Funkcja płaska

Funkcja ${\ Displaystyle y (x \ neq 0) = e ^ {- 1 / x ^ {2}},}$${\ Displaystyle y (0 ) = 0}$ jest płaska w ${\ displaystyle x = 0}$ .

W matematyce , zwłaszcza w analizie rzeczywistej , funkcja płaska jest funkcją gładką, której wszystkie pochodne znikają w danym punkcie ${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} \ do \ mathbb$$} \displaystyle x_{0}\w \mathbb {R}}$ . Funkcje płaskie są w pewnym sensie antytezami funkcji analitycznych . Funkcja analityczna ${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} \ do \ mathbb {R}}$ jest dana przez zbieżny szereg potęgowy blisko pewnego punktu ${\ Displaystyle x_ {0} \ matematykabb {R} }$ :

${\ Displaystyle f (x) \ sim \ lim _ {n \ do \ infty} \ suma _ {k = 0} ^ {n} {\ Frac {f ^ {(k)} (x_ {0})} k!}}(x-x_{0})^{k}.}$

W przypadku funkcji płaskiej widzimy, że wszystkie pochodne znikają w $,$ . $)} (x_ {0}) = 0}$${\ Displaystyle f ^ {$ dla wszystkich ${\ Displaystyle k \ in \ mathbb {N}}$ . Oznacza to $,$ że sensowne rozwinięcie Taylora w sąsiedztwie jest niemożliwe. W języku twierdzenia Taylora niestała część funkcji zawsze leży w reszcie ${\ Displaystyle R_ {n} (x)}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle n \ w \ mathbb { N} }$ .

Funkcja nie musi być płaska tylko w jednym punkcie. $są$ , stałe funkcje na wszędzie płaskie. Ale są też inne, mniej trywialne przykłady.

Przykład

Funkcja zdefiniowana przez

${\ Displaystyle f (x) = {\ rozpocząć {przypadki} e ^ {- 1 / x ^ {2}} i {\ tekst {jeśli }}x\neq 0\\0&{\text{if }}x=0\end{przypadki}}}$

jest płaska w ${\ displaystyle x = 0}$ . Jest to zatem przykład nieanalitycznej funkcji gładkiej . Patologiczna natura tego przykładu jest częściowo oświetlona przez fakt, że jego rozszerzenie na liczby zespolone jest w rzeczywistości nieróżniczkowalne .

•   Glaister, P. (grudzień 1991), Płaska funkcja z kilkoma interesującymi właściwościami i zastosowaniem , The Mathematical Gazette, tom. 75, nr 474, s. 438–440, JSTOR 3618627