ciągła funkcja o wartościach rzeczywistych f : X → R zdefiniowana w przestrzeni metrycznej X jest jednostajnie przybliżalna za pomocą funkcji Lipschitza. Ponadto szybkość zbieżności pod względem stałych Lipschitza przybliżeń jest ściśle związana z modułem ciągłości f . Dokładniej, niech ω będzie minimalnym wklęsłym modułem ciągłości f , czyli

{\ Displaystyle \ omega (t) = \ inf {\ duży \ {} at + b \ ,: \, a> 0, \, b> 0, \, \ dla wszystkich x \ w X, \, \ dla wszystkich x ' \in X\,\,|f(x)-f(x')|\leq ad(x,x')+b{\big \}}.}

Niech δ( s ) będzie jednakową odległością między funkcją f a zbiorem Lip _s wszystkich funkcji Lipschitza o wartościach rzeczywistych na C mającym stałą Lipschitza s :

{\ Displaystyle \ delta (s): = \ inf {\ duży \ {} \ | fu \ | _ {\ infty, X} \ ,: \, u \ w \ operatorname {warga} _ {s} {\ duży \}}\równik +\infty .}

Wtedy funkcje ω( t ) i δ( s ) mogą być ze sobą powiązane za pomocą transformacji Legendre'a : dokładniej funkcje 2δ( s ) i −ω(− t ) (odpowiednio rozszerzone do +∞ poza ich dziedziny skończoności ) to para sprzężonych funkcji wypukłych, np

{\ Displaystyle 2 \ delta (s) = \ sup _ {t \ geq 0} \ lewo \ {\ omega (t) -st \ prawo\},}

{\ Displaystyle \ omega (t) = \ inf _ {s \ geq 0} \ lewo \ {2 \ delta (s) + st \ prawo \}.}

Ponieważ ω( t ) = o(1) dla t → 0 ⁺ , wynika z tego, że δ ( s ) = o (1) dla s → +∞, co dokładnie oznacza, że f jest jednostajnie aproksymowalna funkcjami Lipschitza. Odpowiednio, optymalne przybliżenie dają funkcje

{\ Displaystyle f_ {s}: = \ delta (s)+\inf _{y\in X}\{f(y)+sd(x,y)\},\quad \mathrm {for} \ s\in \mathrm {dom} (\delta ) :}

każda funkcja f _s ma stałą Lipschitza s i

{\ Displaystyle \| f-f_ {s} \| _ {\ infty, X} = \ delta (s);}

w rzeczywistości jest to największa funkcja s -Lipschitza, która realizuje odległość δ( s ). Na przykład funkcje o wartościach rzeczywistych α-Höldera w przestrzeni metrycznej są scharakteryzowane jako te funkcje, które można równomiernie przybliżyć za pomocą s - Lipschitza z szybkością zbieżności ${\ Displaystyle O (s ^{-{\frac {\alpha }{1-\alpha}}}),}$ podczas gdy funkcje prawie Lipschitza charakteryzują się wykładniczą szybkością zbieżności ${\ Displaystyle O (e ^ {-as}).}$

Przykłady użycia

₀ Niech f : [ a , b ] → R będzie funkcją ciągłą. W dowodzie, że f jest całkowalna Riemanna , zwykle ogranicza się odległość między górną i dolną sumą Riemanna w odniesieniu do podziału Riemanna P : = { t , ..., t _n } w kategoriach modułu ciągłości f i siatka partycji P ( która jest liczbą ${\ textstyle | P |: = \ max _ {0 \ równoważnik ja <n} (t_ {i + 1} -t_ {i})}$ ) ${\ Displaystyle S ^ {*} (f; P) -S_ {*} (f; P) \ równoważnik (ba) \ omega (| P |).}$
Aby zapoznać się z przykładem zastosowania w szeregu Fouriera, zobacz test Diniego .

Historia

Steffens (2006, s. 160) przypisuje pierwsze użycie omegi dla modułu ciągłości Lebesgue'owi ( 1909, s. 309/s. 75), gdzie omega odnosi się do oscylacji transformaty Fouriera. De la Vallée Poussin (1919, s. 7-8) wymienia obie nazwy (1) „moduł ciągłości” i (2) „moduł oscylacji”, a następnie konkluduje „ale wybieramy (1), aby zwrócić uwagę na użycie z tego zrobi".

Grupa translacji funkcji L ^p i modułów ciągłości L ^p .

Niech 1 ≤ p ; niech f : R ⁿ → R będzie funkcją klasy L ^p , oraz niech h ∈ R ⁿ . H - translacja f , funkcja zdefiniowana przez (τ _h f )( x ) := f ( x − h ) , należy do klasy L ^p ; ponadto, jeśli 1 ≤ p < ∞, to jako ǁ h ǁ → 0 mamy:

{\ Displaystyle \|\ tau _ {h} ff \|_ {p} = o (1).}

Dlatego też, ponieważ translacje są w rzeczywistości również izometriami liniowymi

{\ Displaystyle \|\ tau _ {v + h} f - \ tau _ {v} f \|_ {p} = o (1 )}

jako ǁ h ǁ → 0, równomiernie na v ∈ R ⁿ .

Innymi słowy, mapa h → τ _h definiuje silnie ciągłą grupę izometrii liniowych L ^p . W przypadku p = ∞ powyższa własność na ogół nie zachodzi: właściwie sprowadza się dokładnie do jednostajnej ciągłości i definiuje jednostajnie ciągłe funkcje. Prowadzi to do następującej definicji, która uogólnia pojęcie modułu ciągłości funkcji jednostajnie ciągłych: moduł ciągłości L ^p dla mierzalnej funkcji f : X → R jest modułem ciągłości ω : [0, ∞] → [0, ∞] takim, że

{\ Displaystyle \|\ tau _ {h} ff \|_ {p} \ równoważnik \ omega (h).}

W ten sposób moduły ciągłości dają również ilościowy opis właściwości ciągłości wspólnej dla wszystkich ^funkcji Lp .